高二数学常用逻辑用语1

1、§1.4全称量词与存在量词知识点一全称命题与特称命题的判断判断下列语句是全称命题，还是特称命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角，都有sin2cos21；(4)有些素数的和仍是素数；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直分析先看是否有全称量词和存在量词，当没有时，要结合命题的具体意义进行判断解(1)可以改写为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题(4)含有存在量词“有些”，故为特称命题(5)若一个四边形是菱形，也就是所

2、有的菱形，故为全称命题知识点二判断全称或特称命题的真假试判断以下命题的真假：(1)xR，x22>0；(2)xN，x41；(3)xZ，x3<1；(4)xQ，x23.分析要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个xx0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个xx0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题解(1)由于xR，都有x20，因而有x222>0，即x22>0.所以命题“xR，x22>

3、0”是真命题(2)由于0N，当x0时，x41不成立所以命题“xN，x41”是假命题(3)由于1Z，当x1时，能使x3<1.所以命题“xZ，x3<1”是真命题(4)由于使x23成立的数只有±，而它们都不是有理数因此，没有任何一个有理数的平方能等于3.所以命题“xQ，x23”是假命题知识点三全称或特称命题的否定写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：xR，x2x0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：xR，x22x20；(4)s：至少有一个实数x，使x310.解(1)綈p：xR，x2x<0.(假)这是由于xR，x2x20恒成立(2)綈q：至少存在一个正方形不是

4、矩形(假)(3)綈r：xR，x22x2>0.(真)这是由于xR，x22x2(x1)211>0成立(4)綈s：xR，x310.(假)这是由于x1时，x310.考题赏析1(海南，宁夏高考)已知命题p：xR，sinx1，则()A綈p：xR，sinx1B綈p：xR，sinx1C綈p：xR，sinx>1D綈p：xR，sinx>1解析命题p是全称命题，全称命题的否定是特称命题答案C2(山东高考)命题“对任意的xR，x3x210”的否定是()A不存在xR，x3x210B存在xR，x3x210C存在xR，x3x21>0D对任意的xR，x3x21>0解析全称命题的否定是特称命

5、题答案C1给出下列几个命题：至少有一个x0，使x2x010成立；对任意的x，都有x22x10成立；对任意的x，都有x22x10不成立；存在x0，使x2x010成立其中是全称命题的个数为()A1 B2 C3 D0答案B解析命题都含有全称量词“任意的”，故是全称命题2将“x2y22xy”改写成全称命题，下列说法正确的是()Ax，yR，都有x2y22xyBx0，y0R，使xy2x0y0Cx>0，y>0，都有x2y22xyDx0<0，y0<0，使xy2x0y0答案A3全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定是()A所有被5整除的整数都不是奇数B所有奇数都不能被5整除C存在一

6、个被5整除的整数不是奇数D存在一个奇数，不能被5整除答案C解析全称命题的否定是特称命题4已知命题p：对任意xR，有cosx1，则()A綈p：存在xR，使cosx1B綈p：对任意xR，有cosx1C綈p：存在xR，使cosx>1D綈p：对任意xR，有cosx>1答案C5已知命题p：“x1,2，x2a0”，命题q：“xR，x22ax2a0”，则命题“p且q”是真命题的充要条件()Aa2或a1 Ba2或1a2Ca1 D2a1答案A解析p真即ax2在1x2范围内恒成立，因x21,4，所以a1；q真等价于4a24(2a)0恒成立即a2a20.所以a1或a2.要使p且q为真则a的取值范围为：a

7、1或a2，故选A.6命题“nN*，mN，使m2<n”的否定是_答案nN*，mN，使m2n7将a2b22ab(ab)2改写成全称命题是_答案a，bR，使a2b22ab(ab)28用符号“”与“”表示下面的命题：(1)实数的绝对值大于等于0；(2)存在实数对，使两数的平方和小于1；(3)任意的实数a，b，c，满足a2b2c2abacbc.解(1)xR，|x|0.(2)x0，y0R，使xy<1.(3)a，b，cR，a2b2c2abacbc.9写出下列命题的否定：(1)若一个四边形是菱形，则它的四条边相等；(2)被6整除的数能被4整除；(3)xR，x230；(4)xR，yR，xy0.解(1

8、)存在一个菱形，它的四条边不全相等(2)存在被6整除的数，它不能被4整除(3)x0R，x30.(4)xR，yR，xy0.讲练学案部分 14.1全称量词14.2存在量词.知识点一判断全称命题的真假判断下列全称命题的真假：(1)xx|x是有理数，x2是有理数；(2)对所有的正实数p，为正数，且<p；(3)对实数x，若x26x70，则x26x70.解(1)真命题(2)假命题如：p时，此时>p.(3)真命题【反思感悟】要判定一个全称命题是真命题，必须对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x0，使p(x0)不成立即可判断下列全称命题的真

9、假：(1)所有的素数是奇数；(2)xR，x211；(3)对每一个无理数x，x2也是无理数解(1)2是素数，但2不是奇数所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题(2)xR，总有x20，因而x211.所以，全称命题“xR，x211”是真命题(3)是无理数，但()22是有理数所以，全称命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题知识点二特称命题的真假判断判断下列特称命题的真假：(1)有一个实数x0，使x2x030；(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；(3)有些整数只有两个正因数解(1)由于xR，x22x3(x1)222，因此使x22x30的实数x不存在所以，特称命题“有一个实数x0，使x2

10、x030”是假命题(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线所以，特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以特称命题“有些整数只有两个正因数”是真命题【反思感悟】要判定特称命题“x0M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题是假命题指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假：(1)若a>0，且a1，则对任意实数x，ax>0；(2)对任意实数x1，x2，若x1<

11、x2，则tanx1<tanx2；(3)T0R，使|sin(xT0)|sinx|；(4)x0R，使x1<0.解(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题(1)ax>0(a>0，a1)恒成立，命题(1)是真命题(2)存在x10，x2，x1<x2，但tan0tan，命题(2)是假命题(3)y|sinx|是周期函数，就是它的一个周期，命题(3)是真命题(4)对任意xR，x21>0.命题(4)是假命题知识点三全(特)称命题的判断判断下列语句是全称命题还是特称命题(1)有一个实数a，a不能取对数；(2)对所有不等式的解集A，都有AR；(3)有的向量方向不定；(4)三

12、角形的内角和为180°.解(1)特称命题；(2)全称命题；(3)特称命题；(4)全称命题因为(1)含有存在量词“有一个”；(2)含有全称量词“所有”；(3)含有存在量词“有的”；(4)从题意知是指所有【反思感悟】在判断命题是全称命题或者特称命题时，当命题中不含量词时，要根据题意是所有的意思还是存在的意思来判断判断下列语句是全称命题还是特称命题(1)实数的平方大于或等于0；(2)方程ax22x10(a<0)至少有一个负根；(3)二次函数的图象是抛物线解(1)是全称命题；(2)是特称命题；(3)是全称命题课堂小结：1全称命题与特称命题的表述同一个全称命题或特称命题，由于自然语言的不

13、同，可以有不同的表述方法现列表总结如下在实际应用中可以灵活地选择.命题全称命题“xA，p(x)”特称命题“x0A，p(x0)”表述方法所有的xA，p(x)成立存在x0A，使p(x0)成立对一切xA，p(x)成立至少有一个x0A，使p(x0)成立对每一个xA，p(x)成立对有些x0A，使p(x0)成立任选一个xA，使p(x)成立对某个x0A，使p(x0)成立凡xA，都有p(x)成立有一个x0A，使p(x0)成立2.判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词；另外，有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断3全(特)称命题真假的判断(1)全

14、称命题是真命题，必须确定对集合M中的每一个元素都成立，若是假命题，举一个反例即可(2)特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少找到一个元素使得命题成立，若是假命题，则对集合M中的每一个元素都不成立一、选择题1下列命题不是“x0R，x>3”的表述方法的是()A有一个x0R，使x>3B有些x0R，使x>3C任选一个xR，使x2>3D至少有一个x0R，使x>3答案C解析“任选一个xR，使x2>3”是全称命题，不能用符号“”表示，故选C.2下列命题是真命题的是()AxR，x22x10Bx0R，0CxN*，log2x>0Dx0R，cosx0<2x0x3答

15、案B解析当x01时，0，所以命题“x0R，0”正确，故选B.3下列命题是全称真命题的是()AxR，x2>0BxQ，x2QCx0Z，x>1Dx，yR，x2y2>0答案B解析A，B，D是全称命题，当x0时，x20；当x0，y0时，x2y20，因此A，D为假命题故选B.4下列语句不是全称命题的是()A任何一个实数乘以零都等于零B自然数都是正整数C高二(一)班绝大多数同学是团员D每一个向量都有大小答案C解析“高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，这是特称命题故选C.5给出下列命题：存在实数x0，使x>1；全等三角形必相似；有些相似三角形全等；至少

16、有一个实数a，使ax2ax10的根为负数其中特称命题有()A1个 B2个C3个 D4个答案C解析是特称命题，是全称命题6下列命题正确的是()A对所有的正实数t, 为正且<tB存在实数x0，使x3x040C不存在实数x，使x<4且x25x240D存在实数x0，使得|x01|1且x>4答案B解析t时，此时>t，所以A错；由x23x40，得x1或x4，因此当x01或x04时，x3x040，故B正确；由x25x240，得x8或x3，所以C错；由|x1|1，得2x0，由x2>4，得x<2或x>2，所以D错二、填空题7填上适当的量词符号“”“”，使下列命题为真命题

17、(1)_xR，使x22x10；(2)_，R，使cos()coscos；(3)_a，bR，使方程组，有唯一解答案(1)(2)(3)8将下列命题用含有“”或“”的符号语言来表示(1)任意一个整数都是有理数，_.(2)实数的绝对值不小于0，_.(3)存在一实数x0，使x10，_.答案(1)xZ，xQ(2)xR，|x|0(3)x0R，x10三、解答题9判断下列命题是否是全称命题或特称命题？若是，并判断其真假(1)x0，x020；(2)矩形的对角线互相垂直平分；(3)三角形两边之和大于第三边；(4)有些素数是奇数解(1)特称命题，真命题；(2)全称命题，假命题；(3)全称命题，真命题；(4)特称命题，真

18、命题10试用不同的表述写出全称命题“矩形都是正方形”解所有的矩形都是正方形一切矩形都是正方形每一个矩形都是正方形任一个矩形都是正方形凡是矩形都是正方形.1.4.3含有一个量词的命题的否定知识点一全称命题的否定写出下列全称命题的否定：(1)p：x>1，log2x>0；(2)p：T2k，kZ，sin(xT)sinx；(3)p：直线l平面，则对任意l，ll.解(1)綈p：x0>1，log2x00.(2)綈p：T02k，kZ，sin(xT0)sinx.(3)綈p：直线l平面，则l，l与l不垂直【反思感悟】全称命题“xM，p(x)”的否定是“x0M，綈p(x0)”，全称命题的否定是特称

19、命题写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：不论m取何实数，方程x2mx10必有实数根；(2)p：菱形的对角线互相垂直；(3)p：三角形的内角和为180°.解(1)这一命题可表述为p：对任意的实数m，方程x2mx10必有实数根，其否定为綈p：存在一个实数m，使方程x2mx10没有实数根因为该方程的判别式m24>0恒成立，故綈p为假命题(2)綈p：有的菱形对角线不垂直显然綈p为假命题(3)綈p：三角形的内角和不全为180°.(或存在一个三角形，其内角和不等于180°)显然綈p为假命题知识点二特称命题的否定写出下列特称命题的否定：(1)p：x0>1，使

20、x2x030；(2)p：若an2n10，则nN，使Sn<0；(3)p：a，b是异面直线，Aa，Bb，使ABa，ABb.解(1)綈p：x>1，x22x30；(2)綈p：若an2n10，则对nN，有Sn0；(3)綈p：a，b是异面直线，则Aa，Bb，有AB不与a垂直，或不与b垂直【反思感悟】特称命题“x0M，p(x0)”的否定是“xM，綈p(x)”，特称命题的否定是全称命题遇到“且”命题否定时变为“或”命题，遇到“或”命题否定时变为“且”命题写出下列命题的否定，并判断其真假(1)p：有些三角形的三条边相等；(2)p：存在一个四边形不是平行四边形；(3)p：x0R,3x0<0.解(

21、1)綈p：所有三角形的三条边不全相等显然綈p为假命题(2)綈p：所有的四边形都是平行四边形綈p是假命题(3)綈p：xR.3x0綈p为真命题知识点三全称命题、特称命题的应用已知函数f(x)x22x5.(1)是否存在实数m，使不等式mf(x)>0对于任意xR恒成立，并说明理由(2)若存在一个实数x0，使不等式mf(x0)>0成立，求实数m的取值范围分析可考虑用分离参数法，转化为m>f(x)对任意xR恒成立和存在一个实数x0，使m>f(x0)成立解(1)不等式mf(x)>0可化为m>f(x)，即m>x22x5(x1)24.要使m>(x1)24对于任意x

22、R恒成立，只需m>4即可故存在实数m，使不等式mf(x)>0对于任意xR恒成立，此时，只需m>4.(2)不等式mf(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.又f(x)(x1)24，f(x)min4，m>4.所以，所求实数m的取值范围是(4，)【反思感悟】对任意的实数x，a>f(x)恒成立，只需a>f(x)max.若存在一个实数x0，使a>f(x0)成立，只需a>f(x)min.若方程cos2x2sinxa0有实数解，求实数a的取值范围解cos2x2sinxa0

23、，a2sin2x12sinx2(sin2xsinx)1，a2(sinx)2.又1sinx1，2(sinx)23.故当a3时，方程a2(sinx)2有实数解，所以，所求实数a的取值范围是，3.课堂小结：1. 全称命题和特称命题的否定，其模式是固定的，即相应的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词.具有性质p变为具有性质瘙綈p.2. 实际应用中,若从正面证明全称命题“xM，p（x）”不容易，可证其反面“xM“x0M， 綈p(x0)”是假命题,反之亦然.一、选择题1“a和b都不是偶数”的否定形式是()Aa和b至少有一个是偶数Ba和b至多有一个是偶数Ca是偶数，b不是偶数Da和b都是偶数答案A解析

24、在a、b是否为偶数的四种情况中去掉a和b都不是偶数还有三种情况，即a偶b奇，a奇b偶，a偶b偶，故选A.2命题“某些平行四边形是矩形”的否定命题是()A某些平行四边形不是矩形B任何平行四边形是矩形C每一个平行四边形都不是矩形D以上都不对答案C解析特称命题的否定是把存在量词变为全称量词，然后否定结论所以选C.3命题“原函数与反函数的图象关于yx对称”的否定是()A原函数与反函数的图象关于yx对称B原函数不与反函数的图象关于yx对称C存在一个原函数与反函数的图象不关于yx对称D存在原函数与反函数的图象关于yx对称答案C解析要把隐含的全称量词找出变为存在量词，然后否定结论4命题“有的函数没有解析式”的否定是()A有的函数有解析式B任何函数都没有解析式C任何函数都有解析式D多数函数有解析式答案C5将a2b22ab(ab)2改写成全称命题是()Aa，bR，使a2b22ab(ab)2Ba<0，b>0，使a2b22ab(ab)2Ca>0，b>0，使a2b22ab(ab)2Da，bR，使a2b22ab(ab)2答案D解析因a2b22ab(ab)2本身隐含着对任意的实数a，b等式都成立，等式本身就是一个全称命题，只是没用量词表达6以下三个命题：R，在，上函数ysinx都能取到最大值1；若aR，且a0，f(xa)f(x)