几何体与球的体积表面积(含答案)

1、几何体与球的体积表面积几何体与球的体积表面积一选择题（共一选择题（共 20 小题）小题）1平面截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面的距离为，则此球的体积为（）A B4C4D62已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且 AB=BC=CA=2，则球面面积是（）ABC4D3 已知三棱锥 OABC， A， B， C 三点均在球心为 O 的球表面上， AB=BC=1， ABC=120，三棱锥 OABC 的体积为，则球 O 的表面积是（）A544 B16 C D644四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的表面上，AB平面 BCD，BCD 是边长为 3 的等边

2、三角形若 AB=2，则球 O 的表面积为（）A8B12 C16 D325已知在三棱锥 PABC 中，VPABC=，APC=，BPC=，PAAC，PBBC，且平面 PAC平面 PBC，那么三棱锥 PABC 外接球的体积为（）ABCD6已知正ABC 三个顶点都在半径为 2 的球面上，球心 O 到平面 ABC 的距离为 1，点 E是线段 AB 的中点，过点 E 作球 O 的截面，则截面面积的最小值是（）AB2CD37已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）A4B8C12 D168三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，ACBC，AC=BC=1，PA=，则该三棱锥外接球的表面积为（）A5

3、BC20 D49已知 A，B，C 点在球 O 的球面上，BAC=90，AB=AC=2球心 O 到平面 ABC 的距离为 1，则球 O 的表面积为（）A12 B16 C36 D2010如图，是一个空间几何体的三视图，则这个几何体的外接球的表面积是（）A56cm2B77cm2CD11三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的表面上，SA平面 ABC，ABBC，又SA=AB=BC=1，则球 O 的表面积为（）ABC3D1212已知在三棱锥 PABC 中，PA=PB=BC=1，AB=，ABBC，平面 PAB平面 ABC，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（）AB3CD213四面体 ABCD

4、 的四个顶点都在球 O 的表面上，AB平面 BCD，BCD 是边长为 3 的等边三角形若 AB=2，则球 O 的表面积为（）A4B12 C16 D3214已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB=90，C 为该球面上的动点，若三棱锥 OABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为（）A36 B64 C144 D25615设三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，AB=AC=2，BAC=90，AA1=2，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A4B8C12 D1616一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为（）AB

5、9C4D17已知如图所示的三棱锥 DABC 的四个顶点均在球 O 的球面上，ABC 和DBC 所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球 O 的表面积为（）A4B12 C16 D3618一个空间四边形 ABCD 的四条边及对角线 AC 的长均为，二面角 DACB 的余弦值为，则下列论断正确的是（）A空间四边形 ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为 3B空间四边形 ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为 4C空间四边形 ABCD 的四个顶点在同一球上且此球的表面积为D不存在这样的球使得空间四边形 ABCD 的四个顶点在此球面上19 已知三棱锥SABC的所

6、有顶点都在球O的球面上， SA=2， AB=1， AC=2， BAC=60，SA面 ABC，则球 O 的表面积为（）A4B12 C16 D6420棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A3B4C3D6二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题）21已知正四棱锥 OABCD 的体积为，底面边长为，则以 O 为球心，OA 为半径的球的表面积为22已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点，AH：HB=1：2，AB平面，H 为垂足，截球 O所得截面的面积为，则球 O 的表面积为23 如图， 已知球 O 的面上四点 A、 B、 C、 D， DA平面 ABC， ABBC， DA=AB=

7、BC=，则球 O 的体积等于24正四棱锥 SABCD 的底面边长和各侧棱长都为，点 S、A、B、C、D 都在同一个球面上，则该球的体积为25设 OA 是球 O 的半径，M 是 OA 的中点，过 M 且与 OA 成 45角的平面截球 O 的表面得到圆 C若圆 C 的面积等于，则球 O 的表面积等于几何体与球的体积表面积几何体与球的体积表面积参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共 20 小题）小题）1 （2012新课标）平面截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面的距离为，则此球的体积为（）A B4C4D6【分析】利用平面截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心

8、O 到平面的距离为，求出球的半径，然后求解球的体积【解答】解：因为平面截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面的距离为，所以球的半径为：=所以球的体积为：=4故选 B【点评】本题考查球的体积的求法，考查空间想象能力、计算能力2 （2010广东模拟）已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且 AB=BC=CA=2，则球面面积是（）ABC4D【分析】由 AB=BC=CA=2，求得ABC 的外接圆半径为 r，再由 R2（R）2=，求得球的半径，再用面积求解【解答】解：因为 AB=BC=CA=2，所以ABC 的外接圆半径为 r=设球半径为 R，则 R2（R）2=，

9、所以 R2=S=4R2=故选 D【点评】本题主要考查球的球面面积，涉及到截面圆圆心与球心的连线垂直于截面，这是求得相关量的关键3（2016河南模拟） 已知三棱锥OABC， A， B， C三点均在球心为O的球表面上， AB=BC=1，ABC=120，三棱锥 OABC 的体积为，则球 O 的表面积是（）A544 B16 C D64【分析】求出底面三角形的面积，利用三棱锥的体积求出 O 到底面的距离，求出底面三角形的所在平面圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求解球的体积【解答】解：三棱锥 OABC，A、B、C 三点均在球心 O 的表面上，且 AB=BC=1，ABC=120，AC=，SABC=1

10、1sin120=，三棱锥 OABC 的体积为，ABC 的外接圆的圆心为 G，OGG，外接圆的半径为：GA=1，SABCOG=，即OG=，OG=，球的半径为：=4球的表面积：442=64故选：D【点评】本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力4 （2016衡水模拟） 四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的表面上， AB平面 BCD， BCD是边长为 3 的等边三角形若 AB=2，则球 O 的表面积为（）A8B12 C16 D32【分析】取 CD 的中点 E，连结 AE，BE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积【解答】解：取 CD 的中点 E，连

11、结 AE，BE，在四面体 ABCD 中，AB平面 BCD，BCD 是边长为 3 的等边三角形RtABCRtABD，ACD 是等腰三角形，BCD 的中心为 G，作 OGAB 交 AB 的中垂线 HO 于 O，O 为外接球的中心，BE=，BG=，R=2四面体 ABCD 外接球的表面积为：4R2=16故选：C【点评】 本题考查球的内接体知识， 考查空间想象能力， 确定球的切线与半径是解题的关键5 （2016河南模拟）已知在三棱锥 PABC 中，VPABC=，APC=，BPC=，PAAC，PBBC，且平面 PAC平面 PBC，那么三棱锥 PABC 外接球的体积为（）ABCD【分析】利用等体积转换，求出

12、 PC，PAAC，PBBC，可得 PC 的中点为球心，球的半径，即可求出三棱锥 PABC 外接球的体积【解答】解：由题意，设 PC=2x，则PAAC，APC=，APC 为等腰直角三角形，PC 边上的高为 x，平面 PAC平面 PBC，A 到平面 PBC 的距离为 x，BPC=，PAAC，PBBC，PB=x，BC=x，SPBC=，VPABC=VAPBC=，x=2，PAAC，PBBC，PC 的中点为球心，球的半径为 2，三棱锥 PABC 外接球的体积为=故选：D【点评】本题考查三棱锥 PABC 外接球的体积，考查学生的计算能力，正确确定球心与球的半径是关键6 （2016南昌三模）已知正ABC 三个

13、顶点都在半径为 2 的球面上，球心 O 到平面 ABC的距离为 1， 点 E 是线段 AB 的中点， 过点 E 作球 O 的截面， 则截面面积的最小值是 （）AB2CD3【分析】设正ABC 的中心为 O1，连结 O1A根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，而经过点 E 的球 O 的截面，当截面与 OE 垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值【解答】解：设正ABC 的中心为 O1，连结 O1AO1是正ABC 的中心，A、B、C 三点都在球面上，O1O平面 ABC，球的半径 R=2，球心 O 到平面 ABC 的距离为 1，得

14、 O1O=1，RtO1OA 中，O1A=又E 为 AB 的中点，ABC 是等边三角形，AE=AO1cos30=过 E 作球 O 的截面，当截面与 OE 垂直时，截面圆的半径最小，当截面与 OE 垂直时，截面圆的面积有最小值此时截面圆的半径 r=，可得截面面积为 S=r2=故选 C【点评】 本题已知球的内接正三角形与球心的距离， 求经过正三角形中点的最小截面圆的面积着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题7 （2016湖南二模）已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）A4B8C12 D16【分析】由已知中三棱锥的三视图，我们可以求出三棱棱的高，即顶点到底

15、面的距离，及底面外接圆的半径，进而求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式，即可求出外接球的表面积【解答】解：由已知中三棱锥的高为 1底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为 1，则底面的外接圆半径为 1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离， 与底面外接圆的半径相等， 所以底面直角三角形斜边中点就是外接球的球心；则三棱锥的外接球半径 R 为 1，则三棱锥的外接球表面积 S=4R2=4故选：A【点评】 本题考查的知识点是由三视图求表面积， 其中根据三视图出判断出三棱锥的几何特征，进而求出其外接球的半径是解答本题的关键8 （2015佳木斯一模） 三棱锥 PABC

16、 中， PA平面 ABC， ACBC， AC=BC=1， PA=，则该三棱锥外接球的表面积为（）A5BC20 D4【分析】根据题意，证出 BC平面 PAC，PB 是三棱锥 PABC 的外接球直径利用勾股定理结合题中数据算出 PB=，得外接球半径 R=，从而得到所求外接球的表面积【解答】解：PA平面 ABC，ACBC，BC平面 PAC，PB 是三棱锥 PABC 的外接球直径；RtPBA 中，AB=，PA=PB=，可得外接球半径 R=PB=外接球的表面积 S=4R2=5故选 A【点评】本题在特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于中档题9

17、（2015沈阳校级模拟）已知 A，B，C 点在球 O 的球面上，BAC=90，AB=AC=2球心 O 到平面 ABC 的距离为 1，则球 O 的表面积为（）A12 B16 C36 D20【分析】由BAC=90，AB=AC=2，得到 BC，即为 A、B、C 三点所在圆的直径，取 BC的中点 M， 连接 OM， 则 OM 即为球心到平面 ABC 的距离， 在 RtOMB 中， OM=1， MB=，则 OA 可求【解答】解：如图所示：取 BC 的中点 M，则球面上 A、B、C 三点所在的圆即为M，连接 OM，则 OM 即为球心到平面 ABC 的距离，在 RtOMB 中，OM=1，MB=，OA=，即球

18、的半径为，球 O 的表面积为 12故选：A【点评】本题考查球的有关计算问题，点到平面的距离，是基础题10 （2015 秋乐陵市期中）如图，是一个空间几何体的三视图，则这个几何体的外接球的表面积是（）A56cm2B77cm2CD【分析】三视图复原的几何体是长方体的一个角，扩展为长方体，它的外接球的直径就是长方体的对角线的长，求出对角线长，即可求出外接球的表面积【解答】解：三视图复原的几何体是长方体的一个角，三度为：6、5、4；把它扩展为长方体，它的外接球的直径就是长方体的对角线的长，所以长方体的对角线长为：所以球的半径为：这个几何体的外接球的表面积是：4=77（cm2）故选 B【点评】本题是基础

19、题，考查几何体的外接球的问题，空间想象能力，逻辑思维能力，和计算能力，注意本题中三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球11 （2014四川模拟）三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的表面上，SA平面 ABC，ABBC，又 SA=AB=BC=1，则球 O 的表面积为（）ABC3D12【分析】根据题意，三棱锥 SABC 扩展为正方体，正方体的外接球的球心就是正方体体对角线的中点，求出正方体的对角线的长度，即可求解球的半径，从而可求三棱锥 SABC的外接球的表面积【解答】解：三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的表面上，SA平面 ABC，ABBC，又 SA=AB=BC=1，三棱锥扩展为正方

20、体的外接球，外接球的直径就是正方体的对角线的长度，球的半径 R=球的表面积为：4R2=4=3故选：C【点评】本题考查三棱锥 SABC 的外接球的表面积，解题的关键是确定三棱锥 SABC的外接球的球心与半径12 （2016大庆一模）已知在三棱锥 PABC 中，PA=PB=BC=1，AB=，ABBC，平面 PAB平面 ABC，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（）AB3CD2【分析】求出 P 到平面 ABC 的距离为，AC 为截面圆的直径，AC=，由勾股定理可得 R2=（）2+d2=（）2+（d）2，求出 R，即可求出球的表面积【解答】解：由题意，AC 为截面圆的直径，AC=，设球心到

21、平面 ABC 的距离为 d，球的半径为 R，PA=PB=1，AB=，PAPB，平面 PAB平面 ABC，P 到平面 ABC 的距离为由勾股定理可得 R2=（）2+d2=（）2+（d）2，d=0，R2=，球的表面积为 4R2=3故选：B【点评】本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键13 （2016白银模拟）四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的表面上，AB平面 BCD，BCD 是边长为 3 的等边三角形若 AB=2，则球 O 的表面积为（）A4B12 C16 D32【分析】取 CD 的中点 E，连结 AE，BE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积【解答】解：取 C

22、D 的中点 E，连结 AE，BE，在四面体 ABCD 中，AB平面 BCD，BCD 是边长为 3 的等边三角形RtABCRtABD，ACD 是等腰三角形，BCD 的中心为 G，作 OGAB 交 AB 的中垂线 HO 于 O，O 为外接球的中心，BE=，BG=，R=2四面体 ABCD 外接球的表面积为：4R2=16故选：C【点评】 本题考查球的内接体知识， 考查空间想象能力， 确定球的切线与半径是解题的关键14 （2015新课标 II）已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB=90，C 为该球面上的动点，若三棱锥 OABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为（）A36 B64 C14

23、4 D256【分析】当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥 OABC 的体积最大，利用三棱锥 OABC 体积的最大值为 36，求出半径，即可求出球 O 的表面积【解答】解：如图所示，当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥 OABC 的体积最大，设球 O 的半径为 R，此时 VOABC=VCAOB=36，故 R=6，则球 O 的表面积为 4R2=144，故选 C【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥 OABC 的体积最大是关键15 （2015大庆三模） 设三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面， A

24、B=AC=2， BAC=90，AA1=2，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A4B8C12 D16【分析】根据题意，可将棱柱 ABCA1B1C1补成长方体，长方体的对角线即为球的直径，从而可求球的表面积【解答】 解： 三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面， AB=AC=2， BAC=90， AA1=2，可将棱柱 ABCAA1B1C1补成长方体，长方体的对角线=4，即为球的直径，球的直径为 4，球的表面积为 422=16，故选：D【点评】本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题16 （2015莆田校级模拟）一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图

25、是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为（）AB9C4D【分析】由题意，确定三棱锥的形状，设三棱锥外接球的半径为 r，则 r2=（1r）2+（）2，求出 r，即可求出三棱锥外接球的表面积【解答】解：由题意，三棱锥的一个侧面垂直于底面，底面是等腰直角三角形，顶点在底面中的射影是底面斜边的中点，设三棱锥外接球的半径为 r，则 r2=（1r）2+（）2，r=，三棱锥外接球的表面积为 4=，故选：A【点评】本题考查球和几何体之间的关系，本题解题的关键是确定三棱锥外接球的半径，从而得到外接球的表面积17 （2015 秋合肥校级期末）已知如图所示的三棱锥 DABC 的四个顶点均在球 O 的球面上，A

26、BC 和DBC 所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球 O 的表面积为（）A4B12 C16 D36【分析】证明 ACAB，可得ABC 的外接圆的半径为，利用ABC 和DBC 所在平面相互垂直， 球心在 BC 边的高上， 设球心到平面 ABC 的距离为 h， 则 h2+3=R2= （h）2，求出球的半径，即可求出球 O 的表面积【解答】解：AB=3，AC=，BC=2，AB2+AC2=BC2，ACAB，ABC 的外接圆的半径为，ABC 和DBC 所在平面相互垂直，球心在 BC 边的高上，设球心到平面 ABC 的距离为 h，则 h2+3=R2=（h）2，h=1，R=2，球

27、O 的表面积为 4R2=16故选：C【点评】本题考查球 O 的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键18 （2014吉林二模）一个空间四边形 ABCD 的四条边及对角线 AC 的长均为，二面角DACB 的余弦值为，则下列论断正确的是（）A空间四边形 ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为 3B空间四边形 ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为 4C空间四边形 ABCD 的四个顶点在同一球上且此球的表面积为D不存在这样的球使得空间四边形 ABCD 的四个顶点在此球面上【分析】由题意，求出 BD 的长，然后判断空间四边形 ABCD 的四个顶点是否在同一球面上，求出球的表

28、面积即可【解答】解：如图 AC=AB=AD=BC=CD=，cosDEB=，E 为 AC 的中点，EB=ED=，所以 BD2=2BE22BE2BD=ABCD 的几何体为正四面体，有外接球，球的半径为：球的表面积为：3故选 A【点评】本题是基础题，考查二面角的求法，几何体的外接球的判断，以及外接球的表面积的求法，考查逻辑推理能力，计算能力，是好题19（2012洛阳模拟） 已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， SA=2， AB=1，AC=2，BAC=60，SA面 ABC，则球 O 的表面积为（）A4B12 C16 D64【分析】 由三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，

29、 SA平面 ABC， AB=1，AC=2， BAC=60， 知 BC=， ABC=90 故ABC 截球 O 所得的圆 O的半径 r=1，由此能求出球 O 的半径，从而能求出球 O 的表面积【解答】解：如图，三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SA平面 ABC，AB=1，AC=2，BAC=60，BC=，ABC=90ABC 截球 O 所得的圆 O的半径 r=1，球 O 的半径 R=2，球 O 的表面积 S=4R2=16故选 C【点评】本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，数形结合求出球半径，是解题时要关键20（2003天津） 棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上， 则此球的表面

30、积为 （）A3B4C3D6【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，可求出内接该四面体的正方体棱长为 1，又因为正方体的对角线即为球的直径，即球的半径 R=，代入球的表面积公式，S球=4R2，即可得到答案【解答】解：借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的体对角线就是球的直径则球的半径 R=，球的表面积为 3，故答案选 A【点评】棱长为 a 的正方体，内接正四面体的棱长为a，外接球直径等于长方体的对角线长a二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题）21 （2013新课标）已

31、知正四棱锥 OABCD 的体积为，底面边长为，则以 O 为球心，OA 为半径的球的表面积为24【分析】 先直接利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥 OABCD 的高， 再利用直角三角形求出正四棱锥 OABCD 的侧棱长 OA，最后根据球的表面积公式计算即得【解答】解：如图，正四棱锥 OABCD 的体积 V=sh=（）OH=，OH=，在直角三角形 OAH 中，OA=所以表面积为 4r2=24；故答案为：24【点评】本题考查锥体的体积、球的表面积计算，考查学生的运算能力，属基础题22 （2013新课标）已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点，AH：HB=1：2，AB平面，H为垂足，截球 O 所得截面的面积为，则球 O 的表