数值分析第二章插值法

1、第二章第二章 插值插值 在生产实际及科学试验中，经常要研究变量之间的在生产实际及科学试验中，经常要研究变量之间的函数关系，但很多情况下很难找到具体的函数表达式，函数关系，但很多情况下很难找到具体的函数表达式，往往只能通过观测或测量得到一张数据表：往往只能通过观测或测量得到一张数据表：表中给出某个区间表中给出某个区间a,b上一系列点的函数值上一系列点的函数值yi=f(xi)。2.1 问题的提出问题的提出问题：无法求出不在表中的点的函数值，也不能进一问题：无法求出不在表中的点的函数值，也不能进一步研究函数的其他性质，如函数的积分和导数等。为步研究函数的其他性质，如函数的积分和导数等。为了解决这些问

2、题，需要设法通过这张表格求出一个简了解决这些问题，需要设法通过这张表格求出一个简单函数单函数p(x)来来近似近似f(x)，使得，使得p(xi) = f(xi) (i = 0, n) 。y=f(x)y=p(x)插值问题插值问题已知精确函数已知精确函数 y = f(x) 在一系列节点在一系列节点 x0 xn 处测处测得函数值得函数值 y0 = f(x0), , yn = f(xn)，由此构造一个简，由此构造一个简单易算的近似函数单易算的近似函数 p(x) f(x)，满足条件，满足条件p(xi) = f(xi) (i = 0, n)。这里的。这里的 p(x) 称为称为f(x) 的的插值函数插值函数。

3、最。最常用的插值函数是常用的插值函数是 ?多项式多项式x0 x1x2x3x4xp(x) f(x)1 1、插值的基本概念、插值的基本概念设函数设函数 在区间在区间 有定义，且在已知点：有定义，且在已知点： 上的函数值为：上的函数值为：如果存在一个简单函数如果存在一个简单函数 使使则称则称 为为 的的插值函数插值函数；点；点称称为为插值节点插值节点；包含插值点的区间；包含插值点的区间aa，bb称称为为插值区间；插值区间；求插值函数求插值函数 的方法称为的方法称为插值法。插值法。)(xfy ba,bxxxan 10nyyy,10)(xpy )(iixpy ni,210 )(xp)(xfbxxan 0

4、)(xp)(xp可以是多项式、分段函数、三角函数等等可以是多项式、分段函数、三角函数等等. .则称之为插值多项式为多项式函数如果,)(xP如果为分段的多项式，则称为分段插值。从几如果为分段的多项式，则称为分段插值。从几何上看何上看, , 插值法就是求曲线插值法就是求曲线()yP x使其通过给定使其通过给定 n+1 n+1 个点个点(,) ,0,1,2,iix yin 并用它近似已知曲线并用它近似已知曲线()yfx整体误差的大小反映了插值函数的好坏整体误差的大小反映了插值函数的好坏x0 x1x2x3x4xP(x) f(x)()(xPxf和插值函数对于被插函数处的函数值必然相等在节点ix)()(x

5、fxP的值可能就会偏离但在节点外必然存在着误差近似代替因此)()(xfxP2 2、插值多项式的存在唯一性、插值多项式的存在唯一性已知数表已知数表 nnyyyxxx1010nnxaxaxaaxP 2210)(令多项式令多项式满足满足niyxPii,)(210 即方程组即方程组 nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa101111000010有唯一解有唯一解?)(1101111000010 nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa既有既有)(21111010212110200 nnnnnnnnyyyaaaxxxxxxxxx因为因为 njiijnnnnnnxxxxxxxx

6、xxx02121102000111)(VandermondeVandermonde行列式行列式即方程组（即方程组（2）有唯一解）有唯一解),(naaa10nnxaxaxaaxP 2210)(所以插值多项式所以插值多项式存在且唯一存在且唯一 2.2 Lagrange插值插值oxy)(xp)(xf00(,)xy11( ,)x y首先考虑最简单的插值多项式：首先考虑最简单的插值多项式： 在在a,b 上有两个插值节点上有两个插值节点x0 , x1，且已知，且已知 f (x) 在节点上在节点上的函数值的函数值y0 , y1。现在要求一个多项式。现在要求一个多项式L1(x)，使得：，使得： ),()(10

7、1iyxLii若能够找到这样的函数若能够找到这样的函数li(x)，即，即 jijixlji01)(且次数不能超过且次数不能超过1。 则则 0100110001000101yyyxlyxlyxlyxLiii)()()()(1101111001011110yyyxlyxlyxlyxLiii)()()()(恰好满足插值条件。恰好满足插值条件。 1 1、线性插值、线性插值问题问题：怎样求出这样的：怎样求出这样的li(x) , i=0,1 不妨先求不妨先求l0(x) ，由于，由于l0(x)在在x1处函数值为处函数值为0，显然应包括，显然应包括x- -x1这个因子；又因它的次数不能超过这个因子；又因它的次

8、数不能超过1，则，则l0(x)=A(x- -x1) ，而而l0(x)在在x0处函数值为处函数值为1，故，故 A=1/(x0- -x1) ，即得：，即得： 1010 xxxxxl)()(同理可得同理可得 0101xxxxxl)()(则则 称之为称之为线性插值多项式线性插值多项式 。)()()()()(010110101xxxxyxxxxyxL其中，其中， 与与 称为称为线性插值基函数线性插值基函数。且有。且有 )(0 xl)(1xl例例1 1. . 已知已知 , , , , 求求 10100 11121 解解: : 这里这里 x0=100，y0=10，x1=121，y1=11, , 利用线性插值

9、利用线性插值 1121100( )1011100121121100 xxL x714.10)115(115py115y2 2、抛物线插值、抛物线插值抛物插值又称二次插值，它也是常用的代数插值之一。设抛物插值又称二次插值，它也是常用的代数插值之一。设已知已知f(x)在三个互异点在三个互异点x0，x1，x2的函数值的函数值y0，y1，y2，要构造次数不超过二要构造次数不超过二次的多项式次的多项式使满足二次插值条件：使满足二次插值条件：这就是二次插值问题。其几何意义是用经过这就是二次插值问题。其几何意义是用经过3 3个点个点 的抛物线的抛物线 近似代替曲线近似代替曲线如下图所示。因此也称之为如下图所

10、示。因此也称之为抛物线插值抛物线插值。 22210( )Lxa xa xa2( )(0,1,2)iiL xyi),(),(),(221100yxyxyx2( )yL x)(xfy y y=L2(x) y0 y1 y1 y=f(x) O x0 x1 x2 x 为了与下一节的为了与下一节的LagrangeLagrange插值公式比较插值公式比较, ,仿线性插值仿线性插值, ,用用基函数基函数的的方法求解方程组。先考察一个特殊的二次插值问题：方法求解方程组。先考察一个特殊的二次插值问题： 求求二次式二次式 , ,使其满足条件：使其满足条件： )(0 xl0)(,0)(, 1)(201000 xlxl

11、xl这个问题容易求解。由上式的后两个条件知这个问题容易求解。由上式的后两个条件知: : 是是 的两个零点。于是的两个零点。于是 21,xx)(0 xl)()(210 xxxxcxl再由另一条件再由另一条件 确定系数确定系数 1)(00 xl)(12010 xxxxc)()()(2010210 xxxxxxxxxl从而导出从而导出 类似地可以构造出满足条件：类似地可以构造出满足条件：的插值多项式的插值多项式 0)(, 0)(, 1)(210111xlxlxl)()()(2101201xxxxxxxxxl及满足条件：及满足条件： 的插值多项式的插值多项式 0)(,0)(, 1)(120222xlx

12、lxl)()()(1202102xxxxxxxxxl这样构造出来的这样构造出来的 称为称为抛物线插值的基函数抛物线插值的基函数 012( ), ( ), ( )lx l x lx)(),(),(210 xlxlxl0201122012010210122021()()()()()()( )()()()()()()x xx xx xx xx xx xL xyyyxxxxxxxxxxxx容易看出容易看出, ,L2(x)满足条件满足条件 )2 , 1 , 0()(iyxPii取已知数据取已知数据 作为线性组合系数作为线性组合系数, ,将将基函数基函数 线性组合可得线性组合可得 210,yyy3 3、L

13、agrange插值多项式插值多项式使使其其满满足足条条件件次次多多项项式式求求), 1 ,0)(nixlni ),(,)(njijijxlji1010)()()()(110niiixxxxxxxxAxl 设设.为为待待定定常常数数其其中中A可可得得由由1)( iixl)()()(1110niiiiiixxxxxxxxA (*), 1 ,0()()()()()()()()()(0110110nixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxlnijjjijniiiiiiniii 所所以以称之为称之为Lagrange插值基函数插值基函数.利用拉格朗日基函数利用拉格朗日基函数,可以构造多项式可以构造多项

14、式niiinnnxlyxlyxlyxlyxL01100)()()()()(.Lagrange)(.,)(,)(插插值值多多项项式式为为称称解解故故其其为为拉拉格格朗朗日日问问题题的的且且满满足足插插值值条条件件的的多多项项式式为为次次数数不不超超过过xLyxLnxLniinn插值多项式为插值多项式为：线性插值多项式线性插值多项式：n=1010110101xxxxyxxxxyxL)(),(,)(101iyxLii满满足足y=f (x)xyx0 x1y=L1(x).),(),()(的的直直线线为为过过点点11001yxyxxLy 几何意义：几何意义：插值多项式为：插值多项式为：)()()()()(

15、)()(1202102210120120102102xxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxL),(,)(2102iyxLii满满足足xyy=L2 (x)x0y=f(x)x1x2.),(),(),()(的的一一条条抛抛物物线线和和为为过过点点2211002yxyxyxxLy 几何意义：几何意义：x0 x1 xixi+1 xn-1 xny=f(x)y=Ln(x)ab在插值区间在插值区间 a, b 上用上用插值多项式插值多项式p(x)近似代替近似代替f(x), 除了在插值节除了在插值节点点xi上没有误差外，在其它点上一般是存在误差的。上没有误差外，在其它点上一般是存在误差的。若记若

16、记Rn(x) = f(x) Ln(x), 则则 R(x) 就是用就是用 Ln(x)近似代替近似代替 f(x) 时的截时的截断误差断误差, 或称或称插值余项插值余项, 我们可根据后面的定理来估计它的大小。我们可根据后面的定理来估计它的大小。4 4、Lagrange插值多项式的误差分析插值多项式的误差分析 定理定理 设设 在（在（a,b)内存在，内存在， 在插值节点在插值节点 上的函上的函 )(xf)(,)()()(xfbaCxfnn1 bxxxan 10为满足条件为满足条件),(,niyi10 数值为数值为 iniinyxlxL 0)()(),(,)(nkyxLkkn10 的的 次次Lagran

17、geLagrange插值多项式，则对任意插值多项式，则对任意n,bax 有有)()!()()()()()(xnfxLxfxRnnnn111 证明（略证明（略）其中其中),(ba niinxxx01)()( 12010111( )( )( )( )()(),22R xfxfxxxxxx 2012021( )( )()()(),6R xfxxxxxxxxn=2时插值余项为时插值余项为n=1时线性插值余项为时线性插值余项为余项表达式只有在余项表达式只有在f(x)的高阶导数存在时才能应用。的高阶导数存在时才能应用。( , )a b在内的具体位置通常不可能给出，|)(|max)1(1xfMnbxan|)

18、(|)(|011niinnxxxN设设|)(|xRn则则)()!1()(1)1(xnfnn11)!1(1nnNMn例例2处处的的近近似似值值。在在公公式式求求，利利用用插插值值，的的值值分分别别为为：，在在设设2007408180778801086070809048370300250150100. . . . ,. ,. .)(xxexexf解：解： )()()()()()()()()()()()()()()()()(23130321033212023102312101320130201032103xxxxxxxxxxxxyxxxxxxxxxxxxyxxxxxxxxxxxxyxxxxxxxxx

19、xxxyxL代代入入分分别别将将 .,.,.,.,. 3002501501002003210 xxxxx81873002003.).( L可可得得. . .52001081873080相比，误差相比，误差与准确结果与准确结果 e例例3 3 已知已知 sin0.32=0.314567，sin0.34=0.333487， sin0.36=0.352274，分别用一、二次，分别用一、二次Lagrange 插值计算插值计算sin0.3367的值，并估计截断误差。的值，并估计截断误差。（1 1）解解：3403203403203203403203401.sin.sin.)( xxxL34032034032

20、03367032034032034033670336701.sin.sin.).( L3303650. 得得).)(.(sin)(34032021 xxxR 510920 .)()!()()()()()(xnfxLxfxRnnnn111 由由于是于是|.|.|sin| ).(|34033670320336702336701 R3400000918920003300167023334870. （2 2）3603403603403403603403601.sin.sin.)( xxxL3603403603403367034036034036033670336701.sin.sin.).( L330

21、3870. 得得).)(.(sin)(36034021 xxxR )()!()()()()()(xnfxLxfxRnnnn111 由由于是于是|.|.|sin| ).(|36033670340336702336701 R700001354310023300033023522740. 700001354310023300033023522740. 510351 .由此可知由此可知 稍好于稍好于 ).(336701L).( 336701L（3 3）3603403603203603403203403603403203403603203203603203403203603402.sin).)(.().

22、)(.(.sin).)(.().)(.(.sin).)(.().)(.()( xxxxxxxL3303740336702.).( L因为因为).)(.)(.(!)()()(360340320332 xxxfxR )(xL1)(xL1则则|.|.|.|!|cos| ).(|3603403203336702 xxxR 0233000330016703320.!.cos 7101780 .oxyxsin)(xL2 2.3 Newton插值插值 拉格朗日插值多项式结构对称，使用方便。但由于拉格朗日插值多项式结构对称，使用方便。但由于是用基函数构成的插值，这样要增加一个节点时，所有是用基函数构成的插值，

23、这样要增加一个节点时，所有的基函数必须全部重新计算，不具备承袭性，还造成计的基函数必须全部重新计算，不具备承袭性，还造成计算量的浪费。这就启发我们构造一种具有算量的浪费。这就启发我们构造一种具有承袭性承袭性的插值的插值多项式来克服这个缺点，也就是说，每增加一个节点时多项式来克服这个缺点，也就是说，每增加一个节点时, ,只需增加相应的一项即可，这就是只需增加相应的一项即可，这就是牛顿插值多项式。牛顿插值多项式。 由线性代数知由线性代数知, ,任何一个不高于任何一个不高于n 次的多项式次的多项式, ,都可以表示成都可以表示成函数：函数：)()( ,),)( , 1110100nxxxxxxxxxx

24、xx的线性组合的线性组合, , 也就是说也就是说, , 可以把满足插值条件可以把满足插值条件p(xi)=yi(i=0,1,n)(i=0,1,n)的的 n 次插值多项式次插值多项式, ,写成如下形式写成如下形式)()()()(110102010nnxxxxxxaxxxxaxxaa其中其中ak (k=0,1,2,n)为待定系数为待定系数, ,这种形式的插值多项式称为这种形式的插值多项式称为Newton插值多项式插值多项式。我们把它记为。我们把它记为Nn(x)即即010201011( )()()()()() ()nnnN xa a x xa x x x xa x x x xx x （3） 可见，牛顿

25、插值多项式可见，牛顿插值多项式Nn(x)是是插值多项式插值多项式L(x)的另一种表示的另一种表示形式形式, , 与与Lagrange多项式相比它不仅克服了多项式相比它不仅克服了“增加一个节点时整增加一个节点时整个计算工作重新开始个计算工作重新开始”的缺点的缺点, , 且可以节省乘除法运算次数且可以节省乘除法运算次数, ,同时同时在在Newton插值多项式中用到差分与差商等概念，又与数值计算的插值多项式中用到差分与差商等概念，又与数值计算的其他方面有密切的关系其他方面有密切的关系. .它满足如下条件：它满足如下条件：其中其中ak (k=0,1,2,n)为待定系数，形如为待定系数，形如(3)的插值

26、多项式称为的插值多项式称为牛顿牛顿( (Newton) )插值多项式。插值多项式。 )()()()(1101nnnnxxxxxxaxNxN1 1、差商的定义、差商的定义称称000 xxxfxfxxfkkk )()(,为为 关于点关于点 的的 一阶差商一阶差商( (均差）均差）。)(xfkxx ,0称称110010 xxxxfxxfxxxfkkk ,为为 关于点关于点 的的 二阶差商（均差）二阶差商（均差）。)(xfkxxx,10一般，称一般，称111021010 kkkkkkxxxxxfxxxxfxxxf,为为 关于点关于点 的的 k 阶差商（均差）阶差商（均差）。)(xfkxxx,102 2

27、、差商的性质、差商的性质一阶一阶kkkkxxxfxxxfxxf 0000)()(,二阶二阶110001100010 xxxxxfxxxfxxxfxxxfxxxfkkkkk )()()()(,110001100010 xxxxxfxxxfxxxfxxxfxxxfkkkkk )()()()(,)()()()()()()()(1100101110010 xxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxfkkkkkkk )()()()()()(kkkkkxxxxxfxxxxxfxxxxxf 1011100100性质性质1 函数函数 f(x) 的的 n 阶差商阶差商 f x0, x1 , , xn 可由函

28、数值可由函数值 f (x0), f (x1 ), , f (xn ) 的线性组合表示的线性组合表示, 即即 kjkjjjjjjjkxxxxxxxxxfxxxf011010)()()()(, kjkijiijjxxxf00)()(fx0 , x1=fx1 , x0f(x1)- f(x0)x1 x0f(x0)- f(x1)x0 x1=性质性质2 2 差商具有差商具有对称性对称性, ,即在即在 k 阶差商中阶差商中 任意交换任意交换两个节点两个节点 和和 的次序的次序, ,其值不变。其值不变。 例如例如kxxxf,10ixjx0110,xxfxxf120021210,xxxfxxxfxxxf,kij

29、kjixxxxxfxxxxxf1010 因此因此,kkkxxxxfxxxf01110 00121121xxxxxxfxxxxfkkkk ,01210121xxxxxxfxxxxfkkkk ,1x0 x1 kxkx性质性质3 3 n 阶差商阶差商 和和 n 阶导数之间有下阶导数之间有下 列关系列关系: :01,nfxxx这个性质可直接用这个性质可直接用罗尔（罗尔（RolleRolle）定理证明。定理证明。( )12( ) , , !nnff x xxa bn3 3、差商的计算、差商的计算010110 xxxfxfxxf )()(,232332xxxfxfxxf )()(,021021210 xx

30、xxfxxfxxxf ,243243432xxxxfxxfxxxf ,143214324321xxxxxfxxxfxxxxf ,043210432143210 xxxxxxfxxxxfxxxxxf ,baxxxxxnn 110考虑插值节点考虑插值节点4 4、Newton 插值插值xxxfxfxxf 000)()(,由由得得)(,)()(000 xxxxfxfxf 再由再由xxxxfxxfxxxf 101010,得得)(,110100 xxxxxfxxfxxf 于是于是)(,)()(0110100 xxxxxxxfxxfxfxf 则则)(,)(,)()(01100100 xxxxxxxfxxxx

31、fxfxf 又又xxxxxfxxxfxxxxf 210210210,)(,)(,)()(10100100 xxxxxxxfxxxxfxfxf 则有则有)(,)()(0100 xxxxfxfxf )(,10210 xxxxxxxf )()(,210210 xxxxxxxxxxf 所以有所以有)(,)(,)()(102100100 xxxxxxxfxxxxfxfxf )()(,1010 nnxxxxxxxf)()(,nnxxxxxxxxf 010令令)()()(xRxNxfn )()(,)(nnxxxxxxxxfxR 010其中其中)(,)()(0100 xxxxfxfxNn )()(,1010

32、nnxxxxxxxf)(,10210 xxxxxxxf n次多项式次多项式 为函数为函数 的的 Newton 插值多项式插值多项式. . )(xNn)(xf注：注： 由由唯一性可知唯一性可知 拉格朗日插值多项式与牛顿插值多拉格朗日插值多项式与牛顿插值多项式等价项式等价， 只是算法不同，故其余项也相同，即只是算法不同，故其余项也相同，即()0minmax( ), . ,(,)!nnff xxxxn 实际计算过程中实际计算过程中,牛顿插值多项式常被写为如下形式：牛顿插值多项式常被写为如下形式：01( )()()()n+1nxxxxxxx 其其中中 当需增加一个节点时当需增加一个节点时, 只要在多计

33、算一行差商的基础只要在多计算一行差商的基础上增加一项即可上增加一项即可.事实上：事实上：01101( ),()()()nnnnnR xf xxxxxxxxxx )()!()()(,)(xnfxxxxfnnnn11101 )()(,)()(1001nnnnxxxxxxfxNxN例例4 4 给出给出f(x) 的函数表如下的函数表如下, , 求求4 4次牛顿插值多项式，并次牛顿插值多项式，并由此计算由此计算f(0.596)的近似值的近似值. .xi0.400.550.650.800.901.05f ( xi )0.410750.578150.696750.888111.026521.253821.1

34、16001.186001.275731.384101.515330.280000.358930.433480.524930.197330.213000.228630.031340.03126 -0.000121阶均差阶均差2阶均差阶均差 3阶均差阶均差 4阶均差阶均差5阶均差阶均差截断误差截断误差955104106 . 3| )596. 0(,| )(| xxxfxR于是于是631950596059604.).().( Nf)(xN4).)(.(.).(.5504028000040116001410750 xxx).)(.)(.(.65055040197330 xxx).)(.)(.)(.(.

35、8065055040031340 xxxx例例5 5 求过点求过点),(),(),(1126121210 ppp322 xxxf)(所以所以的二次插值多项式。的二次插值多项式。解一：解一：cbxaxxf 2)(令令由由 112462cbacbacba得得 321cba621112122111212 )()()()()(xxxxxL解二：解二：11121211 )()(xx621112122111212 )()()()()(xxxxxL11121211 )()(xx11316222623222 xxxxx62222361818462222 xxxxx)(3261812622 xxxx解三：解三：

36、1511222611210211 ,)(kkkkkkkxxxfxxfxfxk所以所以)(,)(,)()(1021001002xxxxxxxfxxxxfxfxN 32111222 xxxxx)()(已知等距节点已知等距节点nxxhnkkhxxnk00210 ,4.4 Newton4.4 Newton等距插值等距插值1 1、差分、差分定义定义)()()(kkkxfxfxf 1简记为简记为kkkfff 11 kkkfff)()()(1 kkkxfxfxf简记为简记为 22hxfhxfxfkkk)( 22hkhkkfff 简记为简记为向前差分向前差分 向后差分向后差分 中心差分中心差分 前差算子前差算

37、子后差算子后差算子向前差分算子向前差分算子: : 向后差分算子向后差分算子: : 规定规定零零阶差分：阶差分： iiifff00 kmkmkmfff111 高阶向前差分高阶向前差分 111 kmkmkmfff高阶向后差分高阶向后差分 如如)()(kkkkkkkfffffff 11212kkkfff 122)()(21112 kkkkkkkfffffff212 kkkfff2、高阶差分、高阶差分 )()()()(kkkkkkkkffffffff 1121223kkkkffff 12333)()(kkkkkkkfffffff 1122123又如又如 3、前差与后差的关系、前差与后差的关系 11 k

38、kkkffff)()(kkkkkkkfffffff 112122212 kkkfffmkmkmff 一般有一般有再定义再定义1 kkfEf前移算子前移算子kkffI 不变算子不变算子11 kkffE后移算子后移算子则有则有kkkkkkfIEIfEffff)( 1因此因此knknfIEf)( inkniinikniiininifCfIEC 0011)()(knknknfIEfEIf)()( 11nikniininkniniininfCfEC 0011)()( knnniniininnnfICIECEC0011)()( knnnniinininnnnfICIECIECEC)()(11110 4、差

39、商与差分的关系、差商与差分的关系hfxxxfxfxxfkkkkkkk 111)()(,hhfhfxxxxfxxfxxxfkkkkkkkkkkk21211221 ,kfh2221 kmmmkkkfhmxxxf 111!,m阶向前阶向前差商差商与与m阶向前阶向前差分差分的关系的关系m阶向后阶向后差商差商与与m阶向后阶向后差分差分的关系的关系kmmmkkkfhmxxxf 111!,又又!)(,)(mfxxxfmmkkk 1所以所以)(,!)( mmmkkkmkmfhxxxfmhf 15、差分的计算、差分的计算6、等距节点的、等距节点的Newton插值插值已知等距节点已知等距节点nxxhnkkhxxn

40、k00210 ,)(,)()(0100 xxxxfxfxNn )()(,1010 nnxxxxxxxf)(,10210 xxxxxxxf 得得)()(000001xthxfhfthxNn )(!hxthxxthxfh 000002221)()(!hnxthxxthxfhnnn1100000 令令 由由Newton插值公式插值公式thxx 0其中其中)(00 xff kmmmkkkfhmxxxf 111!,参参照照)()(000001xthxfhfthxNn )(!hxthxxthxfh 000002221)()(!hnxthxxthxfhnnn1100000 即即htthfhthfhfthxN

41、n)(!)(1211022000 hntthfhnnn)(! 110002001121fnntttfttftfn !)()(!)(前插公式前插公式同理可得后插公式同理可得后插公式)(thxNnn 0021121fnntttfttftfnnn !)()(!)(解解 函数函数 x3 3 的差分表如下的差分表如下 当当50105050./ ).(.tx时，时，根据根据Newton向前插值公式，分别求得向前插值公式，分别求得 例例6 给出给出 330:1:40.5xx 在的值，计算505010150001.!).(tffN 250150502650101215002002.).(. )(!).(ttf

42、tffN 12502501505036250213500323.).)(.(. )(!)().(tttfxNN 1250012503214500434.)()(!)().(ttttfxNN .)(),()( )( 00334xRxNxNxf即即，则则有有的的四四阶阶导导数数为为上上例例中中由由于于注注意意：.)( 就是精确结果就是精确结果故故12503xN例例7 已知已知f (x)=sinx的数值如下表中前两列，分别用二次的数值如下表中前两列，分别用二次Newton向向前、向后插值公式求前、向后插值公式求sin0.57891的近似值。的近似值。x sinx 0.5 0.47943 0.6 0.

43、56464 0.7 0.644220.4 0.38942 解解 作差分表，见上表作差分表，见上表 0.090010.085210.079582- -0.00480- -0.005633- -0.00083 使用二次使用二次Newton向前插值公式，取向前插值公式，取x0=0.5， x1=0.6， x2=0.7，h=0.1，x=0.57891，则，则789100.hxxt)(!).(12157891002002ttftffN ).()(.005630121085210479430ttt547140. 使用二次使用二次Newton向后插值公式，取向后插值公式，取x0=0.4， x1=0.5， x2

44、=0.6，h=0.1，x=0.57891，则，则210902.hxxt)(!).(12157891022222ttftffN).()(.004800121085210564640ttt547070. Hermite插值插值已知数表已知数表)( )( )( )()()(nnnnnxfmxfmxfmxfyxfyxfyxxx 1100110010求多项式求多项式 满足满足)(xH iiiimxHyxH)( )(则则 称为称为Hermite插值多项式插值多项式)(xH因为数表中有因为数表中有 个已知数，可确定一个个已知数，可确定一个 次次多项式。多项式。22 n12 n2 2.5 .5 其他插值其他插值 当当 较大时用待定系数法求较大时用待定系数法求 是困难的是困难的 12012niiinxaxH)(n令令),()(),(njxxjj210 为为 次多项式次多项式12 n 0)( )(kjjkkjxx nkjxxjkkjkj,)( )(100 且满足且满足 kjkjjk,10 其中其中且满足且满足),()( ,)(nkmxH