吉林梅河口五中高二数学选修21导数的几何意义教案

1、科目数学课题导数的几何意义教师时间教学目标知识与技能（1）使学生掌握函数在处的导数的几何意义就是函数的图像在处的切线的斜率。（数形结合），即：切线的斜率(2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法。过程与方法通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的情感、态度与价值观导数的几何意义能够很好地帮助理解导数的定义，达到数与形的结合；同时又是知识在几何学，物理学方面的迁移应用。培养学生学数学，用数学的意识感受数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，体会数学的博大精深以及学习

2、数学的意义教材分析重点导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法难点发现、理解及应用导数的几何意义疑点以直代曲”的思想方法学法引导在学习时多从生活中的实例，借助于图形直观帮助对概念的理解。课时安排1课时教法启发式教学手段多媒体辅助教学教 学 过 程 设 计 意 图一、创设情境、导入新课1.回顾旧知、引出研究的问题：前面我们初步了解了一些微积分背景知识，对有“微积分之父”之称的牛顿和莱布尼慈，也相识了（幽默：同时知道当爹的不易），之后重点学习了函数在处的导数就是函数在该点处的瞬时变化率。那么：提问：(1)求导数的步骤有哪几步?生：总共分三步（拉音，模仿赵本山）：第一步：求增量第二步：求平均

3、变化率；第三步：求瞬时变化率.（即，平均变化率趋近于的确定常数就是该点导数） (2)观察函数的图象，平均变化率 在图形中表示什么？生：平均变化率表示的是割线的斜率.师：这就是平均变化率()的几何意义，那么瞬时变化率()在图中又表示什么呢？今天我们就来探究导数的几何意义。板书老师引导学生回忆联系本节课的旧知识，下面探究导数的几何意义也是依据导数概念的形成，寻求解决问题的途径。教师板书，便于学生数形结合探究导数的几何意义。突破平均变化率的几何意义，后面在表示割线斜率时能直接联系此知识。同时引出本节课的研究问题导数几何意义是什么？（复习引入用时约3分钟）二、引导探究、获得新知1.动画类比，得到切线的

4、新定义要研究导数的几何意义，结合导数的概念，即要探究，割线的变化趋势，看下面的动画。多媒体显示【动画1】：圆上点P处的切线PT和割线PPn，演示点Pn从右边沿着圆逼近点P ,然后再从左边沿着圆逼近点P ，即，割线PPn的变化趋势。教师引导学生观察割线与切线是否有某种内在联系呢？生：先感知后发现，当，随着点Pn沿着圆逼近点P，割线PPn无限趋近于点P处的切线。把割线逼近切线的结论从圆推广到一般曲线，可得：多媒体显示【动画2】：动态演示教材上点沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势图。师：类比【动画1】，当点沿着曲线趋近于点时，即，研究割线的变化趋势。学生观察【动画2】，类比得出一般曲线的切线定义：当

5、点沿着曲线逼近点时，即，割线趋近于确定的位置，这个确定位置上的直线PT称为点P处的切线。突破研究的难点：，割线点P处的切线那么：，割线的斜率？与导数又有何关系呢？进行下面的探究活动。2.数形结合，探究导数的几何意义结合【动画2】的变化过程，探究导数的几何意义。【探究一】1.已知曲线上两点，求：(1)结合两点坐标，割线的斜率可表示为什么？生：(2)结合，割线切线PT，则切线PT的斜率可表示为什么？生：2.你能发现导数的几何意义吗？生：函数在处的导数就是曲线在该点处的切线斜率，即：3.在上面的研究过程中，某点处的割线斜率与切线斜率与某点附近的平均变化率和瞬时变化率有何联系？生：平均变化率瞬时变化率

6、 割线的斜率切线的斜率以求导数的两个步骤为依据，从平均变化率的几何意义入手探索导数的几何意义，抓住的联系，在图形上从割线入手来研究问题。带着问题观察动画，借助熟悉的圆中的某点处的割线和切线，学生更易感知当，割线的变化趋势。用逼近的方法体会割线逼近切线，消除学生对极限的神秘感。肯定学生的研究结果，并引导学生把这种由割线逼近的方法得到切线推广到一般曲线，并由此得出割线的变化趋势，为研究几何意义做好铺垫。两个动画，探索一般曲线中的切线定义，让不同程度的学生都能借助直观的图象感知和发现，得出：，割线逼近该点处的切线（直观获得切线的定义，至此用时约8分钟）感知联系，运用数形结合的方法研究数值表示。从直观

7、感知到数式研究相对照，有利于大多数学生主动建构知识，进而得出导数的几何意义。要求学生善于归纳和总结并深入体会知识间的联系。三、探索小结、重点讲评1.获得导数的几何意义学生快速探究活动后，展示研究成果，教师重点讲评：割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点P时，无限趋近于切线PT的斜率，即切线PT的斜率即为函数在处的导数。导数的几何意义：师：由导数的几何意义，我们可以解决哪些问题？生：已知某点处的导数或者切线的斜率可以求另外一个量。初中平面几何中，圆的切线的的定义：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切。这时，直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点。 圆是一种特殊的曲线。这种定义并不适用于一般曲线

8、的切线。例如上图中，直线虽然与曲线有惟一的公共点，但我们不能认为它与曲线相切；而另一条直线虽然与曲线有不只一个公共点，我们还是认为它是曲线的切线。因此，以上圆的切线定义并不适用于一般的曲线。通过逼近的方法，将割线趋于确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一），适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。2.了解以直代曲思想把点P附近函数的图象放大，引导学生理解以直代曲思想是指某点附近一个很小的研究区域内，曲线与切线的变化趋势基本一致，故可由曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线。师：在某点附近一个很小的研究区域内，曲线与切线的变化趋势有何关系？如果切线的斜率为正，则该点附近曲

9、线的增减情况怎样？生：点P附近，曲线和该点处的切线的增减变化情况一致。如果切线的斜率为正，则该点附近曲线呈上升趋势。借助实物投影仪，展示学习成果，学生经历了完整的探究过程后，教师的讲评就可以有针对性和详略，学生也可以结合自己探究的体会更好地建构知识。突破导数的几何意义这个学习重点。通过将曲线一点处的局部“放大、放大、再放大”的直观方法，形象而逼真地再现“以直代曲”思想。渗透用导数的几何意义研究函数的增减性至此突破学习重点和难点，用时约15分钟四、知识应用、巩固理解1.导数几何意义的应用例题1：简单小题例题2：如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图象。(1) (2)【探究二】1用图形体现

10、，的几何意义。2导数值的正负，反应该点附近的曲线有何变化趋势？3请描述、比较曲线在附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在附近呢？分析：附近：瞬时，增减：变化率，即研究函数在该点处的瞬时变化率，也就是导数。可借助切线的变化趋势得到导数的情况。生：作出曲线在这些点处的切线，在处切线平行于轴，即，说明在时刻附近变化率为0，函数几乎没有增减；在作出切线，切线呈下降趋势，即，函数在点附近单调递减。曲线在附近比在附近下降得更快，则是因为。小结：附近：瞬时，增减：变化率，即研究函数在该点处的瞬时变化率，也就是导数。导数的正负即对应函数的增减。作出该点处的切线，可由切线的升降趋势，得切线斜率的正负即导数的正负

11、，就可以判断函数的增减性，体会导数是研究函数增减、变化快慢的有效工具。同时，结合以直代曲的思想，在某点附近的切线的变化情况与曲线的变化情况一样，也可以判断函数的增减性。都反应了导数是研究函数增减、变化快慢的有效工具。例3 如图表示人体血管中的药物浓度（单位：）随时间（单位：）变化的函数图像，根据图像，估计（min）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。(精确到0.1)0.20.40.60.8药物浓度的瞬时变化率（注记：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（说出如何估计切线斜率），进一步体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。）抽象概

12、括，（先由学生小结）抽象概括出导函数（简称导数）的概念：是确定的数（静态），是的函数（动态）由（特殊一般）（静态动态）（说明：体验从静态到动态的变化过程，领会从特殊到一般的辩证思想见学案“学生活动”要求学生动脑(审题),动手(画切线)，动口(讨论)，体会利用导数的几何意义及运用导数来研究函数在某点附近的单调性，渗透“数形结合”的思想方法，运用以直代曲的思想方法。问题1由具体的导数入手，熟悉导数的几何意义，帮助学生感知导数与函数单调性之间的联系。 问题2引导学生感知导数反映变化率的本质。问题3运用导数的几何意义，借由切线的变化趋势，得出切线的斜率即该点处的导数的情况，进而判断函数的单调性。给出曲

13、线上各点的切线的变化图，体会导数就是反映函数变化率的，借助曲线可以得出切线斜率的情况即该点处导数的情况。体会导数在研究函数增减和变化快慢的应用。五、分层练习、提升能力（定时不定量的练习，期望学生熟能生巧）六、归纳总结、深化认识这节课我们学习了哪些知识和方法？学生进行开放式小结：（回顾学习的两个知识和数学思想方法）(1)切线的定义：当点沿着曲线逼近点时，即，割线趋近于确定的位置，这个确定位置上的直线PT称为点P处的切线。(2)函数在处的导数的几何意义就是函数的图象在处的切线的斜率。（3）数学思想方法：体会“数形结合”的思想方法、逼近的思想方法、“以直代曲”的思想方法。（4）导函数的定义（七）作业布置，分层要求：1习题P10A5,6.B2,3. 2如图（函数图像参见“学生动手实践”，此略）是利用信息技术画出的函数的图像，请根据图像，估计时，气球的瞬时膨胀率。有什么发现？ 3请给出求函数在处的切线方程的一个算法，并小组自编四个求切线的题目。（探索：若把3 “在点 处”改为“过点”，算法有何不同？并小组自编四个求切线的题目。）（八）板书设计我们学校的黑板是由四部分组成，上下可以拉动的，以往老师们用汇报课上课板书非常少，甚至没有，其实多媒体只是辅助教学的手段，绝不能象放电影一样，从头放到尾，尤其是学习数学的，老师用课件放一遍和老师用粉笔在黑板上写一遍是完全不同的，说多了