题组层级快练19

1、题组层级快练(十九)1.函数f(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是()A0<f(2)<f(3)<f(3)f(2)B0<f(3)<f(3)f(2)<f(2)C0<f(3)<f(2)<f(3)f(2)D0<f(3)f(2)<f(2)<f(3)答案B解析f(2)，f(3)是x分别为2,3时对应图像上点的切线斜率，f(3)f(2)，f(3)f(2)是图像上x为2和3对应两点连线的斜率，故选B.2(2015·赣州模拟)函数yx2ex的图像大致为()答案A解析因为y2xexx2exx(x2)ex，所以当x<2或x

2、>0时，y>0，函数yx2ex为增函数；当2<x<0时，y<0，函数yx2ex为减函数，排除B，C，又yx2ex>0，所以排除D，故选A.3设底面为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()A.B.C. D2答案C4.如图，某农场要修建3个养鱼塘，每个面积为10 000米2，鱼塘前面要留4米的运料通道，其余各边为2米宽的堤埂，则占地面积最少时，每个鱼塘的长、宽分别为()A长102米，宽 米 B长150米，宽66米C长、宽均为100米 D长150米，宽 米答案D解析设鱼塘长、宽分别为y米，x米，依题意xy10 000.设占地面积为S，则

3、S(3x8)(y6)18x30 048，令S180，得x，此时y150.5(2015·南昌一模)已知函数yf(x)对任意的x(，)满足f(x)cosxf(x)sinx>0(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是()A.f()<f() B.f()<f()Cf(0)>2f() Df(0)>f()答案A解析由f(x)cosxf(x)sinx>0知()>0，所以g(x)在(，)上是增函数，所以g()<g()，即<，即f()<f()，所以A正确同理有g()>g()，即>，得f()>f()，所以B不

4、正确；由g()>g(0)，即>，得f(0)<2f()，所以C不正确；由g()>g(0)，即>，得f(0)<f()，所以D不正确故选A.6(2015·绵阳市高三诊断性考试)已知f(x)(xR)，若关于x的方程f2(x)mf(x)m10恰好有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围为()A(，2)(2，e) B(，1)C(1，1) D(，e)答案C解析依题意，由f2(x)mf(x)m10，得f(x)1或f(x)m1.当x<0时，f(x)xex，f(x)(x1)ex<0，此时f(x)是减函数当x>0时，f(x)xex，f(x)(x1)ex

5、，若0<x<1，则f(x)>0，f(x)是增函数；若x>1，则f(x)<0，f(x)是减函数因此，要使关于x的方程f2(x)mf(x)m10恰好有4个不相等的实数根，只要求直线y1，直线ym1与函数yf(x)的图像共有四个不同的交点注意到直线y1与函数yf(x)的图像有唯一公共点，因此要求直线ym1与函数yf(x)的图像共有三个不同的交点，结合图像可知，0<m1<，即1<m<1，则实数m的取值范围为(1,1)，选C.7(2015·江西七校一联)定义域为R的连续函数f(x)，对任意x都有f(2x)f(2x)，且其导函数f(x)满足(

6、x2)f(x)>0，则当2<a<4时，有()Af(2a)<f(2)<f(log2a) Bf(2)<f(2a)<f(log2a)Cf(log2a)<f(2a)<f(2) Df(2)<f(log2a)<f(2a)答案D解析对任意x都有f(2x)f(2x)，x2是f(x)的对称轴又(x2)f(x)>0，当x>2时，f(x)>0，f(x)是增函数；当x<2时，f(x)<0，f(x)是减函数又2<a<4，1<log2a<2.4<2a<16；由f(2x)f(2x)，得f(x)

7、f(4x)f(log2a)f(4log2a)由1<log2a<2，得2<log2a<1.2<4log2a<3.2<4log2a<2a.f(2)<f(4log2a)<f(2a)，即f(2)<f(log2a)<f(2a)，故选D.8已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_答案(0,1)解析当x<2时，f(x)3(x2)2>0，说明函数在(，2上单调递增，函数的值域是(，1)，函数在2，)上单调递减，函数的值域是(0,1因此要使方程f(x)k有两个不同的实根，则0<k&l

8、t;1.9设函数f(x)a2lnxx2ax，a>0.(1)求f(x)的单调区间；(2)求所有的实数a，使e1f(x)e2对x1，e恒成立(其中，e为自然对数的底数)答案(1)单调递增区间为(0，a)，单调递减区间为(a，)(2)ae解析(1)因为f(x)a2lnxx2ax，其中x>0，所以f(x)2xa.由于a>0，所以f(x)的单调递增区间为(0，a)，单调递减区间为(a，)(2)由题意得，f(1)a1e1，即ae.由(1)知f(x)在1，e上单调递增，要使e1f(x)e2对x1，e恒成立只要由得ae；由得ae.因此ae.故当e1f(x)e2对x1，e恒成立时，实数a的值为

9、e.10(2013·北京理)设l为曲线C：y在点(1,0)处的切线(1)求l的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线l的下方答案(1)yx1(2)略解析(1)设f(x)，则f(x).所以f(1)1.所以l的方程为yx1.(2)令g(x)x1f(x)，则除切点之外，曲线C在直线l的下方等价于g(x)>0(x>0，x1)g(x)满足g(1)0，且g(x)1f(x).当0<x<1时，x21<0，lnx<0，所以g(x)<0，故g(x)单调递减；当x>1时，x21>0，lnx>0，所以g(x)>0，故g(x)单调

10、递增所以g(x)>g(1)0(x>0，x1)所以除切点之外，曲线C在直线l的下方11已知函数f(x)xln(xa)在x1处取得极值(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程f(x)2xx2b在，2上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围答案(1)0(2)ln2b<2解析(1)对f(x)求导，得f(x)1.由题意，得f(1)0，即10，a0.(2)由(1)得f(x)xlnx.f(x)2xx2b，即x23xlnxb0.设g(x)x23xlnxb(x>0)，则g(x)2x3.令g(x)0，得x1，x21.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(0，)(，1)1(

11、1,2)2g(x)00g(x)极大值极小值b2ln2当x1时，g(x)的极小值为g(1)b2.又g()bln2，g(2)b2ln2，方程f(x)2xx2b在，2上恰有两个不相等的实数根，即解得ln2b<2.12(2014·浙江文)已知函数f(x)x33|xa|(a>0)，若f(x)在1,1上的最小值记为g(a)(1)求g(a)；(2)证明：当x1,1时，恒有f(x)g(a)4.答案(1)g(a)(2)略解析(1)因为a>0，1x1，所以当0<a<1时，若x1，a，则f(x)x33x3a，f(x)3x23<0，故f(x)在(1，a)上是减函数；若xa

12、,1，则f(x)x33x3a，f(x)3x23>0，故f(x)在(a,1)上是增函数所以g(a)f(a)a3.当a1时，有xa，则f(x)x33x3a，f(x)3x23<0，故f(x)在(1,1)上是减函数，所以g(a)f(1)23a.综上，g(a)(2)证明：令h(x)f(x)g(a)当0<a<1时，g(a)a3.若xa,1，则h(x)x33x3aa3，h(x)3x23，所以h(x)在(a,1)上是增函数，所以h(x)在a,1上的最大值是h(1)43aa3，且0<a<1，所以h(1)4.故f(x)g(a)4.若x1，a，则h(x)x33x3aa3，h(x)

13、3x23，所以h(x)在(1，a)上是减函数，所以h(x)在1，a上的最大值是h(1)23aa3.令t(a)23aa3，则t(a)33a2>0，知t(a)在(0,1)上是增函数所以t(a)<t(1)4，即h(1)<4.故f(x)g(a)4.当a1时，g(a)23a，故h(x)x33x2，h(x)3x23.此时h(x)在(1,1)上是减函数，因此h(x)在1,1上的最大值是h(1)4.故f(x)g(a)4.综上，当x1,1时，恒有f(x)g(a)4.13(2014·北京理)已知函数f(x)xcosxsinx，x.(1)求证：f(x)0；(2)若a<<b对x

14、恒成立，求a的最大值与b的最小值答案(1)略(2)a的最大值为，b的最小值为1解析(1)证明：由f(x)xcosxsinx，得f(x)cosxxsinxcosxxsinx.因为在区间上f(x)xsinx<0，所以f(x)在区间上单调递减从而f(x)f(0)0.(2)当x>0时，“>a”等价于“sinxax>0”；“<b”等价于“sinxbx<0”令g(x)sinxcx，则g(x)cosxc.当c0时，g(x)>0对任意x恒成立当c1时，因为对任意x，g(x)cosxc<0，所以g(x)在区间上单调递减，从而g(x)<g(0)0对任意x恒成立当0<c<1时，存在唯一