2020届广西柳州市高级中学高三上学期第二次统测数学(理)试题(解析版)

1、【详解】第 1 1 页共 1919 页2020 届广西柳州市高级中学高三上学期第二次统测数学(理)试题一、单选题1 1 .若集合A =、x| 0乞x乞2?,B=x | x2 1，则A B=()A A.：x|0Ex三仁 B B.：x|x 0或X：-1C C . ：x|1 X乞2D D.tx | 0：x _ 2/【答案】C C【解析】试题分析：由x21，解得x：-1或x 1，即B - x| x.-1或x 1，又A-x|0一x _ 2?，故选 C.C.【考点】1 1 解二次不等式；2 2 集合的运算. .2 2 .已知a为实数，若复数a i 1 -2i为纯虚数，则a二()11A A.B B.2C.C

2、. - -D D. -222【答案】D D【解析】 根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可.【详解】a i 1 -2i=a 2 1 -2a i ,复数是纯虚数，/.a - 2=0且1-2a = 01得a -2且a工一，即a 2,2故选：D D.【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键，属于基础题.3 3.sin 15 cos 15 sin 15 cos15的值等于( () )76_ _ 5 53V3A A.B B.C C.D D. 124 424【答案】B B第2 2页共 1919 页【解析】由三角函数的基本关系式和正弦的倍

3、角公式，即可求解，得到答案.第3 3页共 1919 页D D.cab【答案】B B【解析】由指数函数与对数函数的性质即可得出答案【详解】1由对数函数的性质可知a = log3log31=0,log23 log21,2所以b c a. .故选：B B【点睛】 本题主要考查利用指数函数与对数函数的性质比较数的大小，属于基础题5 5.在半径为 2 2 圆形纸板中间，有一个边长为 2 2 的正方形孔，现向纸板中随机投飞针,则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（)71321A.-B.C.D .-431兀【答案】D D【解析】根据面积比的几何概型， 即可求解飞针能从正方形孔中穿过的概率，得到答案 【详解】由题

4、意，边长为2的正方形的孔的面积为3=2 2=4,又由半径为 2 2 的圆形纸板的面积为s -二22=4二，由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式,22： ： ：1 1可得sin 15 cos 15 sin 15 cos15 =1 sin30 =1 -4-，故选 B B.4【点本题主要考查了三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式的应用,其中解答中熟记三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，准确运算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力，属于基础题.14 4.若a=lOg32b = log23,c =12丿0.3，则a, b, c的大小关系为（B B.b c a第4 4页共 1919 页根据面积比的几

5、何概型，可得飞针能从正方形孔中穿过的概率为P =4,S 4兀 兀故选 D.D.第5 5页共 1919 页【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算，以及正方形的面积和圆的面积公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题6 6 宋元时期数学名著算学启蒙中有关于松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等. .如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 a a,b b 分别为 5 5, 2 2,则输出的n二()A A 5 5B B. 4 4C C 3 3D D 9 9【答案】B B【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出n，分析循环

6、中各变量的变化情况，可得答案【详解】故选：B B【点睛】 本题主要考查程序框图，解题的关键是读懂流程图各个变量的变化情况，属于基础题(1弋7.1 2x2X-丄的展开式中，含X2的项的系数是()= =1 1 时,a=2=2 时,2，45b = 4，满足进行循环的条件;=3=3 时,4135b = 8，满足进行循环的条件;,b =16，满足进行循环的条件;=4=4 时,8405石,b=32，不满足进行循环的条件;第6 6页共 1919 页I X丿A A . -40-40B B. -25-25C C. 2525D D . 5555第7 7页共 1919 页【答案】B B【详解】系数为(_1)2c；2

7、 (-1)七；=-25，故选 B.B.【点睛】 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.【解析】先判断函数为奇函数，再求出f 1即可判断【详解】2：x cos：i-xx2cosx-X则函数f X为奇函数，故排除A D, 当x=1时，f 1 =1 cosl 0，故排除故选：C.【点睛】本题考查了函数图形的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值，属于基础题9 9等差数列an的首项为 2 2，公差不等于 0 0,且a；二玄岛，则数列的前 20192019anan +【解析】写出二项式的展开式中的通项，然后观察含x2的项有两种构成,种是1 2x2中的 1 1 与X

8、-丄I X丿中的二次项相乘得到，一种是1 2x2中的2x2与1X-X中的常数项相乘得到，将系数相加即可得出结果。二项式6X1i的展开式中的通项Tk+= C：x6x丿.rki-l X丿=(1)kC：x6，k,含X2的项的8 8.函数f x二x2cosx的图象大致为(【答案】C CB B.C C.第8 8页共 1919 页项和为（）1009201910092019A A.B B.C C.D D.-2020404240422021【答案】B B【解析】先设等差数列n的公差为d，根据题中条件求出公差，得到a.二n 1,再由裂项相消法即可求出结果 【详解】设等差数列的公差为d，, 2 2由印=2，a3=

9、4玄7，可得2 - 2d i；22 6d，所以d=1，因此an 1，i 11 )f 11 )f 11 )f 11)所以s201丄_丄1_丄 丄_1. 丄 2 3丿134丿45.丿2020 2021 )11201922021一4042.故选 B B【点睛】 本题主要考查等差数列的通项公式、以及裂项相消法求数列的和，熟记公式即可，属于常考题型. .3B.2【答案】A A准线所得线段长为6,由双曲线的对称性可知点2,3在双曲线上，代入即可求解【详解】由题易知抛物线y2=8x的焦点坐标为2,0，则双曲线的一个焦点坐标为2,0,因为抛物线的准线方程为x = -2，双曲线截抛物线的准线所得线段长为6,所以

10、1_1a.an .1n 11010 .已知抛物线y2=8x的焦点与双曲线2占=1（a 0,b 0）的一个焦点重合，且抛b物线的准线被双曲线截得的线段长为6 6，那么该双曲线的离心率为（【解析】 首先求出抛物线焦点坐标2,0，可知双曲线c=2；再由双曲线截抛物线的第9 9页共 1919 页【解析】证明AC _AB,可得.ABC的外接圆的半径为,3,利用ABC和 :DBC所在平面互相垂直，球心在BC边的高上,设球心到平面ABC的距离为h,h2R2求出球的半径，即可求出球0的体积. .【详解】所以点（2,3 ）在双曲线上，可得c22c4 91孑矿1-a2b2，可得=4a2=1b2=3，所以a =1,

11、c =2，即e=C=2a故选：A A【点本题主要考查抛物线与双曲线的定义和性质以及双曲线的对称性,需熟记与抛物线的定义和性质，属于基础题1111.已知三棱锥D - ABC的四个顶点均在球0的球面上，. ABC和DBC所在平面互相垂直，AC, ABAB =3,=3,BC二CD二BD=23=23，则球O的体积为（A A.3【答案】D DB B. 4.3；C C.36二32:D D.3第1010页共 1919 页AC = .3, ABAB = =3 3 ,BC=CD=BD=2 3AB2AC2二BC2，AC _ AB,第1111页共 1919 页ABC的外接圆的半径为,3T. ABC和.DBC所在平面

12、互相垂直,球心在BC边的高上,设球心到平面ABC的距离为h，故选：D D【点睛】本题主要考查立体几何外接球问题以及球的体积公式，属于中档题1212.已知函数f x =x，若函数g(x)二f(x)-a有3个零点，则实(x +1 )e ,x cO数 a a 的取值范围是(fx：O，得x -2,- f x在：，-2上递增，在-2,0上递减，x x：0 0 时,则h2-3 =R2二2,3-h球O体积V23332. .33x-1 ,x_0X 0时,-2，由B B.(-1,1 1A A (0,T)e eC C (-e2,-1)【答第1212页共 1919 页1jf Xmax = f-2且X：T时，f X：

13、0画出f X的图象如图，由图知e一1一0 : a2时，y=f x与、二a 有三个交点，此时g x有三个零点，所以实数a取e(1 值范围是0, 2L故选A.I e丿【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，函数的图象以及数形结合思想的应用，属于难题 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的 相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法， 函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1 1、确定方程根的个数；2 2、求参数的取值范围；3 3、求不等式的解集；4 4、研究函数性质.二、填

14、空题3xy-6 0,13.已知x,y满足不等式组丿x + y 2 3 0，贝V z = x2十y2的最大值为 _x_y+2启0,【答案】10【解析】首先作出约束条件的可行域，根据目标函数表示的几何意义即可求解【详解】3x y - 6 _0,I由约束条件为：0，可得m2: 4k21,4m2-424k 12020. .已知椭圆则 x,x, x x2 2= =8 8 kmkmx|x2尸第2121页共 1919 页又点O到直线 y y =kX=kX +m+m 的距离 d d = =,可得：4k2=2m2-1,故-OPQ的面积为定值 1.1.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，三

15、角形的面积公式，考查了 学生的运算能力及推理能力，属于难题 122121 .已知函数f(x)ax2-(2a 1)x 21 nx. .2(1) 当a 0时，求函数 f(x)f(x)的单调区间；(2) 当a=0时，证明：f(x)：2eX-x-4(其中 e e 为自然对数的底数). .【答案】(1 1)当1a时，f x的递增区间为0,；21 1当 0 0 : a a 时，, 1 )1)f X的递增区间为0,2,一：，递减区间为2,；la丿1 a丿1f 1 (1当a时，f x的递增区间为0,2,，递减区间为,2；2I a丿la丿(2 2)见解析【解析】(1 1)求出函数的导数，通过讨论a的取值范围，求

16、出函数的单调区间即可. .(2 2)问题转化为eXlnX2，令gX=e Tnx - 2X0，根据函数的单调性证 明即可. .【详解】PQ =为一X2=4 4J1，4k21S.OPQ -d，PQ = 2 m -.4k2- m214k21由于K k2y1y2为X2m2X1X2X1X24故SOPQ=2m 2m2j。12m2当直线PQ的斜率不存在时，可算得:SOPQ=1,第2222页共 1919 页(1)由题意，函数f x的定义域为0,；,2f X X_(2a 1) Jax心1)x 2(x2)(ax)1当a = 2时，x一0恒成立，故f x的递增区间为当 0 0 :a a:-时，在区间0,2 ,1丄，

17、|时f x0,2 a所以f x的递增区间为i0,，2, ：，递减区间为 一，2；Ia丿2 丿1综上所述，当a时，f x的递增区间为0,；211)f 1 )当0：时，f x的递增区间为0,2，I，递减区间为12,-2a. a1f 1 jf 1当a时，f x的递增区间为0,，2：，递减区间为 一，2；2I a丿la丿(2 2)当a = 0时，由f x：2ex-x - 4, ,只需证明ex Inx 2. .令g x二ex_lnx_2 x 0，g x = e1. .xx01设g xg =0，则e(0：；X。：1). .Xo当x 0,x0时，g x 0，g x单调递减；当X X。，=时，gx 0，g x

18、单调递增,当X =X0时，g X取得唯一的极小值，也是最小值 1 1 1g x的最小值是g X0iueX0Tnx-2In石一2x2 0成立 X0eX)故f x：2ex-X -4成立. .2,-时r(0，所以f x的递增区间为0,2,:la，递减区间为2,a；2时,在区间，2,：时fx 0，i,2la丿f x: 0,第2323页共 1919 页【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，导函数在证明不等式中的应用，考查学生的第2424页共 1919 页逻辑推理能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，属于中档题标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程

19、为-6cos二.(1) 求直线I的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2) 若直线I与曲线C交于A, ,B两点，试问是否存在实数a，使得AB =2、7?若 存在，求出实数a的值；若不存在，说明理由. .【答案】(1 1)x-a#3y-a=0, x x2y y2_6x_6x =0=0 ； (2 2)存在，a = 3_2、,2【解析】(1 1)消去参数t可求出直线I的普通方程，利用极坐标公式可求出曲线C的直角坐标方程 (2 2)求出圆心到直线的距离，根据垂径定理即可求解【详解】-直线I的普通方程为x - . 3y - a= 0由亍=6cos v,.亍2=6cos寸-曲线C的直角坐标方程为 x x2y y26x6x =0=0(2 2)由于曲线C的直角坐标方程为 x x2，y2-6x=06x=0，则圆心3,0,r =3,所以圆心到直线I的距离d =,2A