北师大版数学九年级上册第四章-《图形的相似》重点题型归纳

1、精选优质文档-倾情为你奉上阶段强化专题训练专题一：平行线分线段成比例常见应用技巧类型一 证比例式技巧1 中间比代换法证比例式1.如图，已知在ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DEBC，EFAB.(1)求证：； (2)若AD:DB=3:5，求CF:CB的值.技巧2 等积代换法证比例式2.如图，在ABC中，D是AB上一点，E是ABC内一点，DEBC，过D作AC的平行线交CE的延长线于F，CF与AB交于P.求证：.技巧3 等比代换法证比例式3.如图，在ABC中，DEBC，EFCD，求证：.类型2 证线段相等技巧4 等比过渡证线段相等(等比例过渡法)4.如图，在ABC中，ACB=9

2、0°，BA，点D为边AB的中点，DEBC交AC于点E，CFBA交DE的延长线于点F.(1)求证：DE=EF；(2)连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：B=A+DGC类型3 证比例和为1技巧5 同分母的中间比代换法5.如图，已知ACFEBD.求证：专题二：证明相似三角形的方法名师点金要找三角形相似的条件，关键抓住以下几点：(1)已知角相等时，找两对对应角相等，若只能找到一对对应角相等，判断夹相等的角的两边是否对应成比例；(2)无法找到角相等时，判断三边是否对应成比例；(3)除此之外，也可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”.方法1 利用边或角的关系判定

3、两直角三角形相似1.下面关于直角三角形相似叙述错误的是( )A.有一锐角对应相等的两个直角三角形相似B.两直角边对应成比例的两个直角三角形相似C.有一条直角边相等的两个直角三角形相似D.两个等腰直角三角形相似2.如图，BCAD，垂足为C，AD=6.4，CD=1.6，BC=9.3，CE=3.1.求证：ABCDEC.方法2 利用角判定两三角形相似3.如图，ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长，与CE交于点E. (1)求证：ABDCED； (2)若AB6，AD2CD，求BE的长 方法3 利用边角判定两三角形相似4.如图，AB3AC，BD3AE，又BDAC，点B，A，E在

4、同一条直线上求证：ABDCAE.方法4 利用三边判定两三角形相似5.如图，AD是ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点求证：DEFABC.专训三巧作平行线构造相似三角形名师点金：解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法常作的辅助线有以下几种：(1)由比例式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形训练角度1 巧连线段的中点构造相似三角形1.如图，在ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，Q，求BP:PQ:QD. 训练角度2

5、 过顶点作平行线构造相似三角形2.如图，在ABC中，ACBC，F为底边AB上一点，BF:AF3:2，取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E，求BE:EC的值 3.如图，过ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和点E.求证：AE:ED2AF:FB. 训练角度3 过一边上的点作平行线构造相似三角形4.如图，在ABC中，ABAC，在边AB上取一点D，在AC上取一点E，使ADAE，直线DE和BC的延长线交于点P.求证: BP:CP=BD:EC. 训练角度4 过一点作平行线构造相似三角形5.如图，在ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AE=AB，连接EM并延长交BC的

6、延长线于点D.求证：BC2CD.作辅助线的方法一： 作辅助线的方法二： 作辅助线的方法三： 作辅助线的方法四： 全章整合提升密码专训一：证比例式或等积式的技巧名师点金证比例式或等积式，若遇问题中无平行线或相似三角形时，则需构造平行线或相似三角形，得到等比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换技巧1 构造平行线法1.如图，在ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F，求证：AE·CFBF·EC.2.如图，已知A

7、BC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且ADCE，DE交AC于点F，试证明：AB·DFBC·EF.技巧2 三点找三角形相似法3.如图，在ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F.求证：.4.如图，在ABC中，BAC90°，M为BC的中点，DMBC交CA的延长线于D，交AB于E.求证：AM2MD·ME.技巧3 构造相似三角形法5.如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N. 求证：BP·CPBM·CN.技巧4 等比过渡法6.如图，在ABC中，ABAC，DEBC，点

8、F在边AC上，DF与BE相交于点G，且EDFABE. 求证：(1)DEFBDE；(2)DG·DFDB·EF.7.如图，CE是RtABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BGAP于点G，交CE于点D. 求证：CE2DE·PE.技巧5 两次相似法8.如图，在RtABC中，AD是斜边BC上的高，ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F. 求证：.9.如图，在ABCD中，AMBC，ANCD，垂足分别为M，N.求证：(1)AMBAND；(2).技巧6 等积代换法10.如图，在ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F.求证：.技巧7 等线段代换法1

9、1.如图，等腰ABC中，ABAC，ADBC于点D，点P是AD上一点，CFAB，延长BP交AC于点E，交CF于点F，求证：BP2PE·PF.12.已知：如图，AD平分BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.求证：PD2PB·PC.专训二巧用“基本图形”探索相似条件名师点金：几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法相似三角形的四类结构图： 1.平行线型2.相交线型3.子母型4.旋转型训练角度1 平行线型1.如图，在ABC中，BE平分ABC交AC于点E，过点E作EDBC交AB于点D.(1

10、)求证：AE·BCBD·AC； (2)如果SADE3，SBDE2，DE6，求BC的长训练角度2 相交线型2.如图，点D，E分别为ABC的边AC，AB上的点，BD，CE交于点O，且，试问ADE与ABC相似吗？请说明理由训练角度3 子母型3.如图，在ABC中，BAC90°，ADBC于点D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证：.训练角度4 旋转型4.如图，已知DABEAC，ADEABC.求证：(1)ADEABC；(2).专训三利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系名师点金：判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一由角的关系推出“平行或垂直

11、”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法训练角度1 证明两线段的数量关系类型1： 证明两线段的相等关系1.如图，已知在ABC中，DEBC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于点M，与DE交于点N. 求证：BMMC.2.如图，一直线和ABC的边AB，AC分别交于点D，E，和BC的延长线交于点F，且AE:CEBF:CF. 求证：ADDB.类型2 证明两线段的倍分关系3.如图，在ABC中，BDAC于点D，CEAB于点E，A60°，求证：DEBC.4.如图，AM为ABC的角平分线，D为AB的中点，CEAB，CE交DM的延长线于E. 求证：AC2CE.训

12、练角度2 证明两线段的位置关系类型1：证明两线段平行5.如图，已知点D为等腰直角三角形ABC的斜边AB上一点，连接CD，DECD，DECD，连接CE，AE.求证：AEBC.6.在ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，EFBC，DFAB，连接CE和AD，分别交DF，EF于点N，M.(1)如图，若E为AB的中点，图中与MN平行的直线有哪几条？请证明你的结论；(2)如图，若E不为AB的中点，写出与MN平行的直线，并证明 类型2 证明两线垂直7.如图，在ABC中，D是AB上一点，且AC2AB·AD，BC2BA·BD，求证：CDAB.8.如图，已知矩形ABCD，ADAB，

13、点E，F把AB三等分，DF交AC于点G，求证：EGDF. 专训四 巧用位似解三角形中的内接多边形问题名师点金位似图形是特殊位置的相似图形，它具有相似图形的所有性质，位似图形必须具备三个条件：(1)两个图形相似；(2)对应点的连线相交于一点；(3)对应边互相平行或在同一直线上.类型1 三角形的内接正三角形问题1.如图,用下面的方法可以画AOB的内接等边三角形,阅读后证明相应问题.画法:在AOB内画等边三角形CDE,使点C在OA上,点D在OB上；连接OE并延长,交AB于点E,过点E作ECEC,交OA于点C,作EDED,交OB于点D；连接CD,则CDE是AOB的内接等边三角形.求证:CDE是等边三角

14、形.类型2 三角形的内接矩形问题2.求作:内接于已知ABC的矩形DEFG,使它的边EF在BC上,顶点D,G分别在AB,AC上,并且有DEEF=12.类型3 三角形的内接正形问题(方程思想)3.如图,ABC 是一块锐角三角形余料,边BC=120mm ,高AD=80mm ,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边QM 在BC上,其余两个顶点P ,N 分别在AB,AC上,则这个正方形零件的边长是多少?4.(1)如图,在ABC 中,点D ,E ,Q 分别在AB ,AC ,BC 上,且DE BC ,AQ交DE 于点P.求证:DP：BQ=PE：QC. (2)在ABC 中,BAC =90°,正方形D

15、EFG 的四个顶点在ABC 的边上,连接AG ,AF ,分别交DE 于M ,N 两点.如图,若AB=AC=1,直接写出MN的长； 如图,求证:MN²=DM·EN. 专训五： 图形的相似中的五种热门考点名师点金：相似是初中数学的重要内容，也是中考重点考查内容之一，而对于成比例线段、相似三角形的判定与性质、位似图形等都是命题的热点考点一： 比例线段及性质1.下列各组长度的线段，成比例线段的是()A. 2 cm，4 cm，4 cm，8 cm B. 2 cm，4 cm，6 cm，8 cmC. 1 cm，2 cm，3 cm，4 cm D. 2.1 cm，3.1 cm，4.3 cm，5

16、.2 cm2若0，则_.3如图，乐器上的一根弦AB80 cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，则支撑点C到端点A的距离约为_(2.236，结果精确到0.01)考点二： 平行线分线段成比例4.如图，若ABCDEF，则下列结论中，与相等的是() A. B. C. D.5.如图，在RtABC中，ACB90°，ABC60°，以AC为边向三角形外作正方形ACDE，连接BE交AC于F，若BF cm，则EF_. 6.如图，在ABC中，AMMD41，BDDC23，求AEEC的值考点三 相似三角形的性质与判定7.已知ABCDEF，若ABC与DEF的相似比为34

17、，则ABC与DEF的面积之比为() A.4:3 B.3:4 C.16:9 D.9:168.在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且AEED31，CE的延长线与BA的延长线交于点F，则SAEFS四边形ABCE为() A.34 B.43 C.79 D.97 9.若两个相似多边形的面积之比为14，周长之差为6，则这两个相似多边形的周长分别是_10.如图，ABC是直角三角形，ACB90°，CDAB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.(1)求证：FD2FB·FC； (2)若FB5，BC4，求FD的长11.如图，四边形ABCD是正方形，BD是对角线，BE平分DBC

18、交DC于点E，点F是BC的延长线上一点，且CECF，BE的延长线交DF于点M.(1)求证：BMDF； (2)若正方形ABCD的边长为2，求ME·MB.考点四 相似三角形的应用12.一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯的高度CD.如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB1.25 m，已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高度CD.(结果精确到0.1 m)13.某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BACD，BC20 cm

19、，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm，8 cm.为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁EF的长应为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)考点五 图形的位似14.如图，已知正方形ABCD，以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得正方形ABCD，则点C的坐标为_15.如图，在6×8的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点O和ABC的顶点均在小正方形的顶点上(1)以O为位似中心，在网格图中作ABC和ABC位似，且相似比为12；(2)连接(1)中的AA，求四边形AACC的周长(结果保留根号)专训六全章热门考点整合应用名师点金：本章主要内

20、容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是中考的高频考点其主要考点可概括为：3个概念、2个性质、1个判定、2个应用、1个作图、1个技巧考点一：3个概念概念1：成比例线段1.下列各组线段，是成比例线段的是()A.3cm，6cm，7cm，9cm B.2cm，5cm，0.6dm，8cmC.3cm，9cm，1.8dm，6cm D.1cm，2cm，3cm，4cm2.有一块三角形的草地，它的一条边长为25m，在图纸上，这条边的长为5cm，其他两条边的长都为4cm，则其他两边的实际长度都是_m.概念2：相似多边形3.如图，已知11，22，33，44，DD，试

21、判断四边形ABCD与四边形ABCD是否相似，并说明理由概念3：位似图形4.如图，在ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(1，0)以点C为位似中心，在x轴的下方作ABC的位似图形，并把ABC的边放大到原来的2倍，记所得的像是ABC.设点B的对应点B的坐标是(a，b)，求点B的坐标考点二： 2个性质性质1： 平行线分线段成比例的性质5.如图，在RtABC中，A90°，AB8，AC6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度过点D作DEBC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.(1)求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，BDE的面积有最大值，最大值为多少？ 性质2： 相似三角形的性质6.如图，已知D是BC边上的中点，且ADAC，DEBC，DE与BA相交于点E，EC与AD相交于点F.(1)求证：A