2020届江苏省南京市六校联合体高三上学期一模联考数学试题(word版)

1、页1第南京市六校联合体2020届高三年级一模联考试卷数学I试题2019.12一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合 A = 1 , 2, 3, 4, B = x|x2 4xv0，则 AAB=_.答案为：1 , 2, 3.22已知复数z 2i,则复数z的共轭复数为1 i答案为：1 i3.某校有教师 300 人，男学生 1500 人，女学生 1200 人，现用分层抽样的办法从全校师生中抽取200 人进行某项调查，则应抽取的女学生人数为 _ .答案为：80.4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 S 为 .Wh

2、ileS2S+1End WhilePrint S（弟4瞇）答案：模拟演示：答案为：15.5甲、乙两人依次从标有数字1, 2, 3 的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字 3的卡片的概率为_.答案为：1.32 26 若抛物线y310 x的焦点到双曲线 笃L 1的一条渐近线的距离是2，则该双曲线的离心率为a 16答案为：53页2第7.已知 f (x)是定义在 R 上的奇函数，且当寸 f (x) =/x+ a, a 为实数，则 f ( 4)的值是_ .答案为：2.&已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn前n项和为Tn,若S918,S1352，且bsas,b7a7，则

3、-的值为_.T2答案为：39已知f(x) sin(2x -)，若y f (x )(0-)是偶函数，则 _ .32答案为：乞.1210. 已知矩形 ABCD 中 AB= 4, BC = 3，若沿对角线 AC 折叠，使得平面 DAC 丄平面 BAC,则三棱锥 D ABC 的体积是 _ .答案为24.511._已知实数 x, y 满足条件 xy+ 1 = 4x+ y 且 x 1，则(x+ 1)(y+ 2)的最小值是 _ .答案为：27.12.若直线丨：ax y 4a 0上存在相距为 2 的两个动点 A, B,圆O : x2y21上存在点C,使得ABC为等腰直角三角形(C为直角顶点)，则实数a的取值范

4、围为2 213.如图，在平面直角坐标系 xOy 中,已知点A( 1,0)，点 P 是圆O：x y4上的任意一点，过点B(1,0)作直线 BT 垂直于 AP,垂足为 T,贝 U 2PA+3PT 的最小值是h V*p1f22222解：由中线长公式可得PO . 2( PA PB ) AB,贝y PA PB =102答案为:33T，T页3第cosPPB，则cosP2 PA PBPA PB页4第在Rt PBT中，PT PBcosP，即PTPA所以2 PA 3PT2PA92 .186. 2(当且仅当PAPA3 2时取等)214.已知函数g(x)2x2bx, h(x)mx x 4，若不等式g(x) b 10

5、(x R)恒成立，h(x) 4为奇函数，函数f(x)g(x),x t恰有两个零点，则实数h(x),x tt的取值范围为解：若不等式g(x) b1, 0(xR)恒成立,即 x2bxb 10 恒成立，则厶b24(b1), 0, 解得：b 2,故g(x)2x 2x,若 h(x) 4为奇函数，22则 mx x 4 4 mx x 4 4，解得：m 0, 故 h(x) x 4 ,结合图象：t 2 , 0)U【4 ,),故答案为：2 , 0)U【4 ,) 、解答题(本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写画出函数 g(x) , h(x)的图象，如图所示：页5

6、第在答题纸的指定区域内）15.（本小题满分 14 分）2已知a,b,c分别为ABC三个内角 A , B, C 的对边，且tanA -.4（1）若a6,b5（2）若sin A B解得c31tan A tan(A B) 4311 tan A tan(A B)13 134 316.（本小题满分 14 分）如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AC 丄 BC, A1B 与 AB1交于点 D , AQ 与 AC1交于点 E.求证:(1)DE /平面 B1BCC1；2，求边c的长;1010，解:(1)在ABC中，,3由tan A -可知A (0,-42sin A33sin A由cos A4解得5sin

7、 Acos2A 1cos A45o46c16i52c14 - 5c222c226- 5得(2)由（0三） 且B(0,),2)，又sin A B(0,)，则cos所以cos A B1 sin2(A B)3 .1010所以tan A Bsin(A B) 1cos(A B) 3所以tan B tan A A B由余弦定理得a2b2c22bccosA,求tan B的值.10页6第(2)平面 A1BC 丄平面 A1ACC1.x直线 AN 与直线 BM 的斜率之积是定值.证明：(1)直三棱柱 ABC AIBICI中，A / /BB1,所以四边形ABB1A1是平行四边形，且ABI ABiDE,所以D为A,B

8、中点，同理E为AC中点，所以DE/BC，又因为DE平面B1BCC1，BC平面B1BCC1，所以DE/B1BCC1.(2)直三棱柱 ABC A1B1C1中，C1C平面ABC,因为BC平面ABC，所以C1C BC,因为AC BC,AC I C1C C,AC、C1C平面A1ACC1,所以BC平面AACG,又因为BC平面ABC,所以平面A BC平面AACG.17.(本小题满分 14 分)2 2如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 C : +1( a b 0)的左、右顶点分别为A,B.已a b3 _知AB 4，且点(e,.5)在椭圆上，其中e是椭圆的离心率.4(1)求椭圆 C 的方程;(2)设 P 是椭

9、圆 C 上异于 A、B 的点，与 x 轴垂直的直线l分别交直线AP, BP 于点 M, N,求证:5第页8第解：(1)因为AB 4，所以2a 4，即a 2,又b2c2a24, 联立方程组，解得b2=3,2 2故椭圆方程为+1.43(2)设 P 点坐标为(s,t), M ,N 的横坐标均为m( m 2),则直线 AP 的方程为y1 (x 2),s 2故M (m,(m 2),s 2故直线 BM 的斜率k1t(m 2)(s 2)(m 2)t(m 2)t(m-2)= t2又点(e,3,5)在椭圆上，故4e2+45 a2+T6b2同理可得直线 AN 的斜率k2t(m-2)(s 2)(m+2)故k1k2页

10、9第(s 2)(m 2)(s 2)(m+2) = s24又因为 P 点在椭圆上，故有2 .2s t+431，即t2323(s4),因此有故直线 AN 与直线 BM 的斜率之积是定值.18.(本小题满分 16 分)如图，甲、乙两观察哨所位于海岸线l (一条南北方向的直线)上的点 A、B 处，两观察哨所相距 32 nmile ,在海岸线东侧有一半径为6 n mile 圆形暗礁区，该暗礁区中心点 C 位于乙观察哨所北偏东53的方向上，与甲观察哨所相距2.193n mile，暗礁中心与乙观察哨所的距离大于2.193n mile;(1)求暗礁中心点 C 到海岸线 I 的距离;(2 )某时刻，甲观察哨所发

11、现在其正南方向且位于的点 D 处有一走私船正欲逃窜，甲观察哨所立即派缉 击已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的暗礁中心正西方向y私艇进行追C一丿 (1)倍.假北东7 第设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行问：无论走私船沿何方向逃窜，要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功，求的取值范围.解：（1）在三角形 ABC 中，由余弦定理可得 AC3 4AB2BC22AB BC cos ABC，即（2 197）2322BC22 32 BC5 6，整理得 5BC2192BC 1260 0,542解得BC 30或 BC42（舍去），5过点 C 作 CD 垂直于 I，垂足为 D

12、，在直角三角形 CDB 中，CD=BCsin ABC 30 -24，5故暗礁中心点 C 到海岸线 I 的距离为24n mile （2）由（1）可知AD 14,BD 18,以点 C 为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则 A （24,14）, D （24, 0）,暗礁区域边界所在的圆的方程为x2y236,假设缉私艇在点 T （x,y）处拦截成功，则 丛 ,DT则点T满足方程（x=24）（y 14）,J（x 24）2y2化简得（x 24）2（y 壬；）2（占）21 1要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功，只需要圆（x 24）2（y-4）2（TT）2与圆x2y236外

13、离，1 1故（0 24）2（02141）2（单） 6,446整理得 135421840,解得-或一（舍去）.545答：（1）暗礁中心点 C 到海岸线 I 的距离是24n mile ;6（2）当-时，就能保证无论走私船沿何方向逃窜，缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的3海域内拦截成功.页212，页11第19.(本小题满分 16 分)x已知函数f(x) x33x22x,g(x) tx,t R,(x).x(1)求函数y f(x) (x)的单调增区间；(2)令h(x) f (x) g (x)，且函数h(x)有三个彼此不相等的零点0, m,n,其中11若mn，求函数h(x)在x m处的切线方程；

14、22若对x m,n，h(x) 16 t恒成立，求实数t的取值范围.解：(1)y f (x)(x) (x23x 2)ex,所以y(x2x 1)ex,115令y 0得到x或x2所以y f(x) (x)的单调增区间是( 丄5),(!5,).2 2(2)由方程h(x) 0得m,n是方程x23x (2 t) 0的两实根,1故m n 3,mn 2 t,且由判别式得t -,41若m n，得m 1,n2，故mn 2 t 2，得t 0,2因此h(1)1, 故函数h(x)在x 1处的切线方程为y x 1.若对任意的x m, n，都有h(x) 16 t成立，所以h(x)max16 t,3因为m n 3,m n，所以

15、0 mn或m 0 n2，t3当0 mn时，对x m, n有h(x)max0,2所以016 t,解得t 16,1又因为mn 2 t 0,得t 2，则有一t 2；4当m 0 n时，h(x) 3x26x (2 t),页12第一 _2则存在h(x)的极大值点x1(m,0)，且t 3xi6x12,由题意得h(为)为33为7(2 t)x,16 t,232将t 3为6为2代入得Xi3xi3xi7 0,进而得到(Xi1)38，得1 x10,2又因为t 3x16x12，得2 t 11,1综上可知t的取值范围是t 2或2 t 11.420.(本小题满分 16 分)513等差数列an公差大于零，且 a2+ a3=勺

16、a?2+ a32=才，记a.的前 n 项和为 Sn,等比数列bn各项均 为正数，公比为 q，记bn的前 n 项和为 Tn.(1 )求 Sn；(2)若 q 为正整数，且存在正整数 k,使得 Tk, T3k S2, S5, S6，求数列bn的通项公式;(3 )若将 Sn中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列cn,求cn的一个通项公式.解：(1)设an公差为 d, d 0,因为 a2+ a3=8, a22+ a32=乎,7 S2, S5, S6 = |,字,21T3k当 q = 1 时，Tk= kb1, T3k= 3kb1,云=3,舍去;8所以 a1+ d + a1+ 2d=5,212，页13第13+ d)2+ 2d)2盲，因为 q N*且 qMl ,所以 q2因此 1 + qk+ q2k= 7,解得 qk= 2 或一 3 (舍去)，于是n(n 1) 12 为n2+ n4Tk=b1(1 - qk)1 q,T3k=b1(1-q3k)1 q,所以T3kTk1 + qk+ q2k,因此T3kTk12+4=7,于是Tk= 3,T3k=页14第k从而 q =2,k= J 代入Tk=得b1=- 所以 bn= 3X2n2(3)因为 Sn=为整数项，所以 n = 4k 或者 4k 1，k N