各圆锥曲线的定义与性质整理

1、圆锥曲线的定义与性质一、基本知识点1、椭圆椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点、的距离的和大于|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|，则这样的点不存在；若距离之和等于|，则动点的轨迹是线段.椭圆的标准方程：（0），（0）.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.求椭圆的标准方程的方法： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解.椭圆（0）的参数方程为（为参数）.椭圆的简单几何性质：设椭圆方程为（0）.1范围： -axa，-bxb，所以椭圆位于直线x=和y=所围成的矩形里.2对称性：分

2、别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.3顶点：有四个（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）. 线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.4离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0e1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有=+、两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.2、双曲线及其标准方程双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝

3、对值等于常数2a（小于|）的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a|，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|，则动点的轨迹是两条射线；若2a|，则无轨迹. 若时，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.双曲线的标准方程：和（a0，b0）.这里，其中|=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判

4、断焦点在哪一条坐标轴上.求双曲线的标准方程，应注意两个问题： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解.双曲线的简单几何性质1双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率1，离心率e越大，双曲线的开口越大.2双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：，其中k是一个不为零的常数.在双曲线中，a、b、c、e四个元素间有与的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件.3、抛物线抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线。设，抛物线的标

5、准方程、类型及其几何性质：图形焦点准线范围对称轴轴轴顶点（0，0）离心率焦半径对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。二、典型习题（一）圆锥曲线定义1、（1）椭圆上一点M到焦点F1的距离是2，N时MF1的中点，则的长为。（2）已知双曲线的方程是，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，则的大小为（O为坐标原点）（3）已知双曲线的方程是，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为8，点N是PF1的中点，则的大小为

6、（O为坐标原点）2、已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x3)2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹。3、已知椭圆的焦点F1(3,0)、F2(3,0)且与直线xy+9=0有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程.（二）焦点三角形：椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。解题时还可能要用到： 圆锥曲线的第一定义式及其平方等；三角形的面积公式：； 平面几何的性质等。4、双曲线的两个焦点为，点P在双曲线上，若，求点P的坐标。5、已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，=60(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证的面积只与椭圆的短轴长有关。

7、6、已知椭圆的焦点是，和，离心率为（1）求椭圆上的点到直线距离的最大值；（2）若P在椭圆上，求的面积（三）圆锥曲线的方程7、（1）中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点（）和（）的椭圆的方程为；（2）与双曲线有相同的渐近线，且过点（12，6）的双曲线的方程为；（3）顶点在原点，对称轴是坐标轴，且过点（2，3）的抛物线的方程为；（4）已知椭圆的焦距是，且经过点P，则椭圆的标准方程为；（5）若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是；（6）双曲线的两条渐近线方程为，且它的焦点到渐近线的距离为3，则此双曲线方程为。（7）椭圆的焦点坐标是（，）和（，），过作轴，交椭圆于，两点，且是等边三角形

8、，此椭圆的标准方程为。8、双曲线与椭圆有共同的焦点，点是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程。9、代表实数，讨论方程所表示的曲线yOK图1（四）几何性质10、（1）点P是抛物线上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是（2，3），则的最小值为，此时点P的坐标为。（2）如图1，过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于两点A，B，若A，B在抛物线的准线上的射影分别是A1，B1，则等于；（3）抛物线y=ax2的准线方是y=2，则a的值是.11、（1）如果双曲线的两条渐近线方程是y=，则此双曲线的离心率是。（2）双曲线的两条渐近线互相垂直，则离心率是.（3）下图中两个椭圆和两条双曲线的离心

9、率分别是、，且，则曲线的离心率是_，曲线的离心率是_，曲线的离心率是_，曲线的离心率是_。（4）（2005年四川高考题）设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是；（5）已知椭圆C1：=1的一条通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)与抛物线C2：y2=2px(p0)的通径重合，则椭圆的离心率为；（6）若椭圆的离心率为，则m为（7）2007年（全国2理）设分别是双曲线=1的左、右焦点，若双曲线上存在点，使且，则双曲线的离心率为.12、（1）设椭圆 的两个焦点是 ，且椭圆上存在点P使得直线与 垂直，则实数m的取值范围为；（2）已知

10、P是椭圆上一点，Q、R分别是圆(x+4) 2+y2= 和(x-4) 2+y2=上的点，则|PQ|+|PR|的最小值是.（3）若动点(x,y)在曲线=1(b0)上变化，则x2+2y的最大值为.（4）07年（全国）设分别是双曲线的左、右焦点若点在双曲线上，且，则13、关于双曲线xy=1有下面4个命题：（1）它的渐近线方程为x=0和y=0;（2）它的实轴长为；（3）它的离心率为；（4）正三角形的三顶点在双曲线xy=1上，则不可能同号。以上正确命题的序号为。14、已知双曲线（x-h）（y-k）=a()的水平渐近线为y=k,垂直渐近线为x=h,双曲线中线为(h,k)，若双曲线上的点到它的水平渐近线，垂直

11、渐近线，中心的距离分别为，则的最小值为。15、如图，在正方体的侧面内有一动点P到直线AB的距离等于到直线B1C1的距离，则动点P的轨迹是。xF1OF2MyN圆锥曲线定义与性质答案1、（1）解：由椭圆方程知，因为（F2为另一个焦点坐标），又因为，所以，ON是三角形MF1F2的中位线，所以即的长是4。（2）解：ON是三角形PF1F2的中位线，所以，因为，所以，（3）82、解：设动圆圆心M(x,y)，动圆半径为R，则MC1=1+R，MC2=3+R， 所以|MC2|MC1|=2 0, a245, 故amin=3，得（2a）min=6,此时椭圆方程为.解法2：设椭圆=1与直线xy+9=0的公共点为M(a

12、cos,)，则acos+9=0有解.=9cos(+)=，|19a245, amin=3，得（2a）min=6,此时椭圆的方程.MF2xF1 1OyF解法3：先求得F1(3，0)关于直线xy+9=0的对称点F(9,6)，设直线F1F2与椭圆的交点为M，则2a=|MF1|+|MF2| =|MF| +|MF2|FF2|=6，于是(2a)min=6,易得a2=45,b2=36， 此时椭圆的方程为.4、解：由双曲线的方程知：，不妨设点P在第一象限，坐标为，F1为左焦点，那么：由得：，所以，在直角三角形PF1F2中，所以代入双曲线的方程得：，即点P的坐标是，再根据双曲线的对称性得点P的坐标还可以是，。5、

13、（1） （2）6、解：设椭圆，半焦距为c，则椭圆方程为设椭圆上的点为，P到直线的距离，当且仅当时取“”（其中），椭圆上的点到直线的最大值为（2），又，即，7、（1）解：设椭圆的方程是：，将已知点的坐标代入得：，所以，即所求的椭圆方程是：（2）解:因为所求双曲线与已知双曲线有相同的渐近线，设所求的双曲线的方程是，将点（12，）代入得：所以，所求的双曲线的方程是：。（3）解：设抛物线的方程是或，那么：，或，所求抛物线的方程是：或。（4）或；（5）；（6）解：设该双曲线的方程为3x2y2=k（k0）当k0时，焦点坐标为，由焦点到渐近线距离为3得k=9当k0时，焦点坐标为，由焦点到渐近线距离为3得k=

14、27所以所求双曲线的标准方程为或（也可利用双曲线焦点到渐近线的距离为b求解）（7）解：点拨：本题根据椭圆的定义和等边三角形的性质解答。由椭圆的定义得：，又因为是等边三角形，所以，即，所以，所以，所求的椭圆的标准方程是8、解：由共同的焦点，可设椭圆方程为；双曲线方程为，点在椭圆上，双曲线的过点的渐近线为，即所以椭圆方程为；双曲线方程为9、解：当时，曲线为焦点在轴的双曲线；当时，曲线为两条平行的垂直于轴的直线；当时，曲线为焦点在轴的椭圆；当时，曲线为一个圆；当时，曲线为焦点在轴的椭圆。10、（1）解：抛物线的准线方程是，那么点P到焦点F的距离等于到准线的距离，作准线，垂足为D，那么，所以当点M，P

15、，D三点共线时，的值最小，即用点M的横坐标减去准线方程的数值得：，所以的最小值是4。此时点P的纵坐标为3，所以横坐标是，即点P的坐标是。（2）解：点拨：利用抛物线的定义和平面几何的知识解题。设准线与轴的交点为K，那么，,所以，又因为AA1轴,所以，同理可证，所以（3）11、（1）解：当双曲线的焦点在x轴上时有，又c2=a2+b2，解得e= 当双曲线的焦点在y轴上时有，又c2=a2+b2，解得e=（2）（3）（4）解：设|PF2|=m，则由题设得|PF1|=m，2c =|F1F2|=m.由椭圆第一定义，得2=|PF1|+|PF2|=()me=. （5）由已知得,则b2=2ac，a2-c2=2ac，1-e2=2e，即e2+2e-1=0，则e=-1（6） （7）12、（1）分析：要求m的取值范围，首先需要导出相关的不等式，由题设知，椭圆方程为第一标准方程，因而这里应有 ， 便是特设条件中隐蔽的不等关系.(2)设F1、F2为椭圆的左右焦点，则F1、F2分别为两已知圆的圆心，则|PQ|+|PR|(|