高考数学数列与不等式试题选编

1、高考数学数列与不等式试题选编 l 数列（一）选择题、填空题示例：一张报纸，其厚度为a，面积为b，现将此报纸对折（既沿对边中点的连线折叠）7次，这时报纸的厚度和面积分别是（ ）（A）（B）（C）（D）答案：C示例：已知数列满足记则下列结论正确的是（ ）ABCD答案：A.示例：在正数、之间插入数，使之成为等差数列，又、之间插入数、使之成为等比数列，则有 ( ) A. C. C. D.答案：D示例：2003年12月，全世界爆发禽流感，科学家经过深入的研究，终于发现了一种细菌M在杀死禽流感病毒N的同时能够自身复制已知个细菌M可以杀死个病毒N，并且生成个细菌M，那么个细菌M和2047个禽流感病毒N最多可

2、生成细菌M的数值是( )A. 1024 B. 2047 C. 2048 D. 2049答案：C.示例：某班试用电子投票系统选举班干部，全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1、2、3、k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”.令 则同时同意第1、2号同学当选的人数为（ ）Af（1,1）+f（1，2）+f（1, k）+f（2，1）+f（2，2）+f（2, k）Bf（1,1）+f（2，1）+f（k，1）+f（1，2）+f（2，2）+f（k，2）Cf（1,1）f（1，2）+f（2，1）f（2，2）+f（k，1）f（k，2）Df（1,1）f（2，1）+f（1，2）f（2，2）+f（

3、1, k）f（2，k）答案：C.示例：已知数列前n项和其中b是与n无关的常数，且0b1，若存在，则_ 答案： 1示例：设数列an的通项公式为，试写出一个满足条件的 .答案: 不唯一，的所有实数均可.由示例：如图，第个图形是由正边形“扩展”而来，（则第个图形中共有 个顶点.答案：示例：计算机执行以下程序 始值；如，则进行，否则从继续运行；打印；Stop；那么由语句打印出的数值为 .答案：（二）解答题示例：化工厂购进了245桶液体工业原料，为了方便保管和运输，要求将它们堆放成纵截面为等腰梯形的一垛，且相邻两层只相差一桶。在不考虑占地面积、堆放高度等具体条件时，堆放方案有哪几种？答案：，由等差数列前

4、项和公式可得到与的关系：，又，所以：（），而可取的不大于的正整数约数，最后共有五种设计方案：时；时；时；时；时.示例：设各项均为正数的数列的前n项和为，对于任意的正整数n都有等式成立.（1）求；（2）求证;(3)求.答案：(1)当n=1时，. （2）当时， 当n=1时，也符合 (3) 当时， ， 于是数列是首项为2，公差为2的等差数列. , , .示例：已知函数f(x)= 的图象过原点，以直线x= -1为渐近线，且关于直线x+y=0对称. （1）求函数f(x)的解析式； （2）若数列an（nN*）满足：an>0，a1=1，an+1= f()2，求a2，a3，a4的值，猜想数列an的通项公

5、式an，并证明你的结论； （3）若数列an的前n项的和为Sn，判断Sn与2的大小关系，并证明你的结论.答案：(1) 函数f(x)= 的图象过原点，即f(0)=0，c =0，f(x)= .又函数f(x)= = b - 的图象以直线x= -1为渐近线，且关于直线x+y=0对称，函数y=f(x)的图象以(-1，1)为对称中心的双曲线，a=1，b=1，f(x)= .(2)由题意有an+1= 2，即 = ，即 = +1， - =1.数列是以1为首项，1为公差的等差数列. =1+(n-1)=n，即 = ，an= .a2= ，a3= ，a4= ，an= .(3)当n2时，an= < = - .Sn=

6、a1 + a2 + a3 + + an <1+1- + - + - + + - =2 - <2.故Sn <2.示例：数列中，首项a1=2，前n项和为Sn，对于任意点，点Pn都在平面直角坐标系xoy的曲线c上，曲线c的方程为.（1）判断是否为等比数列，并证明你的结论；（2）若对每个正整数为边长能构成三角形，求t的范围.答案：（1）由（2）由（1）知：示例：已知数列为直角坐标平面上的点. （1）nN，点A，Bn，Cn在同一条直线上，求数列an的通项公式； （2）若数列bn是首项为3，公差为3的等差数列，Sn表示ACnDn的面积，设，试用n表示Hn； （3）求.答案：(1) 对nN

7、，点A，Bn，Cn在同一条直线上, . （2）又数列bn是首项为3，公差为3的等差数列， . ACnDn的面积. 当且nN时，, 当. , 所以 . （3）.l 不等式（一）选择题、填空题 示例：已知，不等式的解集是，则满足的关系是( )ABCD答案：C.示例：某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为（参考数据lg2=0.3010,lg3=0.4771）A. 5B. 10C. 14D. 15答案：C.示例：不等式的解集是_.答案：.示例：观察下列式子：，则可以猜想的结论为：_.答案：（二）解答题示例：已知且 试解关

8、于的不等式 答案： 令 () , 则原不等式. 即 ， 故当时，原不等式的解是当时，原不等式的解是 示例：解不等式：答案：原不等式可化为 即a<1，（x2）当时，即0<a<1时，解集为当时，即a=0时，解集为；当时，即a<0时，解集为 示例：（1）已知是正常数，求证：，指出等号成立的条件；（2）利用（1）的结论求函数（）的最小值，指出取最小值时的值答案：（1），故当且仅当，即时上式取等号； （2）由（1）当且仅当，即时上式取最小值，即示例：对于定义在区间上的两个函数和，如果对任意的，均有不等式成立，则称函数与在上是“友好”的，否则称“不友好”的.现在有两个函数与，给定区

9、间.（1）若与在区间上都有意义，求的取值范围；（2）讨论函数与在区间上是否“友好”.答案：（1）函数与在区间上有意义，必须满足 （2）假设存在实数，使得函数与在区间上是“友好”的，则 即 （*）因为，而在的右侧，所以函数在区间上为减函数，从而 于是不等式（*）成立的充要条件是因此，当时，函数与在区间上是“友好”的；当时，函数与在区间上是不“友好”的.示例：已知二次函数的图像过、两点，且满足.(1)证明：或；(2)证明：函数f(x)的图像必与x轴有两个交点；(3)若关于x的不等式f(x)>0的解集为或(n<m<0)，解关于x的不等式.答案：（1）, 得、. （2）当时，二次函数f(x)的图像开口向上，图像上的点A、B的纵坐标均为且小于零，所以图像x轴有两个交点； 当时，二次函数f(x)的图像开口向下，图像上的点A、B的纵坐标均为且大于零，所以图像x轴有两个交点. 所以函数f(x)的图像与x轴有两个不同交点.（3）的解集为或（n<m<0）, 从而方程的两个根为, 则方程的两个根为,. 因为n<m<0，所以, 故不等式的解集为或.示例：已知二次函数R）满足，对任意实数x，都有，且时，总有（1）