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1、第十五章 傅里叶级数1 三角级数与傅里叶级数1证明(1) ， ，是上的正交系；(2) ， ，是上的正交系；(3) 1，是上的正交系； (4) 1， ，不是上的正交系；2求下列周期为的函数的傅里叶级数： (1) 三角多项式； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ； (8) ； (9) ； (10) .3设以为周期，在绝对可积，证明： (1) 如果函数在满足，则；(2) 如果函数在满足，则.2 傅里叶级数的收敛性1将下列函数展成傅里叶级数，并讨论收敛性： (1) ； (2) ；2由展开式， (1) 用逐项积分法求，在中的傅里叶展开式； (2) 求级数，的和.3 (1

2、) 在 内，求的傅里叶展开式； (2) 求级数的和.4设在上逐段可微，且. ，为的傅里叶系数，是的导函数的傅里叶系数，证明：， .5证明：若三角级数中的系数，满足关系，M为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数.6设，求证：.7设以为周期，在上单调递减，且有界，求证：.8设以为周期，在上导数单调上升有界. 求证：.9证明：若在点满足阶的利普希茨条件，则在点连续. 给出一个表明这论断的逆命题不成立的例子.10设是以为周期的函数，在绝对可积，又设是的傅里叶级数的前n项部分和，则 ，其中是狄利克雷核.11设是以为周期，在连续，它的傅里叶级数在点收敛. 求证：.12设是以为周期、连续，其

3、傅里叶系数全为0，则.13设是以为周期，在绝对可积. 又设满足存在. 证明. 进一步，若在点连续，则，其中.3 任意区间上的傅里叶级数1将下列函数在指定区间上展开为傅里叶级数，并讨论其收敛性：(1) 在区间展开(2) ；(3) ； (4) 2求下列周期函数的傅里叶级数： (1) ； (2) .3把下列函数在指定区间上展开为余弦级数： (1) ； (2) 4把下列函数在指定区间上展开为正弦级数： (1) (2) .5把函数在上展开成余弦级数，并推出.6将函数分别作奇延拓和偶延拓后，求函数的傅里叶级数，其中7应当如何把给定在区间的可积函数延拓到区间内，使得它在中对应的傅里叶级数为： (1) ；(2)

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