不等式恒成立问题

1、浅谈不等式恒成立问题在近几年的高考数学试题中，常常出现含参数的不等式成立的问题，这类问题与函数，导数，方程等知识综合在一起，演绎出一道道设问新颖，五光十色的题目，这些试题的思辨性很强，往往让人眼花缭乱，使解题者不知所措，这些题目从解题目标上看，基本上有三种，即求参数的取值范围，使含参数的不等式恒成立，能成立或恰成立.1. 不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题的操作程序用函数思想作指导,解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题的操作程序是这样的:（1）恒成立问题若不等式在区间上恒成立,则等价于函数在区间上的最小值大于,若不等式在区间上恒成立,则等价于函数在区间上的最大值小于.（2）能成立问题若在区间

2、上存在实数使不等式成立,即在区间上能成立, ,则等价于函数在区间上的最大值大于,若在区间上存在实数使不等式成立,即在区间上能成立, ,则等价于函数在区间上的最小值小于.（3）恰成立问题若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为,若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为,如果从解题模式看,好象问题很简单,但是,由于试题的结构千变万化,试题的设问方式各不相同,就使得题目变得十分灵活,如何对这类题目进行思辨和模式识别,把问题化归到常见的基本的题型,是高考复习的一个课题. 2不等式的恒成立问题含参数不等式的“恒成立”的问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体

3、具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想：即一般的，若函数在定义域为D，则当xD时，有恒成立；恒成立.因而,含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.1 转换主元法确定题目中的主元，化归成初等函数求解。此方法通常化为一次函数。 例1：若不等式 2x1m(x2-1)对满足2m2的所有m都成立，求x的取值范围。 解：原不等式化为 (x21)m(2x1)0 记f(m)= (x21)m(2x1) (2m2) 根据题意有： 即：解之：得x的取值范围为练习:1若对一切，不等式恒成立，求实数x的取值范围。分析与解：原不等式变形为，现

4、在考虑p的一次函数： 在上恒成立. 解得： 或， 的取值范围为注：本题对于一切不等式恒成立，因此应视p为主元，视x为参数，把不等式左边变成关于p的一次函数型2 化归二次函数法根据题目要求，构造二次函数。结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。例2：在R上定义运算：xy(1y) 若不等式(xa)(xa)1对任意实数x成立，则 ( )(A)1a1 (B)0a2 (C) (D) 解：由题意可知 (x-a)1-(x+a) 0对xR恒成立记f(x)=x2-x-a2+a+1则应满足(-1)2-4(-a2+a+1)0化简得 4a2-4a-30对满足0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围。解：设f

5、(x)=x2-2mx+2m+1本题等价于函数f(x)在0x1上的最小值大于0，求m的取值范围。(1)当m0时，f(x)在0,1上是增函数，因此f(0)是最小值，解 得 m1时，f(x)在0,1 上是减函数，因此f(1)是最小值解 得 m1综合(1)(2)(3) 得 注：当化归为二次函数后，自变量是实数集的子集时，应用二次函数知识解决有时较繁琐。此型题目有时也可转化为后面的法3求解。练习:2对于，恒成立，求实数m的范围。分析与解： 原不等式变形为： 即 令 ， ，令， 题意为0在上恒成立。故 或或解得 ： 或或， ，即 的取值范围为：总结:根据题目要求，构造二次函数。结合二次函数实根分布等相关知

6、识，求出参数取值范围。3 分离参数法对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。或在题目中分离出参数，化成af(x) （afmax(x) （a0且a1,当x(-1，1)时，不等式x2-ax恒成立，则a的取值范围解析：不等式x2-ax x2-画出y1= ax,y2= x2-的图像。由图可看出 a1或13或x-1。解析：令，或。1.已知方程sin2x4sinx+1a=0有解，则实数a的取值范围是A.3，6B.2，6C.3，2D.2，2解析：a

7、=（sinx2）23，|sinx|1，2a6.答案：B4.当x1，2时，不等式ax22x1恒成立，则实数a的取值范围是A.a2B.a1C.a0D.a2解析：当x1，2时，x22x1=（x1）222，2.ax22x1恒成立，a2.答案：A5（1）设不等式2x1m(x21)对满足|m|2的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围； （2）是否存在m使得不等式2x1m(x21)对满足|x|2的一切实数x的取值都成立答案：(1)解：令f(m)2x1m(x21)(1x2)m2x1，可看成是一条直线，且使|m|2的一切实数都有2x1m(x21)成立。所以，即，即所以，。(2) 令f(x)= 2x1m(x21)= mx2+2x+