高级微观练习题及答案

1、1两种产品和唯一需要的要素投入是劳动。一单位产品需要的劳动投入量是8，一单位产品需要的劳动投入量是1。假设可投入的劳动量总共为48。（1）写出生产可能集的代数表达式；（2）写出生产（隐）函数；（3）在平面上标示生产边界。解：（1）由题意可知，总量为48，劳动是两种产品唯一需要的要素投入，所以有：因此，生产可能集的代数表达式为。（2）一单位产品需要的劳动投入量是8，一单位产品需要的劳动投入量是1，所以生产（隐）函数为。（3）由（1）可得，生产可能集为，如图1-1所示。2试画出Leontief生产函数的等产量线。解：由Leontief生产函数表达式可知，当时，由此可得到其等产量线如图1-2所示。3

2、对Cobb-Douglas生产函数 （1）证明，。（2）求技术替代率。（3）当或变化时，如何随之变化？（4）画出等产量曲线。解：（1）已知生产函数，即，所以有：即得证。（2）在（1）中已经证明，因此，技术替代率为：在Cobb-Douglas生产函数中，整理得。（3）由（2）可知，技术替代率与无关，不随的变化而变化；而变化时，技术替代率随之等比例变化。（4）已知Cobb-Douglas生产函数的技术替代率，就是相应点处等产量曲线切线的斜率。它的等产量线如图1-3所示。图1-34对CES生产函数，（1）证明边际产出。（2）求技术替代率。（3）当或变化时，如何随之变化？（4）证明技术替代弹性。解：（

3、1）同理可证，因此可得边际产出为。（2）由（1）得，。所以，技术替代率。（3）已知技术替代率，所以，当变化时，保持不变；当变化时，随之等比例变动。（4）假设，则，那么：即得证。7下列生产函数的规模收益状况如何？（1）线性函数：，；（2）Leontief生产函数；（3）Cobb-Douglas生产函数；（4）CES生产函数。解：（1）线性生产函数，产量随要素投入变动同比例变化，规模收益是不变的。（2）Leontief生产函数也是产量随要素投入变动同比例变化，规模收益是不变的。（3）Cobb-Douglas生产函数，当时，是规模收益不变的；当时，规模收益是递增的；当时，规模收益是递减的。（4）同理

4、，CES生产函数，产量随要素投入变动同比例变化，规模收益是不变的。1对于Cobb-Douglas生产函数：，。（1）验证：仅在参数条件下，利润最大化问题的二阶条件才能得到满足；（2）求要素需求函数和产品供给函数（可在结果中保留变量）；（3）求利润函数；（4）验证利润函数是的一次齐次函数；（5）验证Hotelling引理。解：（1）Cobb-Douglas生产函数为，利润最大化的二阶条件是生产函数的Hessian矩阵是半负定的，即：中，且矩阵的行列式非负，所以，。（2）利润最大化问题的一阶必要条件是：，所以要素需求函数为，。将要素需求函数代入生产函数，解得产品供给函数为。（3）利润函数为：将代入

5、，得：（4）由（3）知，利润函数为：因此，利润函数是的一次齐次函数。（5）利润函数中，的幂次为，且。其中一部分从而有，。同理，可验证。3厂商在短期内以可变要素1和固定要素2生产一种市场价格为的产品，生产函数为，要素1和2的价格分别为和。（1）求厂商的短期可变要素需求；（2）求厂商的短期利润函数。解：（1）厂商的利润函数为，转化为利润最大化问题，即：利润最大化的一阶条件为：解得，这就是厂商的短期可变要素需求。（2）厂商的短期利润函数为：4某厂商以一种投入同时生产两种产品，生产函数是试求该厂商的要素需求和产品供给。解：由题意可得：将约束方程改写为，代入目标函数，可整理为一个无约束的最大值问题，其一

6、阶必要条件为，解得要素供给函数为，从而得到要素需求函数为。5一个多产品市场厂商的生产函数是，对其利润最大化问题（2.32），（1）写出角点解的一阶必要条件；（2）写出内点解的二阶必要条件。解：（1）考虑角点解可以列出下列式子：构造拉格朗日函数：一阶必要条件：在最优点，存在及，使得：并且满足。（2）不考虑角点解，构造拉格朗日函数：内点解的二阶必要条件是：对任何满足的向量，满足。1某厂商具有Leontief生产函数：，。（1）求条件要素需求函数和成本函数；（2）画出成本函数曲线。解：（1）在Leontief生产函数中，产量仅是和中较小的一个值，所以，无论是利润最大化或者是成本最小化问题，厂商的最优

7、投入必然满足。在此约束下，生产函数可以简单地写为（当然也可以写为）。从而，对于预先给定的产量，条件要素需求是：，成本函数：。（2）厂商的成本函数如图3-1所示。图3-12某厂商具有线性生产函数：，。（1）求条件要素需求函数和成本函数；（2）画出成本函数曲线。解：（1）成本最小化问题是：若，条件要素为，成本函数是；若，条件要素为，成本函数是；若，最优解可取线段上任一点，在此不妨取，所得的成本函数形式上与中一致，取另一端点可得中的成本函数形式。但是在这里的条件下，这二者是等价的。3某厂商具有Cobb-Douglas生产函数：，。证明其成本函数形式为，其中是依赖于和的常数。证明：成本最小化问题是：构

8、造拉格朗日函数成本最小化的一阶必要条件为：变形为：两式相乘得：从而：其中是依赖于和的常数。代入一阶条件，并利用约束等式，得到：从而，。7考虑一个两工厂厂商，其工厂的成本函数分别为和（1）什么条件下厂商只使用一个工厂？什么条件下厂商需要两个工厂同时生产？（2）推导厂商的成本函数。解：，。（1）如果厂商同时使用两个工厂，应当满足；但是，注意到，而当时，。所以，当时，厂商只会选择在工厂1生产；当且仅当时，厂商才会同时使用两个工厂。（2）在同时使用两个工厂的情况下，厂商的产量分配满足，由此解得：，此时总成本为：成本函数为：8假设一个竞争厂商的成本函数是。（1）参数、和需要满足什么条件，才是一个典型的成

9、本函数？（2）求条件要素需求函数。解：（1）根据成本函数的性质，典型的成本函数应当是和的单增函数，是的一次齐次函数，同时还是的凹函数。据此，必然要求，。在这两个条件下，=为凹函数的条件自动成立（可检查海赛矩阵主子式的符号确为正负相间）。（2）在成本函数已知的条件下，根据Shephard引理可以求出条件要素需求：，9一个厂商有两个工厂，这两个工厂的成本函数是相同的但如果厂商只在一个工厂生产，另一个工厂的固定成本是可以避免的，即是说。（1）成本最小条件（3.28）是否一定成立？为什么？（2）在和两种情况下，厂商如何决定是在一个工厂生产还是同时在两个工厂生产？（3）在条件下，什么产量范围内存在规模经

10、济？解：（1）由于这里存在厂商只使用一个工厂的可能性，而这意味着成本最小化问题中需要考虑角点解，所以第3章中成本最小化条件（3.28）不一定成立。（2）时，两工厂的成本函数变为：。由于两个工厂的边际成本都是常数，无论厂商需要生产多少产量，它总可以将所有产品安排在一个工厂生产，维持边际成本，同时节约另一工厂的固定成本。据此，厂商的成本函数即为一个工厂的成本函数。时，。在产量为时，如果厂商同时使用两个工厂，成本最小化要求：。这种情况下，厂商成本函数为：如果厂商只使用一个工厂，它的成本函数为：所以，厂商的产量配置取决于两个成本的大小。厂商只使用一个工厂的条件是：，即因此，厂商的成本函数是：（3）根据

11、刚才建立的成本函数，计算成本对产量的弹性系数：时，；时，3一个消费者的效用函数为该消费者的效用函数又可以写为下列哪种函数形式？（a）；（b）；（c）。解：在正单调变换时，原效用函数可变为（a）的形式；在正单调变换时，原效用函数可变为（b）的形式；由于效用函数在正单调变换下不改变原来的偏好性质，所以（a）和（b）都是原来效用函数的等价形式；而（c）则不是。4推导上一问题中消费者的（1）马歇尔需求函数和间接效用函数；（2）希克斯需求函数和支出函数；（3）比较马歇尔需求和希克斯需求曲线的斜率；（4）验证Roy等式；（5）验证对偶性定理。解：取效用函数的等价形式，并且假设。（1）考虑效用最大化问题：

12、构造拉格朗日函数为：效用最大化的一阶必要条件为：联立方程求解得：，此即为马歇尔需求函数；相应的间接效用函数为。（2）考虑支出最小化问题： 构造拉格朗日函数：由支出最小化的一阶条件解得：，这就是希克斯需求函数。支出函数为。（3）以商品1为例，在平面内，两条需求曲线相交处满足：在该点两条需求曲线的斜率分别为：，利用交点条件，显然二者存在关系。二者都为负数，且，这意味着在坐标平面中希克斯需求曲线较马歇尔需求曲线陡峭。（4）由（1）知，所以：，因此，。（5）利用关系，可验证：同理，可验证其他恒等式。6试画出下列效用函数的无差异曲线，并讨论其对应的间接效用函数和支出函数的特征。（1）完全替代商品：；（2

13、）完全互补商品：。解：（1）由于两种商品是完全替代的，消费者只可能买其中较便宜的商品。如图4-3所示。图4-3因此，需求函数和间接效用函数是：，特征是与价格较高商品的价格无关。支出函数为，是的线性函数。（2）完全互补商品的效用函数的无差异曲线如图4-4所示。图4-4由于效用水平仅是和中较小的一个值，所以，无论是效用最大化或者是支出最小化问题，最优消费组合必然满足。在此约束下，效用函数可以简单地写为（或是）。考虑效用最大化问题：解得：。代入效用函数即得间接效用函数：。这是收入的线性函数；而且，保持不变，个别的商品价格变化不改变。显然，对于预先给定的效用水平，希克斯需求是，从而支出函数为。8如果消

14、费者需要缴纳消费税，比较下列两种税制对消费行为的影响：（a）消费者一次性缴纳一笔固定税款；（b）从价税：如果商品价格为，消费者按税后价格购买。解：两种税制可进行比较的前提是假设消费者最终缴纳的税额一致，都为，然后比较消费者在不同情况下达到的效用水平。分以下两种情况讨论：（1）若从价税是在所有商品上征取，所有商品的价格都同比例提高，那么消费者的预算线与一次性缴纳元情况下的预算线一致（因为斜率相同，且收入都是），所以两种税制对消费者来说是一样的。（2）从价税只在部分商品上征收，其他商品的价格保持不动。假设原来的商品价格为，考虑政府实行从价税，价格变为，消费者的最优消费组合为。如果此时消费者所缴纳的

15、总税额，则可以确定消费者在一次性缴纳元后，商品价格维持不变的情况下会有更高的福利。原因在于，一次性缴纳元，余下的收入足够购买商品组合，消费者不是非买这一组合不可，他还有其他选择，这一额外的选择会带给他改善福利的机会。其实，一次性税制相当于迫使消费者进行了一次程度为元的收入效应调整，而从价税则是在此基础上迫使消费者再进行一个替代效应式的消费收缩。1某人的效用函数是，他的收入。最初的商品价格是，假设现在价格变化为。计算、和，比较计算结果并作简明的解释。解：先求解效用最大化问题：构造拉格朗日函数：求一阶条件，可得：代入约束条件可得，从而得到马歇尔需求函数：，因此，。时，。再考虑支出最小化问题：构造拉

16、格朗日函数，一阶条件为：代入约束条件解出。从而得到希克斯需求函数，。由于商品2的价格始终为1，代入上面的式子，整理可得：通过比较得出，成立。2小李的效用函数是，他原来在深圳一家公司总部工作，月薪3000元，深圳的商品价格是；现在公司内部调动，小李被派往内地城市的公司办事处那里的商品价格为。（1）如果小李的工资不变，他在内地达到的生活水平相当于他在深圳多少收入的生活水平？（2）如果公司在人事变动时按照各地物价水平调整职员工资，使他们的效用水平保持不变，小李在调动时工资会调整到什么水平？解：（1）根据小李的效用函数，无论是效用最大化问题和支出最小化问题，他的最优消费组合必然满足，在这样的情况下，效

17、用函数可以写为。以3000元收入在内地达到的效用水平可由下面的效用最大化问题求出：由一阶必要条件，可求得马歇尔需求为：，在深圳的物价水平下达到同样的效用水平，所需的收入可求解支出最小化问题：由一阶必要条件，可求得希克斯需求为：，求得相应的支出是元。即工资不变，他在内地达到的生活水平相当于他在深圳元收入的生活水平。（2）如果公司在人事变动时按照各地物价水平调整职员工资，使他们的效用水平保持不变，计算方法与（1）相同，得到小李在调动时工资会调整到元。9如果某消费者有Cobb-Douglas效用函数，市场利率为，初始收入为。试推导消费者在时期0和1的需求函数。解：根据第5章的跨时消费最优条件（5.6

18、3），有：从而得到，代入预算约束等式：解得：，1一个完全竞争厂商的短期成本函数为（1）求短期边际成本、平均成本和平均可变成本函数；（2）求短期供给函数；（3）如果市场内有100个这样的厂商，求市场的短期供给函数。解：（1）完全竞争厂商的短期成本函数为，那么，短期边际成本函数为。平均成本函数为平均可变成本函数为（2）短期生产停业点为：，即：由此可知：。又，解得，且。（3）如果市场内有100个这样的厂商，市场的短期供给函数为，。2在拟线性效用假设下，消费者的间接效用函数形如；如果是厂商的利润函数，定义一个福利函数为：（1）如果完全竞争均衡价格存在，证明使得函数最小化；（2）解释为什么不是使得函数最

19、大化，却反而使它最小化。证明：（1）令，根据Roy等式根据hotelling引理，。在均衡价格下，市场的总需求等于总供给，所以：因此，在处取得最小值。（2）当时，相对于均衡价格来说消费者的福利提高了，同时厂商的福利降低了，但此时市场供不应求，从而，这表明如果消费者能以这个较低的价格获得他们所需的消费量，他们的福利提高幅度将超过厂商福利降低的幅度，所以社会总的“福利”较市场均衡时高。不过要特别注意，由于在这一较低的价格上厂商提供的产品供给低于消费者的需求量，所以这一较高水平的“福利”事实上是无法实现的。当时，相对于市场均衡状态来说消费者的福利降低，同时厂商的福利提高了，注意到此时有成立，从而，这

20、表明如果厂商能以这个较高的价格出售其全部产量，他们的福利提高幅度将超过消费者福利降低的幅度，所以社会总的“福利”较市场均衡时高。同样，由于在这一较高的价格上厂商提供的产品供给量超过了消费者的需求量，所以这一较高水平的“福利”也是无法实现的。4假设一个供给存在时滞的市场需求和供给函数分别是：和，（1）什么条件下市场是稳定的？（2）假如政府确定了某一个目标价格，并在发现市场偏离该价格时进场作调节性的买卖；政府的这种干涉政策奉行下面的原则：其中是政府在期的购买量（若政府事实上出售）。如果市场本身是不稳定的，政府的这种干涉是否会稳定市场？如果市场本身是稳定的，政府的干涉是否会使得市场不稳定？解：（1）根据市场均衡条件可得：，即。如果价格调整幅度越来越小，且存在，那么均衡就是稳定的。假设，由于价格调整是正负相间的，因此必然存在。由此可得：将代入上式可得：市场稳定的条件是：。（2）政府的干预结果是在期加上了一个额外需求，这样期的市场需求即为：市场出清条件是：