高考题立体几何点线面位置关系

1、专题 立体几何高考考试大纲说明的具体要求： (1）空间几何体认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图。会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）。了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。（2）点、直线、平面之间的位置关系理解空间直线、平面位置关系的定义，并了

2、解如下可以作为推理依据的公理和定理.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.理解以下判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个

3、平面平行.如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理，并能够证明：如果一条直线与一个平面平行,经过该直线的任一个平面与此平面相交,那么这条直线就和交线平行.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.垂直于同一个平面的两条直线平行.如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.一、基础知识梳理：1、三个公理和三条推论：公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面

4、内。这是判断直线在平面内的常用方法。公理2、如果两个平面有两个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上。这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一。公理3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。推论1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。公理3和三个推论是确定平面的依据。2、线线位置关系：平行、相交、异面两直线平行的判定：隐含的线线平行关系：题目中涉及中点时，利用中位线的性质，利用平行四边形的对边平行；线段成比例，两直

5、线平行；找线线平行。（1）公理4：平行于同一直线的两直线互相平行；即（2）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行；即（3）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；即（4）线面垂直的性质定理：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。即两直线垂直的判定：隐含的线线垂直关系：等腰三角形底边上的高（中线或角平分线）；矩形的内角；直径所对的圆周角；菱形的对角线；直角三角形（或给出线段的长度满足勾股定理）（1）异面直线成角定义即（2）转化为证线面垂直,用线面垂直定义即；（3）三垂线定理及逆定

6、理。定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（简称线射，线斜）逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。（简称线斜，线射）。其作用是证两直线异面垂直和作二面角的平面角。两异面直线及所成的角：不同在任何一个平面内的两条直线,叫做异面直线, (1)异面直线所成的角的定义：已知异面直线,过空间任一点分别引两异面直线的平行线，则此两相交直线与所成的锐角(或直角)叫做两异面直线所成的角，其范围为；（2）设直线与所成的角为，则1.【2015高考新课标1，理18】如图，四边形为菱形， 是平面同一侧的两点，

7、平面，平面，。（1）证明：平面平面（2）求直线与直线所成角的余弦值1.连接，设,连接,在菱形中，不妨设，由,可得.由平面,可知，,又,.在中，可得,故.在中，可得.在直角梯形中，由可得从而， ，平面，平面，平面平面. 6分（）如图，以为坐标原点，分别以 的方向为轴，轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系，由（）可得， 故.所以直线与所成的角的余弦值为. 异面直线所成角：范围：； 计算方法:求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。具体步骤如下：利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上，构造平面

8、角；证明这个角（或其补角）就是异面直线所成角； 解三角形（常用余弦定理），求出所构造角的度数。3、直线与平面的位置关系：直线在平面内，平行、相交其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外。直线在平面内即；直线与平面相交。其中，如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。 注意：任一条直线并不等同于无数条直线；直线与平面平行即。4、直线与平面平行的判定和性质：直线与平面平行的判定：（二种方法，不包括空间向量的方法） 判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行即面面平行的定义：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个

9、平面平行。即2、（2013广东卷文18）（本小题满分13分）如图4，在边长为1的等边三角形中，分别是边上的点，是的中点，与交于点，将沿折起，得到如图5所示的三棱锥，其中(1) 证明：/平面；2.证明：,折起后仍成立/平面直线与平面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行。5、直线和平面垂直的判定和性质：直线和平面垂直的判定：(三种方法) 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。即 两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。即 面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂

10、直于它们交线的直线垂直于另一个平面。即3、（2011广东卷理18）（本小题满分13分）如图，在锥体中，是边长为的菱形，且，, ， ，分别是的中点 证明：平面； 3.证明：法一：是边长为的菱形， 四边形是平行四边形， 法二：是边长为的菱形，故，得;四边形是平行四边形，得;4、（2012年广东理18）（本小题满分13分）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点 在线段上，平面。1 证明：平面；4.证明：5、（2012广东卷文18） (本小题满分13分)如图所示，在四棱锥中，平面，是中点，是上的点，且，为中边上的高。证明：平面；证明：平面5.证明：平面，面 又面取的中点为，连接, ，又平面面面，它

11、们的交线为，面， 点是棱的中点故有四边形 为平行四边形， 又 面，故有平面6、（2013广东卷理18）（本小题满分14分）如图1,在等腰直角三角形中,分别是上的点,为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.() 证明:平面；6.证明:在图1中,得连结,在中,由余弦定理可得由翻折不变性可知(折起前为)在中, ,所以,同理可证, 又平面,所以平面.直线和平面垂直的性质： 如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。即6、直线和平面所成的角：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线

12、和平面的交点叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线 叫做斜线在这个平面上的射影。定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。范围：；直线和平面所成的角，应分三种情况：直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是这条直线和它在平面上的射影所成的锐角；直线和平面垂直时，直线和平面所成的角为；直线和平面平行或直线在平面内时，直线和平面所成的角为；由此可知，直线和平面所成角的范围为；求法：作出直线在平面上的射影； 斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。向量求法：设直线AB与平面所成的角为,平面的法向量为,则 =7.（20

13、13年全国课标1理数18）（本小题满分12分）如图，三棱柱中，.（）证明;（）若平面平面，求直线 与平面所成角的正弦值。7.【答案】（1）取的中点，连接、，因为，所以，由于，故为等边三角形，所以，又所以平面，因为平面，所以；（2）由（1）知，又平面平面，交线为，所以平面，故两两相互垂直，以为原点，为轴的正方向，为单位长，建立如图直角坐标系，则，则，设为平面的法向量，则，则，可取，故,所以直线 与平面所成角的正弦值.在求解斜线和平面所成角的过程中，确定点在直线上或平面上的射影的位置是一个既基本又重要的问题，确定点在平面上的射影位置有以下几种方法：斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线的射影上利用已

14、知垂直关系得线面垂直，确定射影利用面面垂直的性质得线面垂直，确定射影经过一个角的顶点作这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线求直线与平面所成角的一般过程是通过射影转化法，作出直线与平面所成角，在三角形中求角的大小7、平面与平面的位置关系：（1）平行-没有公共点；（2）相交-有一条公共直线。8、两个平面平行的判定和性质：两个平面平行的判定：（二种方法，不包括空间向量的方法） 如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。即如果两个平面都垂直于同一条直线，那么这两个平面平行即两个平面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三

15、个平面相交，那么它们的交线平行。两个平面垂直的判定：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直。也可用向量法证两平面为直二面角（即二面角的平面角为）。9、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。 在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角。二面角的大小可以可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。平面角的三要素：顶点在棱上； 角的两边分别在两个半平面内； 角的两边与棱都垂直。二面角的范围：；作平面角的主要方法： 定义法：

16、直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性； 三垂线法：过其中一个面内一点作另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角； 垂面法：过一点作棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角；向量法：设平面与平面所成的角为，且，则。8、（2011广东卷理18）（本小题满分13分）如图，在锥体中，是边长为的菱形，且，, ， ，分别是的中点 求二面角的余弦值8.解：是边长为的菱形，且 9、（2012年广东理18）（本小题满分13分）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点 在线段上，平面。证明：平面；若，求二面角的正

17、切值；9., ；又为矩形，故四边形为正方形。 设与交点为，连。,为二面角的平面角, 故 为直角三角形。在中，, 又, 又, 二面角的平面角的正切值为10、（2013广东卷理18）（本小题满分14分）如图1,在等腰直角三角形中,分别是上的点,为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.() 证明:平面；() 求二面角的平面角的余弦值.10.()证明:在图1中,得连结,在中,由余弦定理可得由翻折不变性可知(折起前为)在中, ,所以,同理可证, 又平面,所以平面.() 传统法:过作交的延长线于,连结,因为平面,所以,所以为二面角的平面角.结合图1可知,为中点,故,从而所以,所以二面角的平面角的

18、余弦值为.向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,所以,设为平面的法向量,则,即,解得,令,得由() 知,为平面的一个法向量,所以,即二面角的平面角的余弦值为.11. 【2016高考新课标1理数18】（本题满分为12分）如图，在以，为顶点的五面体中，面为正方形，且二面角与二面角都是 (1)证明:平面平面；(2)求二面角的余弦值11、【解析】(1)证明：由为正方形，有，由有，又，又，所以平面平面；(2)解：过作，垂足为，由（I）知平面，以为坐标原点，为轴正方向，为单位长，建立空间直角坐标系（如图所示），由（1）知，为二面角的平面角，故，则， ，得，由，所以平面。又平面平面，故，从而有，故四边形为梯形。由，