储油罐的变位识别与罐容表标定模型

1、储油罐的变位识别与罐容表标定模型摘要 一、 问题的重述进一步利用问题A附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。1. 油罐变位并没有引起油罐外形的变化；2. 题目中提供的实验数据准确可靠；3. 油浮子的大小忽略不计；4. 题目所给数据是内径数据；5. 根据题意假设油罐是左边下陷；6. 忽略油污等杂物对油位的影响。7. 在模型一中不考虑温度、压强等客观因素对油体积的影响；8. 在油罐没有变位时罐容表0刻度与油罐底部的距离就已经确定；9. 油罐发生变位时没有造成油罐等设施破损，引起油量的外泄；10. 油始终不会溢出储油罐；11. 储油罐的两个球冠体同样大小。二、 符号说明：油

2、量差值 ：未变位时椭圆储油罐的理论体积；：储油罐中实际的储油量； ：储油罐纵向变位的倾斜角度；：储油罐横向变位的偏转角度； ：椭圆储油罐未变位时横切面面积；：输油管等占据体积所引发的系统误差；：模型二中压强、温度、管壁不平等引发的误差；：由于视觉度数不同所引发的误差；(其余符号在模型中具体说明)三、 模型的建立与求解41问题一模型建立与求解（一）储油罐未发生变位误差分析（二）模型分析在模型建立之前，我们首先对储油罐变位之前本身的误差进行分析，得到准确的油量与油位的偏差。然后才建立模型，该模型主要是在研究椭圆柱形储油罐纵向变位油量与油位的对应关系。为了全方位地分析油罐的纵向变位，我们将油罐划分为

3、三方面体积进行分类计算。我们具体分析了储油罐本身的误差，然后结合系统误差与观察误差两方面进行了分析，并将油量与油位一一对应起来，标定油位高度间隔为1的罐容表进行标定。两方面误差的分析不失为本文的特色。（三）模型建立（四）模型求解其中=-0.0120，=0.1349；的置信区间为-0.0133,-0.0108, 的置信区间为0.1332,0.136；=1，=23081，=0，可得回归模型： 残差图作图程序：rcoplot(r,rint)MATLAB运行得到图像如下： 通过上述回归分析员检验，我们知道模型本身存在系统误差。在油罐未发生变位时，我们由表一、表二分析得到 由拟合图形可知，在系统误差的基

4、础上，储油罐发生变位时系统误差也随之变化。2、模型求解（1）由误差分析，和模型建立知,变位后罐容表，分为以下4种情况建立在模型误差分析的基础上，我们将储存油的实际体积与标度（）准确对应起来。利用（21）、（22）、（23）、（24）、（25）五式，经过程序（附件六）重新标定了间隔为1cm的罐容表标定值如下：罐容表长度显示油量L罐容表长度显 示油 量L罐容表长度显 示油 量L罐容表长度显 示油量L罐容表长度显 示油量L01.725429.7481224.5732272.597327413.526461.2491264742315.6983312.826.327490501303.9752358.

5、7993351.131028519.5511344.1762401.71003389.1414.829549.7521384.5772444.71013426.6520.730580.5531425.2782487.71023463.6627.931612541466.1792530.61033500.2736.332644.1551507.2802573.41043536.2846.233676.8561548.68126161053571.7957.434710571590.1822658.61063606.71070.235743.8581631.9832701.110736411184

6、.436778.1591673.8842743.41083674.812100.337813601715.9852785.61093707.813117.838848.3611758.1862827.61103740.11413739884.1621800.5872869.41113771.715157.940920.36318438829111123802.516180.341957641885.7892952.41133832.417204.142994.1651928.4902993.61143861.418229431031.6661971.2913034.51153889.41925

7、5441069.4672014.1923075.21163916.320281.9451107.7682057.1933115.61173941.921309.8461146.3692100.1943155.71183976.722338.6471185.2702143.2953195.51193995.623368.248429.7712186.3963234.91204012.824398.6表一 间隔为1的罐容表标定值注：当罐容表上没有刻度时，油容量小于或等于1.7L倾斜后，B在KC之间时（如下图所示），罐容表上就没有显示数据。图13 油量较少简图4.2问题二模型建立与求解（一）模型分析

8、在这个模型中，我们主要分析储油罐纵向变位和横向变位后对罐容表读数的影响。我们知道在横向变位过程中，油罐里的液面相对地平线高度不会发生变化。在这个模型中首先将油罐分割成两部分，如图1所示（从m,n处切割），然后利用积分思想分别对不同部分求解体积，最后得到总体积，即可得到储油罐横向偏转罐内的油位高度与储油量之间的关系。在纵向变位过程中，我们将研究储油罐左端向下时的纵向变位，右端向下的变位情况以类似方法处理。在变位时，需要对可能出现的油面进行分类（三类），利用积分思想进行求解。首先将罐体分成三部分，在分别对三部分求体积，最后到总体积，即可得到罐内的油位高度与储油量之间的关系。图14 罐体划分图（二）

9、模型建立罐体横向变位罐体横向变位我们分为两种情况。一是油面低于纵截圆半径，二是油面高于纵截圆半径。1）罐体横向变位油面低于纵截圆半径时：建立直角坐标系如下：注：以发生变位前油位探针的方向为轴，以垂直于油位探针且平行油罐第一部分纵截圆为轴AB为油面，CD为油位探针，O为纵截圆圆心的平移点 H为探针测量的油高度，O为纵截圆的圆心，所以油面相对地平线的高度d与探针测量的油高度的关系为： 中间部分（第一部分）的体积为： （26）球冠体（第二部分）的简图如下：图16 球冠体分析图又因为:得到： （27）根据勾股定理和对应坐标关系，得到球冠体方程为： （28）油罐（第一部分）部分纵截圆的方程为： 油罐球冠

10、体纵截圆的方程为： （） (29)由方程（27），（29）可得： 根据三角关系求得切面页面的面积为： （30） 油罐两个球冠体的的体积为： 油罐的总体积为：= （31）R=1.5 ，带入（31）式化简方程得： （32） 2）罐体横向变位油面高于纵截圆半径时：同理可得： （33）当罐体纵向变位图17 罐体划分图1）当油罐纵向变位，且罐容表时如图所示图18 罐容表纵向变位分析图（1）注：B所在平面与E所在平面距离为1，ED=2 假设纵向变位角度为，所以根据勾股定理和正弦（切）定理三角形ABF的面积为： （34）特殊情况下圆弧AB所满足的半径关系: （35）圆弧AB的面积为: （36）由（34）、（

11、35）、（36）得： + （37）斜纵向的最大高度： 所以ABEF所围成的图形（包括球罐的一部分）体积为： （38）2）当油罐纵向变位，且罐容表时简图所示图19 储油罐纵向变位分析图（2）根据勾股定理和三角函数关系AB的旋长长度 ： AB= GF的弧长长度： 梯形ABGF的面积： 圆弧AB所满足的半径关系如下：（39）圆弧AB的面积为 圆弧GF所满足的半径关系： 圆弧GF的面积为: + （40）斜纵向的高度 所以ABEFG所围成的图形（包括球罐的两部分）体积为：+ + （41） +（ 3）当油罐纵向变位，且罐容表时同理可得：整个球罐的体积为： -罐体横纵向都变位 罐体横纵向变位看似是一个同时发

12、生的事情，我们在此巧妙地将该变位过程转化为先纵向变位，再横向变位的两个过程。由上述的分析我们知道纵向变位有1）当时+ （42） 2）当时： （43） + + +（ 3）当时:+ （44）+ + +（ 4）当时：-+ （45）（四）模型求解1、误差分析基于附件二的数据，我们发现随着油位的下降，显示出来的油量容积与出油 根据所得数据和模型一未变位时的模型误差分析可知，两端为球罐体的储油罐中即存在误差。如果只是存在系统误差，误差值就应该为线性变化。而在附件中数据显示，此处的误差不是线性变化，所以还存在观察误差。误差分为以下三方面：1） 误差一储油罐中出油管和油位探针占用了储油罐内部的体积，所以随着油

13、面变化，油位高度与误差存在一个线性关系，并设为： ；2） 误差二油罐内部可能附有油垢或油罐内部表面不均匀，还有液压，温度对油罐的影响。对于这些不确定性因数，我们分析数据后，设其影响的误差函数关系式为：；3） 误差三储油罐纵向变位后读出体积始终比实际体积更大，但是在横向变位时，液面在大于或小于截圆的半径其变化不同，读出来的油位高度有一定的影响。根据附件二的数据分析误差值与高度的函数关系式为： 误差中液面高度变化与油量的关系为： MATLAB运算程序见附件十一，结果见附件十二利用附件二处理得全部数据将V（误差）进行求解，求解后在进行拟合（程序见附件十三）得到：不同流水号的误差见附件十二误差一：函数

14、关系： 误差三：函数关系：2、搜索法确定参数值采用直接代值计算：利用搜索法求解的值。在不同油位高度的偏转度如下：流水号流水号流水号流水号2011.55013011.54094011.55344931.55222021.53233021.56114021.53224941.56032031.54223031.55234031.55014951.54222041.54373041.53434041.56234961.53342051.56133051.55354051.58354971.55122061.55143061.56524061.5544981.55022071.57453071.573

15、34071.54054991.57042081.52323081.55044081.56215001.5432091.56713091.55334091.55235011.55562101.55223101.53094101.54175021.5333表二 油位高度与横向偏角关系表直观看球罐发生纵向变位的液面时可看作是一个梯形(只考虑圆柱),当确定油量的体积后(在附件二中进行加油前后的数据查找流水号为343和637最接近),改变,液面就会发生变化,这种时候的误差主要是误差三造成的.所以经过固定不同的油量体积和误差的分析就可求的值.分析附件二中的数据，显示的液面高度在（）利用体积和面积相等: 不

16、同油位高度的倾斜度如下，计算程序见附件十二流水号流水号流水号流水号2012.29063012.28164012.28794932.28052022.28773022.29774022.29114942.28992032.30113032.29114032.22454952.28072042.33042.30124042.9874962.30442052.29873052.28874052.29874972.29032062.29963062.28964062.29864982.29572072.27453072.29454072.26454992.27982082.2913082.291440

17、82.29145002.28192092.2963092.28674092.29635012.29362102.28043102.29044102.29115022.2977表三 油位高度与纵向偏角关系表建立如图所示的简图(A,B,C为半径为X1的球面上)图20 储油罐横纵向变位图因为， 在旋OA上取两段长度分别为X2 X3的线段,且线段满足: 而: (M,N均为未知数)所以 代入上式得: （46）要满足在模型中，横、纵均变位时的误差值不会发生改变，就必须对多种情况的进行搜索算法分析。利用油面高度与体积给出的关系，带入多组数据，与（46）式结合，反解出值。确定的搜索范围 ， ，如图： 图21

18、搜索算法范围图坐标步长：1.为步长初步搜索 2优化点附近细化搜索（步长为）算法步骤： 1.将该搜索点代入搜索. （i=1,2,3.;j=1,2,3；k=1,2,3.） 2.得到的关系表。 3计算实际数据误差的平方和 4并符初值,，保留下 5.搜索完成,读出e对应的值 3、对罐容表进行标定在此，我们利用的值利用（42）、（43）、（44）、（45）式重新标定了间隔为10的罐容表标定值如下：罐容表长度（）显示油量（L）罐容表长度（）显示油量（L）罐容表长度（）显示油量（L）0152.1511021571.0222051304.0110228.3312024288.0123053613.012034

19、2.513027066.0124055800.0230685.1214029639.0125057750.01403325.2315032625.0226059766.02505965.1516035488.0227064045.32608605.1417038233.0128066685.127010361.0118040986.0129069325.028013816.0119043681.0130071965.019016299.0120046320.0110018880.0121048867.01表四 间隔为10罐容表标定值（五）模型的正确性检验利用附件二中一次性补充进油后的数据进行检

20、验。在模型二中，我们分析出其误差的总关系式为 (H为油位高度)要检验模型，就需要对一次性补充进油后的误差进行理想的判断，研究判断的值是否与误差关系式分析的误差值接近或相等。将一次性补充进油的数据代入模型中，运用MATLAB进行积分的运算程序见附件十四。（0，0）表示没有发生变位的理论体积。经过推到，我们得到误差1=误差2=运算的误差（一部分数据）流水号误差1误差2流水号误差1误差2136.3833136.0893110.7344114.7835136.1735135.8725114.6763114.6936135.9216135.7211113.9876114.5197134.8797135.

21、4717114.0345114.275135.2928135.2627113.7664113.9885137.9349134.9209114.0873113.7843134.5892134.673113.4213113.4412134.3874134.3804112.9992113.1318133.2876134.1886112.3471112.737134.1129134.0028112.5057112.4897表五 储油罐误差统计表分析以上数据，直接运算误差值与误差关系运算的误差值非常接近（除流水号为516,611）出现流水号为516,611不符合，是因为在计算过程中难免会出现偶然误差。由

22、于其它数据都完全符合，说明模型与方法是正确的。所以此模型的建立正确并具有相当大的推广性。四、 模型的评价、推广5.1模型优点：1） 系统误差和偶然误差的双重结合分析，使得结果准确可靠，大大提高了模型的精确度，使模型结果更具有说服力。同时，线性回归和拟合的两种误差分析的方法的运用使得误差分析简单准确。不仅详细的误差分析是本文的特色，两种误差分析法的运用也不失为本文的特色。2） 在模型二中，利用搜索法确定参数3） MATLAB和Excel工具的运用，不仅使得复杂的计算简单、快捷，而且还绝对准确。避免了人为计算的偶然性误差的产生。4） 模型假设巧妙，在不失合理的基础上使得模型不仅计算方法简便，而且思

23、路清晰。同时，整个模型的集体思路非常清晰，罐体的横纵向变位情况划分清晰。5.2模型缺点：1） 在模型一中没有考虑温度、压强对油体积的影响，所以在一定程度上存在偏差；2） 本题中我们利用的数据比较少，可能还存在误差。5.3模型推广 该模型是研究的加油站储油罐的变位识别与罐容表的标定问题，我们可以将这个模型运用于蓄水库、储油箱等需要测量液体体积的生产、生活中。参考文献2余长安，大学数学考研题型精讲与解题技巧集粹，北京，科学出版社出版，20058闵长玖、唐鹏、王俪蓉，数码相机定位模型，天府数学全国大学生数学建模竞赛四川赛区优秀论文选，第6期，101页104页2009年3月16日。附件附件一)附件四x

24、=1.5902，1.7614，1.9259，2.085，2.2393，2.38972.5366，2.6804，2.8216，2.9603，3.0969，3.23153.3644，3.4957，3.6256，3.7542，3.8816，4.00794.1332，4.2576，4.3812，4.504，4.6262，4.74784.8689，4.9895，5.1097，5.2295，5.349，5.46825.5872，5.7061，5.8248，5.9435，6.0622，6.18096.2996，6.4185，6.5375，6.6567，6.7763，6.78546.9053，6.9082，7

25、.0285，7.1491，7.2703，7.39197.5142，7.637，7.6416，7.7653，7.8899，8.01548.1419，8.2695，8.3983，8.5284，8.66，8.7932，8.92828.9284，9.0653，9.2045，9.3461，9.4905，9.638，9.78919.9443，10.1043，10.2699，10.4425，10.6237，10.815911.0233,11.2532,11.5236,11.9349;X=ones(78,1) x;Y=10.9,12.6,14.4,16.1,17.9,19.621.4,23.1,24.8,26

26、.6,28.3,30.131.8,33.5,35.3,37.1,38.8,40.642.3,44,45.8,47.5,49.2,51,52.754.5,56.2,58,59.7,61.5,63.2,6566.7,68.4,70.2,72,73.7,75.4,77.278.9,80.7,80.77,82.57,82.54,84.3486.04,87.84,89.54,91.24,93.02,93.0794.87,96.57,98.37,100.07,101.87,103.57105.27,107.07,108.77,110.57,110.59,112.29113.99,115.79,117.49

27、,119.29,120.99,122.79124.49,126.19,127.99,129.69,131.49,133.19134.99,136.69,138.49;附件五hi=;n=hi-2.45*tan(pi*4.1/180);v=1.78/0.6*cot(pi*4.1/180)*0.5*(1.2*hi-hi2)0.5*(hi-0.6)2-0.3*0.36*asin(hi/0.6-1)+0.36*hi*asin(hi0.5/(1.20.5)+1/3*(1.2*hi-hi2)1.5-pi/4*0.6*0.6*0.6-1.78/0.6*cot(pi*4.1/180)*0.5*(1.2*n-n2

28、)0.5*(n-0.6)2-0.3*0.36*asin(n/0.6-1)+0.36*n*asin(n0.5/(1.20.5)+1/3*(1.2*n-n2)1.5-pi/4*0.6*0.6*0.6+0.3984*hi2-0.6078*hi+0.1419带入不同的hi值即可。附件六x=4.3996，4.5212，4.67，4.7921，4.9257，5.06415.1804，5.3123，5.4336，5.5551，5.6755，5.80635.9307，6.0523，6.1741，6.2823，6.4029，6.52116.6425，6.7495，6.8726，6.9889，7.093，7.21

29、77.3334，7.4512，7.5633，7.6806，7.7957，7.90228.021，8.1406，8.2471，8.3694，8.4947，8.61478.7314，8.8496，8.9627，9.0873，9.2159，9.33019.4601，9.5857，9.7009，9.8327，9.9676，10.088110.2108，10.3501，10.4774，10.6291，10.6403;y=47.14,45.44,55.14,54.64,59.44,66.34,64.64,69.8170.81,72.17,73.37,79.17,82.37,84.67,87.17,83.8

30、786.07,87.27,89.97,86.47,89.97,90.47,85.67,89.5789.97,90.97,89.47,89.97,89.47,86.67,85.87,86.7781.97,83.57,86.07,86.17,84.47,83.17,79.37,79.8781.47,76.87,78.07,76.97,71.27,71.37,71.87,66.2760.77,60.47,54.87,56.67,58.46;附件七m=;n=m-2.45*tan(pi*4.1/180);v=1.78/0.6*cot(pi*4.1/180)*0.5*(1.2*m-m2)0.5*(m-0.

31、6)2-0.3*0.36*asin(m/0.6-1)+0.36*m*asin(m0.5/(1.20.5)+1/3*(1.2*m-m2)1.5-pi/4*0.6*0.6*0.6-1.78/0.6*cot(pi*4.1/180)*0.5*(1.2*n-n2)0.5*(n-0.6)2-0.3*0.36*asin(n/0.6-1)+0.36*n*asin(n0.5/(1.20.5)+1/3*(1.2*n-n2)1.5-pi/4*0.6*0.6*0.6+0.3984*m2-0.6078*m+0.1419得到以下一些数据（列出的为一部分）流水号流水号20211.642054.632035.0520610.

32、7320416.3520715.70（注：这些数值均为正值）得到以下一些数据（列出的为一部分）流水号流水号331337332338333339（注：这些数值均为负值）附件九x=2.63223 2.6243 2.62067 2.61029 2.60661 2.59959 2.5876 2.58205 2.5957 2.57544 1.86846 1.85654 1.85051 1.84192 1.83091 1.81896 1.81042 1.80734 1.80498 1.7968 1.16362 1.16177 1.15819 1.1499 1.13994 1.13102 1.12557 1

33、.1141 1.1069 1.09536 0.53485 0.52427 0.51529 0.50595 0.49744 0.49028 0.48502 0.4764 0.47333 0.46974;>> y=-3.29.*x.2+47.56.*x+46y = Coluhins 1 through 10 148.3937 148.1536 148.0436 147.7286 147.6167 147.4031 147.0375 146.8679 147.2846 146.6657 Coluhins 11 through 20 123.3781 122.9573 122.7440 1

34、22.4398 122.0492 121.6244 121.3202 121.2104 121.1262 120.8341 Coluhins 21 through 30 96.8871 96.8132 96.6703 96.3390 95.9403 95.5827 95.3640 94.9030 94.6132 94.1479Coluhins 31 through 40 70.4963 70.0300 69.6336 69.2208 68.8441 68.5269 68.2936 67.9109 67.7745 67.6149附件十流水号()V(误差)流水号()V(误差)流水号()V(误差)2

35、027.93 11.6430211.92 2.914022.85 2033.63 5.053036.03 1.114032.58 20410.38 16.353048.59 2.234048.29 2053.68 4.6330511.01 1.654059.96 2067.02 10.7330611.95 1.264068.92 20711.99 15.703078.54 0.254075.45 2085.55 6.463083.08 1.1540811.47 2092.48 3.673092.36 1.714097.20 2104.13 4.483108.18 41011.54 2115.98 9.373117.67 1.244112.73 流水号误差流水号误差流水号误差流水号误差201148.3937301123.578140196.887149374.4963202148.1536302122.957340296.813249470.03203148.0436303122.744040396.670349569.6336204147.7286304122.439840496.33949669.2