高考数学中三角函数几大题型

1、高考数学中三角函数试题的几大题型1. 考查三角函数的图象：这类试题主要考查三角函数的奇偶性、对称性、单调性与函数图象交点坐标及图象变换问题，解决此类问题的关键是抓住三角函数的周期性。【典型例题1】已知函数其中， （I）若求的值； （）在（I）的条件下，若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图像象左平移个单位所对应的函数是偶函数。【考查要点】该试题主要考查三角函数的诱导公式，两角的和差公式，三角函数的图像与性质，同时也考查学生的运算能力，以及化归与转化，数形结合等数学思想方法。解法一：（I）由得，即又（）由（I）得，依题意，又故，函数的图像向左平移

2、个单位后所对应的函数为是偶函数当且仅当，即从而，最小正实数解法二：（I）同解法一（）由（I）得，依题意，又，故，函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为是偶函数当且仅当对恒成立亦即对恒成立。即对恒成立，故，纪从而，最小正实数【解题回顾】解答这类问题时，应熟练运用公式以及三角函数的图像与性质，认真分析题目的结构特点，寻找最切合的知识与方法进行求解。【典型例题2】设函数（）求的最小正周期。 （）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值。【考查要点】该试题结合函数的对称性考查三角函数的基本公式，以及运算能力与分析问题和解决问题的能力。解：()= =,故的最小正周期为。 ()法一：在的图象上任取一点

3、，它关于的对称点。由条件得点在的图象上。故当时，在区间上的最大值为。法二：区间关于的对称区间为，且与的图象关于对称，故在上的最大值为在上的最大值。由（）知当时，在上的最大值为。【解题回顾】解答这类问题时，应熟练运用三角函数公式以及对称，再利用三角函数的图象，求出答案，也充分展示了数形结合的有效方法。【典型例题3】设函数的最小正周期为。（）求的最小正周期。（）若函数的图像是由的图像向右平移个单位长度得到，求的单调增区间。【考查要点】该试题主要考查三角函数的基本公式，函数图像的平移，以及正余弦函数图像的性质。解：（），依题意得，故的最小正周期为。（）依题意得。由，解得。故的单调增区间为: 。【解题

4、回顾】解答这类问题时，要求能准确化简之外还要对平移公式熟练的掌握，再利用三角函数的图象，求出答案。【典型例题4】已知函数（）的最小正周期为， （）求的值； （）将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的最小值。【考查要点】该试题主要考查三角函数的降幂公式及辅助角公式，三角函数的图像与性质，同时也考查学生的运算能力，数形结合等数学思想方法。【解题回顾】解答这类问题时，要求能准确化简之外还要对坐标变换公式熟练的掌握，再利用三角函数的图象。2. 考查三角函数的性质：这类试题主要考查三角函数的最大小值、周期性，解决此类问题的关键是熟练掌握三角函数公式，正确的进

5、行三角变换。【典型例题5】已知函数（I）求函数的最小正周期。(II) 求函数的最大值及取最大值时x的集合。【考查要点】该试题主要对三角函数的基本公式，以及三角函数的性质中的周期和最值进行了考查。 【解题回顾】解答这类问题时，要求能准确化简,并能正确的应用三角函数的性质。要注意如果系数为负时容易出错。【典型例题6】已知函数。（）求函数的最大值；（II）求函数的零点的集合。【考查要点】该试题主要对三角函数的降幂公式、辅助角公式、三角函数的性质中的最值、图象的应用等方面进行了考查。【解题回顾】解答这类问题时要注意整体的思想。【典型例题7】已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，求的单调递增区

6、间。 【考查要点】该试题主要考查三角函数和差化积公式的逆运用，以及正弦函数的图像和性质。解，又的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，函数的周期为，。由得，。【解题回顾】将“的图像与直线的两个相邻交点的距离等于”这个已知条件成功转化是本题的关键。【典型例题8】设函数。()求函数f(x)的最大值和最小正周期；()设A，B，C为ABC的三个内角，若，且C为锐角，求【考查要点】该试题主要考查三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式、三角函数的性质以及三角形中的三角关系。解() 函数f(x)的最大值为,最小正周期。() =， C为锐角， 。又在ABC中，。【解题回顾】解答这类问题时，应熟练运用各个知识

7、点，在三角形中然后用诱导角公式转化。3. 考查三角函数的求值问题：这类试题一是在题设中给出的是一个或几个非特殊角的特定角，其结果是一个具体的实数；二是在题目中给出某种或几种参变量关系，其结果既可能是一个具体的实数，也可能含参量的某种代数式。解此类问题时应明确目标，从结构式的特点去分析以寻找到合理、简捷的解题方法。【典型例题9】已知函数（其中）的周期为，且图象上一个最低点为。()求的解析式；（）当，求的最值。【考查要点】该试题主要考查正弦型函数的图像和性质。解：()由最低点为，得由，得。由点在图像上，得，即。，故。又， 。（）。当时，即时，取得最小值1；当，即时，取得最大值。【解题回顾】解答这类

8、问题时要注意数形结合的思想和整体的思想。【典型例题10】已知函数（）求的值；（）求的最大值和最小值。【考查要点】该试题主要考查三角函数的特殊角的值，及值域问题。解：（）= （） 因为,所以，当时取最大值2；当时，去最小值-1。【解题回顾】本题对公式的简单应用，属于容易题。【典型例题11】在ABC中，。（）证明B=C：（）若=-，求sin的值。【考查要点】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力。 （）证明：在ABC中，由正弦定理及已知得=.于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因为，从而B-C

9、=0。 所以B=C. （）解：由A+B+C=和（）得A=-2B,故cos2B=-cos（-2B）=-cosA=。又02B,于是sin2B=。 从而sin4B=2sin2Bcos2B=，cos4B=。 所以【解题回顾】解答这类问题时，应熟练运用转化的思想。把边的比转化成正弦的比是本题的关键。【典型例题12】已知向量。（）若，求的值；（）若求的值。【考查要点】这是一道三角函数的化简求值问题，它结合向量的平行考查学生对三角函数的基本公式的掌握情况。解：（），于是，故（）由知，从而，即，于是又由，知，或因此，或【解题回顾】对于平面向量与三角函数的综合试题，解答时应把向量关系转化为与三角函数有关的等量关

10、系。4. 考查三角函数与其它知识结合的问题：（1） 三角函数与向量结合的问题：【典型例题13】已知向量与互相垂直，其中。()求和的值；()若，求的值。【考查要点】该试题结合向量的知识考查同角三角函数间的关系该题要求学生对平面向量数量积的坐标运算公式，三角函数中的平方公式和角的确定熟练掌握。解：()与互相垂直，即。又，。又，。()，。故。【解题回顾】解答这类问题时，应熟练运用向量垂直的坐标运算。【典型例题14】在中，角所对的边分别为，且满足， 。（）求的面积；（）若，求的值。【考查要点】该试题结合向量考查三角变换在三角形中的应用，同时考查倍角公式，三角形面积公式和正余弦定理的应用。解：（），。又

11、， ，。（）且，或。由余弦定理得，。【解题回顾】解答这类问题时，应熟练运用几个知识点的综合应用。（2） 三角函数与其它函数或一元二次方程结合的问题：【典型例题15】已知函数求的值。【考查要点】该试题结合函数的导数考查特殊角的三角函数值。解，故。【解题回顾】解答这类问题时，应熟练运用导数公式并能够把看成的系数。【典型例题16】已知函数。（）求的值；（）求的最大值和最小值。【考查要点】该试题主要考查把三角函数看成一元二次方程：解：（I） （II） = =, 因为， 所以，当时，取最大值6；当时，取最小值【解题回顾】解答这类问题时，应熟练运用转化思想和函数的思想。（3） 三角函数与数列结合的问题：【

12、典型例题17】已知函数，项数为27的等差数列满足，且公差若，则当，求的值。【考查要点】该试题结合三角函数的图像与性质考查数列的相关知识。解函数在 是增函数且为奇函数，函数图象关于原点对称。，故。【解题回顾】解答这类问题时，应熟练运用数列的性质进行解题。（4） 考查三角函数应用的问题：【典型例题18】。，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设

13、计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。【考查要点】该试题是一道创新型的试题，它考查学生经历现实生活中从已知到未知的解题过程，体现了数学为生活服务的课程理念，它能发挥数学的价值，有效地考查了学生的数学能力。解：由（1）得而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设，OD=，由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和，所以，解得，从而值，且最小值为，于是当取得最小值，且最小值为。此时，在中，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。【解

14、题回顾】解答这类问题时，应熟练运用解应用题的转化思想。特别要把题中已知条件转化成图形。5. 解三角形的问题：解决这类问题的关键是正确运用正余弦定理或三角形的面积公式，进行边角转化。【典型例题19】在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知 (I)求sinC的值；()当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长。【考查要点】本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。（）解：因为cos2C=1-2sin2C=，及0C所以sinC=.（）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理，得c=4由cos2C=2cos2C-1=，J及0C得cosC=由余

15、弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得b2b-12=0解得 b=或2所以 b= b= c=4 或 c=4【解题回顾】解答这类问题时，应熟练运用正余弦定理。【典型例题20】中，为边上的一点，求。【考查要点】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况。解：由cosADC=0，知B.由已知得cosB=，sinADC=.从而 sinBAD=sin（ADC-B）=sinADCcosB-cosADCsinB=.由正弦定理得，所以=25。【解题回顾】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，一属于送分题。估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化。【典型例题21】在中，内角A、B、C的对边长分别为、，已知，且 求b的值。【考查要点】该试题主要考查学生处理三角形的边角关系问题的能力，重在正余弦定理的运用的考查。解法一：在中，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：又由已知，解得或（舍去）法二:由余弦定理得: .又,。又，即.由正弦定理得，故.由，解得【解题回顾】此题事实上比较简单，但考生反应不知从何入手对已知条件(1)左侧是二次的右侧是