力学动量与动量矩区别与联系

1、力学动量与动量矩区别与联系 （ 物理与电子工程系 04物本班 ） 摘 要：本文详细地讨论在经典力学中质点、质点组的动量、动量矩在惯性系与非惯性系中的定义、定理和守恒定律的共同点与不同点，从中提出它们的区别与联系。在对比中可以更清楚发现它们之间的区别与联系，因而加深对它们的理解与应用。关键词：动量；动量矩；区别与联系；惯性系；非惯性系在经典力学中，关于动量、动量矩的理论都已经非常完善，然而在学习和应用它们的过程中，发觉很容易混淆。本文就通过在惯性系、非惯性系中质点、质点组的动量与动量矩的定义、定理和守恒定律的对比，不仅在公式的形式上，而且在公式的物理意义等各方面进行比较、区别。总结它们的共同点和

2、不同点，得出它们的区别与联系。此外，还举了一些特殊的例子来说明。设所研究的质点P，其质量为m，受外力为。质点组是由n个质点（i=1,2,3.n）构成，其质量分别为（i同前，以后就不再说明），受外力为、内力为，任一质点在静止坐标系中的位置矢量为，在运动坐标系中的位置矢量为，运动坐标系相对于静止坐标系的位置矢量为。动量的符号用表示，动量矩的符号用，力矩符号为。1 .惯性系中的动量与动量矩在运动惯性系中，动量与动量矩之间的关系，有一部分与静止惯性系中相同，而另一部分与非惯性系中相同。所以在惯性系中，我们只研究静止惯性系中它们的区别与联系。选取静止惯性系上的坐标系为，P点位置矢量为。11 惯性系中的动

3、量111 质点（质点组）的动量质点的动量 （1-1）即：质点的质量和速度的乘积，称为质点的动量。质点组的动量 （1-2）即：质点组的动量等于各质点的动量的矢量和。112 质点（质点组）的动量定理由（1-1）、（1-2）式两对时间t求导，考虑到质点组中，质点受内力和外力作用，且内力的矢量和为零。可得：质点动量定理 （1-3）即：质点的动量对时间的变化率等于作用于质点上的外力，称为质点动量定理的导数形式。（1-3）式可改写为 （1-4）（1-4）式表明：质点动量的微分等于作用在质点上的合外力的元冲量，称为质点动量定理的微分形式。将（1-4）式两边积分，得： （1-5）式中右边可写为，是力对时间的积

4、分，叫做力的冲量。（1-5）式的物理意义为：质点动量的改变等于发生在这一改变过程中作用在质点上的合外力的冲量，称为质点动量的积分形式。质点组的动量定理 （1-6）即：质点组的动量对时间的变化率等于质点组以外的物体作用于质点组内各质点的力的矢量和。由（1-6）式变化，还可得质点组动量定理的微分形式和积分形式。 （1-7） （1-8） 质点、质点组的动量守恒定律质点的动量守恒定律由（1-3）或（1-4）或（1-5）式，若令 （1-9）得 恒矢量 （1-10）（1-10）式的物理意义：质点在不受外力作用或所受合外力为零的情况下，其动量不随时间变化，叫做质点动量守恒定律。质点组动量守恒定律由（1-6）

5、或（1-7）或（1-8）式，若令 （1-11）得 恒矢量 （1-12）即：在没有外力的作用或外力的矢量和等于零时，质点组的总动量保持不变。.惯性系中的动量矩 质点（质点组）的动量矩质点的动量矩 （1-13）即：质点对参考点O的位置矢量与线动量的矢积，称为质点对参考点O的动量矩。质点组的动量矩。 （1-14）即：质点组的动量矩等于各质点对参考点O的动量矩的矢量和。122 质点（质点组）的动量矩定理由（1-3）式两边左叉乘，整理得： （1-15）即：质点的动量矩对时间的变化率等于作用在该质点上的外力对O点的力矩，称为质点动量矩定理的导数形式。（1-15）式可改写为 （1-16）（1-16）式表明：

6、质点对于给定点的动量矩的微分等于作用在质点上诸外力对同一点的元冲矩，这就称为动量矩的微分形式。将（1-16）积分得： （1-17）式中右边是力矩对时间的积分，叫做冲量矩。（1-17）式的物理意义：质点对参考点的动量矩的改变等于作用在该质点上的诸外力对同一参考点的冲量矩。质点组的动量矩定理在质点组中，质点受外力和内力，考虑到内力矢量和为零，所以得质点组动量定理的导数形式为： （1-18）由（1-18）式可得其微分形式和积分形式 （1-19） （1-20）123 质点（质点组）动量矩守恒定律由（1-15）或（1-16）或（1-17）式，当令 （1-21）得 恒矢量 （1-22）（1-22）式物理意

7、义：当质点不受外力作用或所受诸外力对某固定点O的力矩的矢量和为零时，它对同一固定点O的动量矩为常矢量，称为质点的动量矩守恒定律。质点组的动量矩守恒定律由（1-18）或（1-19）或（1-20）式，当令 （1-23）得 恒矢量 （1-24）即：作用在质点组上的外力对某一固定点的力矩矢量和为零，质点组动量矩守恒。13 惯性系中动量与动量矩的对比131 动量与动量矩的对比 由（1-1）、（1-13）式可知质点（质点组）的动量与动量矩都是描述物体运动的物理量，是物体运动状态的函数，都是矢量。但是两者又有区别：第一，它们的量纲不同。动量的量纲式为，动量矩的量纲式为。第二，动量只是运动速度的函数，是移动量

8、；而动量矩则同时与质点运动速度和质点对固定点的位置矢量有关，是转动量。且在转动力学中，动量矩所起的作用相当于移动力学中动量在移动力学中所起的作用。第三，由动量矩的定义可知，动量矩的方向总是与质点运动的方向垂直，而动量的方向却总是与质点运动的方向一致。第四，以一定速度运动的质点，且有确定的动量，但此质点的动量矩却必须选择了参考点之后才能确定，若选择不同的参考点，则动量矩具有不同的大小和方向。第五，两者的表达式，动量是质量点乘速度，而动量矩是相应的动量左叉乘力对某参考点的位置矢量而得，这是区别又是联系。132 动量定理与动量矩定理的对比由（1-3）与（1-15）、（1-4）与（1-16）、（1-5

9、）与（1-17）式和其定义式物理意义对比和参照，可看出，动量定理与动量矩定理的导数形式，微分形式和积分形式，就连物理意义都对应相似。第一， 在导数形式中，两者对时间的变化率，前者（）等于作用于质点的外力；后者（）等于作用在该质点上的诸外力对O点的力矩矢量和。其中力和力矩都是矢量。第二，当动量与动量矩变化时，动量的变化量方向与合外力方向一致；动量矩变化方向与合外力矩方向一致。第三，微分式中动量的改变由力冲量决定，而动量矩的改变由力对同一固定点的冲量矩决定；然而，冲量的改变只由力决定，而冲量矩的改变不仅决定于力的改变，还决定于质点对参考点的位置矢量的改变。第四，积分式（1-5）式表示了力对时间的积

10、累效应，而（1-17）式表示了力矩对定点转动的时间积累效应。以上是动量定理与动量矩定理的一些相似之处，那它们又有什么不同呢？我们可以从下面几个方面来看：第一 在描述质点组动量定理（1-6）式可改写为 （1-25）式中，M为质点组的总质量，为质心的速度矢量。所以，在描述质点组的动量、动量定理、和动量守恒定律时，还可以把质点组看成其质量全部集中到质心的一个点上看待.质点组的动量矩却不能如此描述。第二 质点组绕固定轴转动时其动量矩定理可用转动惯量来表示。例如：一个刚体以角速度绕固定轴Z轴转动时，刚体对转动轴Z轴上任一点的动量矩为 （1-26）其中是刚体对Z轴的转动惯量。也就是说，刚体绕固定轴以角速度

11、转动时，对轴上任一点的动量矩守恒，这与物体做匀速直线运动时，其对任一点的动量守恒有些相似，但也有区别。这是动量定理与动量矩定理的一些联系与区别，下面来研究在特殊情况下两者有何区别与联系。在同一惯性系中，对不同参考点质点组的动量定理或动量矩定理关系我们都知道在同一惯性系中，同一时刻，不同的参考点观测同一质点的速度时不变。动量定理仍为，也就说在同一惯性参考系中，质点组对不同参考点，的动量定理一样。质点组对同一惯性参考系中不同参考点，的动量矩定理。如图1。则，质点组对点的动量矩定理表达式 （1-27）质点组对点的动量矩定理与对点的关系的表达式 （1-28）由于作用于质点组的外力对O点的力矩矢量和可表

12、示为所以公式（1-28）可以表述为：作用在质点组上的外力对点的力矩矢量和等于质点组对点的动量矩对时间的变化率与将质点平移到点是对点动量矩对时间的变化率之矢量和。可见，在同一惯性系中，质点（或质点组）对不同的参考点的动量定理与动量矩定理，并不存在相似的表达式。 惯性系中质点（质点组）动量守恒定律与动量矩守恒定律的对比在惯性系中要质点（质点组）的动量守恒，则只要质点不收外力或所受合外力为零，即或；动量矩守恒，则力对固定点的力矩或合外力矩为零，即或。由此可见，动量守恒定律与动量矩守恒定律中的力与力矩相对应为守恒条件。现在研究这两守恒定律有何关系第一，在同一惯性系中，同一时刻，不同参考点观测同一质点，

13、其速度不变，动量也不变；然而，动量矩对于不同的参考点，质点到固定点的位置矢量不尽相同，所以动量矩守恒是对同一固定点而言的。第二，一个质点的动量守恒，对空间任一固定点的动量矩也是守恒的。则 恒矢量我们用守恒条件来分析一下，质点的动量守恒，其条件是质点所受的合外力必定为零，由于这些力有共同的作用点，所以该合外力对空间任一固定点的力矩也为零，即，动量矩也必定守恒。第三，质点如果对空间任一固定点的动量矩守恒，但是质点的动量就不一定守恒。则 这时存在两种情况：一种情况是，恒矢量，这时动量守恒；另一种情况是和的方向平行。例如，质点在有心力场中的运动就是这种情况，这时质点对引力中心的动量矩守恒，但速度方向及

14、大小会不断改变，动量不守恒，所以动量矩守恒不能保证动量一定守恒。从守恒条件来看，对定点的动量矩守恒，则该点的合外力矩为零，即，但是由于平行（/）也能使合外力矩为零。所以不能由此肯定一定为零，也就不能断定质点的动量守恒。以绕太阳作椭圆轨道运动为例，把行星看成一质点，行星受到太阳引力指向太阳，引力对太阳的力矩为零，则行星对太阳的动量矩守恒。但在轨道上运行过程中，引力不为零，行星的动量不守恒。因此，质点在惯性系中，动量守恒定律与动量矩守恒定律有一定的联系，但并不是必然的、绝对的联系。要判断它们守恒与否，还是要用它们各自的守恒条件，即或。以上是质点，现在来研究质点组第一，质点组中比质点中多了内力，内力

15、可改变质点组内质点的动量和对固定点的动量矩，但由于内力的矢量和为零=0它对质点组的动量守恒与动量矩守恒并没有影响作用，影响它们的仍是合外力或合外力对固定点的合外力矩。也就是说，只有内力作用，质点组的动量与动量矩守恒。第二，在质点组中有一些具体问题中，=0很难满足，但若系统中质点间相互作用内力比它们所受的外力大的多也可以足够好的应用动量定律。列如，在打击或碰撞问题中，相互作用的两个物体均受重力，但由于相碰撞的内力远大于外力，此时动量守恒定律可近似成立。动量矩守恒也有相似的。在实际问题中有时=0不能严格成立，但若外力的冲量矩远小于内力的冲量矩时，动量矩守恒定律也可近似的适用。 第三，对某一系统，但

16、在某一方向上外力的投影的代数和为零，在这一方向上质点组动量的分量保持恒定，即动量在这一方向守恒。例如：当时，恒矢量。动量矩也有相似的。当对某点的外力矩矢量和不等于零，但绕某轴的外力矩投影的代数和为零时，绕这轴的动量矩投影守恒。第四，在质点组中动量守恒条件为=0；动量矩守恒条件为=0。此时的外力并不一定通过公共的一点，所以，当有=0，时并不一定有=0，即，质点组动量守恒，不一定有质点组动量矩守恒。反之，有=0，并不一定要求=0，即质点组动量矩守恒，并不一定要求动量守恒。这一点和质点中的动量守恒与动量矩守恒有所不同。以上讨论了质点（质点组）动量守恒定律与动量矩守恒定律的一些区别与联系那它们两个守恒

17、定律整体上有何联系？它们都涉及运动过程的规律，而且又都是如果运动过程只要满足一定的整体规律条件，则可以不必考虑过程的细节，就能够对系统的初、末状态下结论或由初状态求出末状态来，这是两个守恒定律的特点，也是它们的优点。2 非惯性系中的动量与动量矩 前面我们研究了质点与质点组在惯性系中的动量与动量矩，在非惯性系中，就不研究质点了，只研究质点组在非惯性系中的动量与动量矩。 假设非惯性系相对静止惯性系做一般运动。如图2，非惯性系的转动角速度和转动角加速度分别用和表示。 2.1非惯性系中的动量 非惯性系中质点组的动量定理在非惯性系中质点组中，每一个质点都受到牵连惯性力、科里奥利力、外力和内力，而内力的失

18、量和为零。所以，质点组的动量定理为+ （2-1）a物理意义：质点组在非惯性系中的动量对时间的变化率等于作用在质点组上的牵连惯性力、科氏惯性力和外力的失量和。式中称为牵连惯性力，用表示；称为科里奥利力，用表示；称为合外力，用表示。非惯性系中质点组的动量守恒定律对（2-1）a式改写，得 （2-1）b当 （2-2）a则恒矢量 （2-2）b2.2非惯性系中质点组的动量矩非惯性系中质点组的动量矩定理由（2-1）a式两边都左叉乘，得+ （2-3）a式中+为质点组所受的牵连惯性力对点的力矩，称为牵连惯性力矩用表示；为质点组所受的科里奥利力对点的力矩，称为科里奥利力矩，用表示；为质点组所受的外力对点的力矩，用

19、表示。式（2-3）a的物理意义：质点组的动量矩对时间的变化率等于质点组所受的对点的外力矩、牵连惯性力矩、科里奥利力矩的失量和。非惯性系中质点组的动量矩守恒定律对（2-3）a式改写，得 （2-3）b当 （2-4）a则恒矢量 （2-4）b2.3非惯性系中质点组的动量与动量矩的对比动量定理是由牛顿第二定律推导而得的，所以，动量定理与牛顿第二定律一样，只能适用于惯性系，不能应用于非惯性系。为了让其在非惯性系中也能适用，所以，要引入牵连惯性力、科里奥利力。动量矩定理也不例外，也要引入一些相应的量，如：牵连惯性力矩、科里奥利力矩。其中，牵连惯性力与牵连惯性力矩相对应，科里奥利力与科里奥利力矩相对应。在非惯

20、性系中质点组的动量与动量矩守恒，其守恒条件为：或，这时可知，单独一个量力或力矩为零时，并不能使动量或动量矩守恒，而是要一个整体矢量和为零才可。现在我们具体来讨论：首先，要求或，即作用在质点组上相互作用的合外力或合外力对点的力矩之和为零。这两个条件在某些情况下是能满足的，正如前面我们讨论过的。其次，要求或，即，科里奥利力或科里奥利力对点的力矩的矢量和为零。对于科里奥利力，该条件如下几种情形：（1）非惯性系为平动加速参考系，此时；（2）非惯性系为转动参考系，即，但各质点在非惯性系中处于相对平衡状态，即；（3）非惯性系的，各质点，但；（4）在非惯性系中各质点的运动恰能使成立。对于科里奥利力矩，该条件

21、只有一种。因为，在质点组中各质点的科里奥利力，并不是全部都通过质点组的同一点。所以，即使=0，也不一定有。因此，在非惯性系中，只有当各质点的运动恰能使，才得以满足。从这里可看出，在非惯性系中科里奥利力的情形比科里奥利力矩的情形多一些，这一点应注意。最后，在非惯性系中欲让动量守恒或动量矩守恒，除需满足上述条件外，还必须满足或，即，质点组所受的牵连惯性力之和或牵连惯性力矩之和为零。下面进一步分析：众所周知，惯性力是非惯性系加速度的反映，其主要特征之一就是不遵从作用与反作用定律，只要是在非惯性系中考察物体受力，就会存在不会被抵消的惯性力。这些惯性力起着外力的作用，其效果是改变质点组对于非惯性系的动量

22、。因此，对有平动，又有转动的惯性系，无法满足的条件。然而对于却不同，即使，但在非惯性系中各质点运动时，却能恰使=0，这是可能的。综上所述，在非惯性系中，由于无法满足，因此通常很难写出矢量形式的动量守恒；虽然动量矩守恒可满足，但也同样难确定其条件。因此，在非惯性系中，除非极特殊情况下，作用在系统上的各相互作用力之和或作用力矩之和为零，即或，才有非惯性系中动量守恒或动量矩守恒。以上我们研究了在一般非惯性系中动量定理、动量矩定理与动量守恒定律、动量矩守恒定律，除了一般的情形，还有特殊的情形，如：加速平动非惯性系和平面转动非惯性系，在这里就不再研究了。3 结论在研究了惯性系与非惯性系中的动量与动量矩之

23、间各方面的区别与联系之后，可清晰的看到它们的同点与不同点，我们更可深入地了解它们，为以后教学或学习打好基础。在质点动力学中，动量定理与动量矩定理，虽然只起辅助作用，但是在刚体动力学中，它们却起着基本的作用，是刚体运动的最基本定理。因此，动量定理和动量矩定理具有重大意义，它们不仅使质点动力学的问题解决变得较简单，而且还为刚体动力学提供基础。所以，我们对它们的研究与理解有重大意义。致 谢:动量与动量矩是力学的基本理论基础，但两者容易混淆，弄清两者之间的区别与联系，有很强的理论科研意义。由于我对动量与动量矩的理解不够透彻写作中遇到了很大的困难，多亏许钟城教授在百忙之中给我无私的帮助，提出许多宝贵的意见和修改建议，帮助我理清动量与动量矩的关系，使我能够顺利的完成论文。在此，我由衷的感谢许钟城教授给予的帮助，此外，我还要感谢在我写作过程中给予帮助的河池学院物理与电子工程系的老师与同学们。【参考文献】1 许钟城非惯性系力学概论M桂林广西师范大学出版社1