2020届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三上学期期中数学(理)试题(解析版)

1、第1页共 19 页2020 届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三上学期期中数学（理）试题一、单选题1 1.已知集合A亠1,2,4,8?，集合B=z|z=xyx A, y A，则集合B中元素的个数为（）A A. 7 7B B. 8 8C C. 9 9D D. 1010【答案】A【解析】 直接带值求出 z 可能的取值，即得 B 集合元素的个数.【详解】集合 A= 1 , 2, 4, 8，集合 B = z|z= xy, x A, y A= 1 , 2, 4, 8, 16, 32, 64,集合 B 中元素的个数为 7.故选：A.【点睛】本题考查集合的基本概念，考查集合的互异性，是基础题51 _ i2.已知复

2、数z，则复数 z 对应的点在复平面内位于（）2+i 1+iA A .第一象限B B.第二象限C C .第三象限D D .第四象限【答案】D【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案.【详解】.一51 -i _52-i（1 i）22i 1 i 2 i 2 -i 1 i 1 -i=2- i - i = 2 - 2i,复数 z 对应的点的坐标为（2,- 2）,在复平面内位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.rr r r3.设a,b满足 a = 1,2 ,b= x, T，且a，b _a，则实数x的值为（）11第2页

3、共 19 页A A . 3 3B B.-3 3C C.D D .-22【答案】B4444444【解析】求出a - b h x 1,根据a b_ a即可得出ab a = 0，进行数量积的坐标运算即可求出 x 的值.【详解】a b hx 1, a b - a,a b a = x 1 2 = 0,x= 3.故选：B.【点睛】本题考查向量坐标的加法和数量积的运算，向量垂直的充要条件，是基础题.x y-4 _0I4 4若实数x,y满足不等式组2x - 3y 2岂0，则2x y的最大值为()y 4x - 4空0A A . -2-2B B. 4 4C C. 6 6D D . 8 8【答案】C【解析】由约束条

4、件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.【详解】x y-4汕由实数 x, y 满足不等式组2x-3y，2乞0作出可行域如图，y-4x-4玄0 x y = 4联立 ，解得 A (2, 2),I2x_3y+2=0化目标函数 z= 2x+y 为 y=- 2x+z,由图可知，当直线 y=- 2x+z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为 2X2+2=6.故选：C.第3页共 19 页本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，确定最优解是关键，是中 档题.A A .-1 1B B.-2 2C C. 1 1

5、D D . 2 2【答案】D【解析】 直接利用二倍角的公式化简求值.【详解】2COS25 -1cos102COS10sin40COS40sin40COS40 2sin40COS402COS10 2COS102.sin 80COS10故选：D.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，熟记公式与诱导公式是关键是基础题.6 6.设m,n是两条不同的直线，1 1 ,是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m :- ,n n/八，贝U m,n为异面直线；若m _m _，则:_ ；若m /：,_：,则 m m _ _； 若 m m _ _ ： ,n, m m n n ,则：则上述命题中真命题

6、的序号为（）2COS25 -1sin 40的值为（【点第4页共 19 页A A .B B.C C .D D .【答案】C【解析】 对于，若 m?an /a,则 m, n 可能平行；对于，利用面面垂直的判定判定；对于，若 m/3, a丄则 m 与a位置关系不定；对于，若 m 丄a,n 丄3m/ n,贝Uall3，【详解】设 m, n 是两条不同的直线，a, 3,丫是三个不同的平面，对于，若 m?a,n/a,则 m , n 可能平行，故错；对于,若 m 丄3, a丄3则在平面a内一定可以找到一条直线与 m 平行且垂直3,又 m 丄丫, 则a丄Y故正确.对于，若 m/3, a丄3则 m 与a位置关系

7、不定，故错；对于，若 m 丄 a, n 丄 3, m/ n ,贝 U all 3,故错.故选：C.【点睛】本题考查了空间线面、面面位置关系的判定，熟记定理是关键，属于中档题.7 7 .设Sn为正项等比数列Gn的前n项和，a5,3a3, 成等差数列，则鲁 的值为（）S411A A.B B.C C. 1616D D. 17171617【答案】D【解析】 设等比数列的公比为 q, q0,运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公 式，解方程可得公比 q，再由等比数列的求和公式，计算可得所求值.【详解】正项等比数列an的公比设为 q, q 0, a5, 3a3, 成等差数列，_243可得6a3=a5+a

8、4,即6a1q =a1q +aq ,化为 q +q-6 = 0，解得 q= 2 （- 3 舍去）,S宀17 ） 8则一q- 二=1 + q4= 1+16= 17 .S4a1打4、1 q4_ 1 -q1 -q故选：D.第5页共 19 页【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，等差数列的中项性质， 考查方程思想和化简运算能力，属于基础题.第6页共 19 页A A. 1 1B B.C C. 2 2D D . 4 4【答案】A【解析】 根据导数的几何意义，求出曲线在在x= 1 处的切线方程，进而可知点 A, B25的坐标，因此由 OAB 的面积为，列出方程，即可解出 a.6【详解】a 2因为f

9、X2，所以 k=f 1= a+2，而 f (1)= 2,x xa +4故切线方程为：y+2=( a+2) (x- 1),由此可得点 A (-, 0), B (0,- 4 - a).由a+2于 a 0,1a +4252c cs 口“SAOAB| - 4- a| 扌 |，化简得，3a -a-2=0,解得a=1.2a +26故选：A.【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，求出切线方程即可表示出 OAB 的面积.9 9.已知f x是定义在R上的偶函数，满足f x 2 f x，当10,1时,3I4 !f x i = x x，若a = f i log2,b = f log24.1,c = f 2019

10、，则a,b,cV5J的大小关系为()A A.a b cB B.b a cC C.c a bD D.c a b【答案】B【解析】根据题意，分析可得函数 f( x)是周期为 2 的周期函数，据此可得 c= f (2019)4 1=f (1+2X1007) = f (1) , b= f (log24.1)= f (log24.1 - 2) = f (log2-),结合函数4445的奇偶性可得 a=f(log2- )= f(-log2 ) = f (log 2),结合函数解析式可得 f (x)554在0, 1上为增函数，据此分析可得答案.【详解】8 8 .已知曲线f x = alnx -在x=1处的切

11、线与x,xy轴分别交于A,B两点，若OAB的面积为25，则正数a的值为（第7页共 19 页根据题意，f ( x)满足 f (x+2)= f (x),即函数 f (x)是周期为 2 的周期函数，小4 1则 c= f (2019) = f (1+2X1009) = f (1) ,b= f (log24.1) =f (log24.12) = f (log2), 4445又由 f (x)为偶函数，则 a=f (log2)= f (- log2) = f (log554第8页共 19 页34 15当 x 0,1时，f(x) = x +x,易得 f(x)在0,1上为增函数，又由 0vIog2 也一1,44

12、则有 b a c;故选：B.【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，注意分析函数的周期，属于基础题.【答案】ioio.已知数列 a?a?满足 a a1-a2al23a 119nn，贝U in中的最小项的值4A A . -20-2081D D .竺16【解由n_2,a1I2I3an+12(n+1)2n+1$ -号n+1,两式作差得a构造函数求导得数列最小项的值【详92a卑卑 生=丄n2_理n2232n22 4171, 2（n一1厂尹一）-作差得:an4n-214n2124In=4门，a1n-17满足上式，故3令f x4x-21 x _1 f x x 2x-742,f(x)3 0;1Exh

13、；=0；即 f(x) 0；故选：B.【点睛】本题构造抽象函数求导讨论单调性，变形技巧要求较高，难度较大，准确构造 =xf (x)是关键，是难题二、填空题1212 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为【解析】由条件构造 g (x)= xf (x)，贝 V f (x )= (X)，求导讨论 f (x)的单调性;x在这个过程中将分子看成一个整体，求导讨论其单调性，分析其符旦则f x()A A .在定义域上单调递减C C .在定义域上有极大值【答案】BB B.在定义域上单调递增D D .在定义域上有极小值号由条件有设 g (x)=xf (x),则g (x)= f (x) +xf (

14、x)2xe;x-fxfx=xg X -g X eg x设 h (x)= e2x- g(x),则 h (x)2x2x2xe2x=2e - g (x)二2e所以h (乂)在(0,1)上单调递减,2在，二上单调递增;2所以所以f (x)在定义域上单调递增;g (x)第10页共 19 页tons【答案】9 二【解析】将三视图还原，补成长方体求得外接球半径求解即可【详解】由题三视图还原为如图所示的三棱锥A-BCD，将三棱锥补成长方体，三棱锥的外接球即为长方体的外接球，贝U 2R = 12+22+22=3,. R =-，故该几何体的外接球的表面2积为4-R2= 9二故答案为：9 二【点睛】 本题考查三视图

15、及外接球，考查空间想象能力，将三棱锥补成长方体是求外接球的常用方法，是基础题【答案】4AK Qoa2，利用基本不等式解出即可.baba【详解】1313 .设a,b为正实数，且ab，则a2古b的最小值为【解析】由(ab)T，展开可解得b 4a- -J-，进而可得12因为(a )b2，所以a所以a2&b=四些b aa - 2,：? = 4，当且仅当a=b 成立第11页共 19 页1 2a b 4ar r = rb2b a b故答案为：4.第12页共 19 页【点睛】 本题主要考查基本不等式的应用，配凑定值是关键，属于中档题.1414 已知某圆锥的母线与其底面所成角的大小为60，若此圆锥的侧面积为8

16、二，则该圆锥的体积为_ . .【答案】12 -3【解析】 根据题意画出图形，结合图形设圆锥的底面半径为r，表示出底面半径和母线长，利用圆锥的侧面积求出r，再计算圆锥的体积.【详解】如图所示，T圆锥的母线与其底面所成角的大小为60, / SAO= 60,由题意设圆锥的底面半径为r，则母线长为 1= 2r，高为 h= .3r圆锥的侧面积为 8n,S侧面积=nl =n?2r = 2nr2= 8n,解得 r = 2, h = 2、.3,-圆锥的体积为 V圆锥二1n?2h=1nX22 2 3二83333故答案为：3【点睛】本题考查圆锥的体积的求法，考查圆锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.1

17、515 在ABC中，设边a,b,c所对的角分别为A,B,C，若角A为锐角，BC边5上的高为一a，且b+c= pa，则实数P的取值范围为 _. .8【答案】：12丿2A【解析】 根据已知利用余弦定理，三角函数恒等变换的应用得出P2关于一的表达式，2第13页共 19 页A根据工的范围即可得 p 的范围.2【详解】/ BC 边上的高为2 2 2 b+c= pa,两边平方可得(b+c) = p a ,由余弦定理,a2= b2+c2 2bccosA =( b+c)2 2c 5a c 5aAcosA,8sinA 8sinA3 p （ ,+8）.23故答案为：（一，+8）.2【点睛】本题考查了三角形的面积公

18、式，余弦定理在解三角形中的应用,中档题.三、解答题1616.如图，在几何体ABC - ABC中，=ABC为正三角形，AA1/BBi/CC1,AA1 -平面ABC，若E是棱B1C1的中点，且AB二AA=CC1= 2BB1，则异面直线A, E与AG所成角的余弦值为（）11-bcs inA = a225a，可得:8bcW8sinA-2bc 2bccosA= p2a2可得：p2= 151SA “4sinA10cos2-28sin AcosA2 2=1/+ A,4tan2A角 A 为锐角，一 2A),tan1),4n5Ap2= 15+-/+ A+8),由题意知p 0,考查了转化思想，属于第 ii 页共

19、i9 页13【答案】C【解析】 以 C 为原点，在平面 ABC 内过 C 作 BC 的垂线为 x 轴，CB 为 y 轴，CCi为 z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AiE 与 ACi所成角的余弦值【详解】 以 C 为原点，在平面 ABC 内过 C 作 BC 的垂线为 x 轴，CB 为 y 轴，CCi为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 AB= AAi= CCi= 2BBi= 2,则 Ai(巧,i,2),A (73,0),Ci( 0, 0, 2),Bi( 0, 2, i), E (0, i, | ),AE =(-T/3 ,0,-2),AC =( V3，-i,2),异面直线 AiE

20、与 ACi所成角的余弦值为 一26.i3故选：C.1313B B.213132、2613则设异面直线 AiE 与 ACi所成角为9,1第15页共 19 页兀5sin，进而求出 sinAcosB 的值.3【详解】 sinCcosA3sinAsinC = sinB+sin A, / sinB+sinA=sin (A+C) +sinA =sinAcosC+sinCcosA+sinA, si nCcosA3 sinAs inC = sinAcosC+si nCcosA+s in A,可得 G sinAsi nC= sinAcosC+s inA,-si nA 工03T-3sinC cosC= 1，即 s

21、in (C -)本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.1717 在ABC中，设边a,b,c所对的角分别为A,B,C，已知(1(1)求角C的大小;(2(2)若2 212a-bc,求sin AcosB的值. .4【答5 3(1)C; (2)5 3316【解(1)利用正弦定理可将原式化简为 cosA 、.3sinA 二sinBsinAsinC，整理得3sinC cosC = 1, 即卩 sin (C )=，进而可得6 2C 的大小;(2)利用余弦定理可将cosB=a2c2b22ac化成5c8a5si nC，即 8sinAc

22、osB = 5sinC=8sinA(1) ABC 中，cosA . 3sinA二 _a，即 cosA . 3 sinA =csinB sinAsinCz【点1第16页共 19 页6n 1 第 13 页共 19 页Tt=5sin ,3所以 sinAcosB16【点睛】本题考查正、余弦定理的综合运用，考查辅助角公式，考查计算能力，熟练运用内角和定理和两角和的正弦定理求得、_3sinC- cosC= 1 是关键，属于中档题.1818.已知递增的等差数列:an的前n项和为Sn，若ai,a?, 成等比数列，且S5= 30. .(1) 求数列a】的通项公式及前n项和Sn；(2(2)设bn亚，求数列V的前n

23、项和 T Tn. .an卅an【答案】(1)a*=2n, Sn= n2n ； (2)Tn= 3nn +1【解析】(1)设等差数列的公差为 d, d0,运用等差数列的通项公式和求和公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式、求和公式;21=21,再由数列的分组求和、2nn n 1裂项相消求和，化简计算可得所求和.【详解】22若 a1, a2, a4成等比数列，可得 a：=玄但4,即(a 什 d) = a1(a1+3d), 化为 a1= d,S5= 30，可得 5a1+10d= 30,解得 a1= d= 2,可得an= 2+2 ( n - 1 )= 2n, Sn= n

24、 (2+2n)= n +n ：(2) 0也22=2 -1-C (0, n),C (65:6)，JI JI c=_,可得 C 蔦(2)若a2-b212HC，cosB =a2c2b22ac5c 5sinC，即 8sinAcosB = 5sinC8a 8sinA(2)求得 bn二旦旦an+an2(n +1)(1)递增的等差数列a.的公差设为 d,(d0),前 n 项和为 S,第18页共 19 页an+an2(n +1) 2nn11111可得前 n 项和 Tn= 2n+1 -亠 亠亠2 2 3n n+12=2n+11=2n 3n.n 1 n 1【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，考查等比数列

25、的中项性质， 以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于基础题.佃.已知函数f(x) = Acos(十叫硝|勻的最小正周期为n,将f (X)的 图像向右平移 匸个单位长度后得到函数g x,g x的图像关于y轴对称，且6(兀)f2. .6(1(1)求函数f x的解析式;(2 2)设函数F x = f x g x, 若函数F(x)的图像在Io,a兀(a 0)上恰有 2 2 个最高点，求实数a的取值范围 3512【解析】(1)根据给出的周期，可求出3的值；由 f ( X)的图象向右平移 一个单位长6f 兀)度，函数的图象关于 y 轴对称，求出0的值；由f2，得 A 的值即可；I 6丿(2)由(1

26、)可得 F (x)的解析式，由辅助角公式进行化简，利用函数图象分析即可 得出结果.【详解】(1)T函数f x = Acos：x亠门1 U0,Tt31JITg(x)=f(x) =Acos2(x )+0Acos(2x-+0),且 g(x)的图象关663于 y 轴对称，31 2丿【答案】(Df x=2cos 2x丐;(2) |的最小正周期第20页共 19 页JI+30=kn,kZ,即510=kn,kZ,3JIJIJI由|00)；31JIJI2x ,2an -666 函数 F (x)的图象在 x0,an(a0)上恰有 2 个最高点;结合余弦函数的图象(如图示)知, 故解得 a空，35H.12 12故实

27、数 a 的取值范围为空,35.|1_12 12【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，利用整体法思想，数形结合的思想方法解决问题，属于中档题.2020.如图，底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，PA_平面ABCD,E为棱PC上一动点，PA = AC. .(1(1)当E为PC中点时，求证：PA/平面BDE;(2(2)当AE丄平面 PBD 时，求PE的值；CE(3(3)在(2 2)的条件下，求一面角P - BD - C的余弦值. .45【答(1)证明见解析；(2)2; (3) 一 二【解析】(1)连接 AC,BD 设其交点为 O,连接 OE,证明 OE/ PA,即可证明 第 15 页共 19 页(

28、2)建立空间直角坐标系，求得平面PBD 的法向量，由线面垂直求解【详解】函数 f ( x)的解析式为Ji=Acos2 ()6JI=Acos0= A = 2,3f x =2cos2x第22页共 19 页(1)连接 AC,BD 设其交点为 0,连接 0E,则O为中点，故 0E / PA又PA二平面BDE, 0E 平面BDE，故PA/平面BDE;(2)以 0 为原点，0A, 0B 分别为 x, y 轴，过 0 做AP的平行线为 z 轴，建立如图所示空间坐标系，如图示： 设 AB=2，则 A（V! （ 0C ,B（0,J2，0），D（0 , - 72 ,0）,P（厲2 旋, 设空0,E（、2-2、2

29、,0,2三-2一2）,忑_2、2 ,0,2 .2-2三 ,PCAE丄平面 PBD ,所以AE 0，A! PB =0则 =2,故 史=2;3CE(3)因为AE丄平面 PBD ,所以 AE 是平面 PBD 的一个法向量， -* *故取平面 PBD 的一个法向量为m=(-2,0,1),平面ABCD的法向量为n =0,0,1设二面角P -BD -C为0,则COST二丄35,由图知，二面角为钝角，故二面角P - BD -C的余弦值为|m| |n|5【点睛】第23页共 19 页本题考查线面平行，考查二面角的向量求法，考查线面垂直的向量求解，是中档题x2121 .已知函数f x =xe. .(1 1)证明：

30、当x 0时，f xxe - 2x2；(2(2)若斜率为k的直线与曲线f x交于A,B x2, y2x2x!0两点，求证：1 exi：k：x21 ex2. .【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；【解析】(1)原不等式等价为ex-e_2x- 0，构造函数g x =ex-e-2x，求导证明gxmin0即可；(2)由斜率表示 k 利用导函数证明fx=exx 1为增函数即可证明【详解】(1) 当x 0时，fxx2x2即ex-e-2x .0令g x二ex-e2x,g;x二ex e-2 _ 2 exe -2 = 0，故g x单调递增,则g x 、g 0 =0，故f x，xe2x2(2)fx =exx 1故f人:尸洛1e, fx?HX 1e兀,f X二e x 20故f X二e x 1单调递增，图像为下凸函数，故【点睛】考查函数图像及性质， 准确判断函数fx =exx 1的特征是关键，是中档题x = 2一2 cos-2222 已知曲线C的参数方程为(二为参数)，点P是曲线C上一动点,=v2 sin日过点P作PN _ y轴于点N，设点Q为NP的中