2020年山东师大附中第五次学分认定考试数学试题(解析版)

1、第1 1页共 1919 页2020 年山东师大附中第五次学分认定考试数学试题、单选题【详解】故选：C C【点睛】【答案】故选：D D【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前n n 项和公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. .1 1 .命题P：XoR, X0X010，则命题 p p 的否定是A A .X0R, x2X010B B.X R,X2【答R,X X2D D.X R, X2【解根据命即要转化量词,也要否定结论来判断因为p :X0R,2X。X。所以 p p 的否定是R,本题主要考查了命题的否定,还考查了理解辨析的能力，属于基础题2 2.已知数列an为等差数列，a3a56，则其前 7 7

2、项的和是A A . 3636B B. 3030C C. 2222D D . 2121【解根据数列an为等差数列,且33356，利用等差数列的性质及前 n n 项和公式由S7a7a5求解 【详因为数列an为等差数列,a3a5a3a5221. .第2 2页共 1919 页223 3.椭圆kX 2y 2的一个焦点是(1,0)，那么 k k ()第3 3页共 1919 页A A .、.5【答案】C C【解析】先将椭圆方程kx22y22，化为椭圆标准方程，再根据出 k k 值. .【详解】故选：C.C.【点睛】4 4 .已知2x y 4（x0, y 0），则xy的最大值是（）A A . 5 5B B.

3、4 4C C. 3 3D D . 2 2【答案】D D【解析】 利用均值不等式即可解，注意何时取等号 【详解】由题意得：2x y 42 2xy，解得xy 2. .当2x y，即x 1,y2时不等式取等号. . xyxy 的最大值为 2.2.故选：D.D.【点睛】考查均值不等式的应用. .a b 2.ab （a,b R ）, ,当a b时区取等号 运用均值不等式要注意a,b均为正数B B -1-1c2a2b2即可解x2由kx22y22，得2k2y_1，则有-1k1,k1. .考查椭圆的标准方程以及焦点公式 椭圆标准方2yb21（b 0）焦点,F1（c,0）, F2（c,0），则b2. .题目较为

4、第4 4页共 1919 页5 5 .数列（1）nn的前 20192019 项的和是（ ）【答案】B B【解析】根据数列（1）nn是摆动数列的特点，禾U用并项求和的方法求和A A . -2019-2019B B . -1010-1010C C. 10101010D D. 201920191第5 5页共 1919 页【详解】 因为数列（1）nn所以S2019123 45 62017 20182019S20191009 120191010故选：B B【点睛】本题主要考查了摆动数列的求和，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题 2x6 6已知 RERE 分别是椭圆笃a使F1PF290，则椭

5、圆的离心率 e e 的取值范围为【答案】B Bb21（a b 0）的左、右焦点，若椭圆上存在点B B.今C C -(0,【解析】由椭圆上存在点使F1PF290o可得以原点为圆心,c c 为半径的圆与椭圆有公共点,b22c_2a即椭圆离心率e e 的取,1。选 B B。2点睛：求椭圆离心率或其范围的方法2(1)(1)求出 a a, b b, c c 的值，由e2-c2a2.2ab2a列出含有 a a, b b, c c 的方程（或不等式），借助于b2a2c2消去b b，然后转化成关于 e e1第6 6页共 1919 页的方程（或不等式）求解.3第7 7页共 1919 页7 7 已知数列an为等比

6、数列，Sn是它的前 n n 项和，若32332a“，且34与2a7的等5差中项为一，则Ss()4A A 1515B B. 1616C C 2525D D 3131【答案】D D5【解析】先设等比数列an的公比为 q q，再由a2a32a1和a4与2a?的等差中项为一，41联立求得a116, q，再代入等比数列前 n n 项和公式求解. .2【详解】设等比数列an的公比为 q q,因为a2a32a1所以a12q32a15又因为a4与2a?的等差中项为一，41由得a116, q 2故选：D D【点睛】本题主要考查等比数列通项公式及前n n 项和公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. .2 22

7、a2a7 73q q耳1S5a11 q51 q5116 1 -2313第8 8页共 1919 页8 8.已知双曲线X2匚a23B B.2*6C C.3.3D D. 2 21(a3)的两条渐近线的夹角为， 则第9 9页共 1919 页2y1（a、3）的两条渐近线的夹角为 ，得到339 9 .在等比数列an中，an0,aia?L的值为（）A A . 3 3B B. 6 6C C. 9 9D D . 2727【答案】A A111【解析】 由a1a2aa881可求得a4a5的值，再将化为a1a2a8【详解】4a1a2a.a881，得（a-a5）81, a4a53. .【答案】A Atan 6再利用e

8、1b求解. .【详解】因为双曲线1（a3）的两条渐近线的夹角为 -所以tan 6故选：A A【点睛】2；33本题主要考查了双曲线的性质, 还考查了运算求解的能力，属于基础题【解2由双曲线2a比9,aia2La8a1a7a2a6a3a2a7a5a4-的形式,a4a5又由等比数列a8a1a7a2a6a31 1a5a-，则I 1的值可求. .38a8a1a1a8a7a2a2a7a6a3a3a6a5a-a-a5又Ta8a1a7a2a6a38584, 式aa：a8a-a59a-a5第 6 6 页共 1919页m n p q m,n,p,q N，则amanapaq. .1010 已知FF2是椭圆与双曲线的

9、公共焦点，P P 是它们的一个公共点，且| | PF2PF2 | PF1PF13 e?I I，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为e，| PF11 | F1F21，则一的最小值为q 3（ ）A A 4 4B B. 6 6C C 4+2、2D D 8 8【答案】D D【解析】由题意可得|卩片| |RF2| 2c，再设椭圆和双曲线得方程，再利用椭圆和双曲线的定义和离心率可得-号的表达式，化简后再用均值不等式即可求解【详解】3时等号成立. .99a4853故选：A.A.【点睛】考查等比数列的性质，若e1由题意得：|卩|设椭圆方程为2x2a12yb21佝b0),x2双曲线方程为2a22b1(a20,b20

10、),又-1 PF1| |PF2|2an|P|PF1| 2a2. . |PF2|+2C2ai,| PF2| 2c2 a2, a1a22C,3 e2C/33a23a19a1a2C2C3ca23a23a2CC3a2，3则ei7 7 的最小值为8. .68，当且仅当第1111页共 1919 页故答案为：8.8.【点睛】3e?考查椭圆和双曲的定义，焦半径公式以及离心率，其中将2化为31z9a?c19a?c(18)(2i- 18)8为解题关键，注意取等号3 ca23 c a2、多选题1111.下列叙述中不正确的是()B B .若a, b,c R，则 “ab2cb2”的充要条件是“a c2C C .“a 1

11、”是方程x x a 0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件1D D . “a 1”是1”的充分不必要条件a【答案】ABAB【解析】ax2bx c 0”成立，要分a 0和a 0两种情况. .B.B. 利用特殊值b 0验证 C.C. 先解当 方程x2x a 0有一个正根和一个负根”时 a a 0 0 ”，再用集合法判断 1D.D. 先解“1”的解是“a 1或 a a 0 0 ”，再用集合法判断. .a【详解】A.A. 当a 0时，不正确. .B.B. 当b 0时，a c推不出ab2cb2不正确. .c.c.当方程x2x a 0有一个正根和一个负根”时a a 0 0 ”， a a 0 0 ”推出a

12、 1”成 立，反之不成立，所以正确 1D.D.a 1”是“一1 ”的解是a 1或 a a 0 0 ”，所以正确. .a故选：ABAB【点睛】本题主要考查了逻辑条件，还考查了理解辨析的能力，属于中档题A A .若a, b,c R,则“ax2bx c 0”的充要条件是b24ac 0第1212页共 1919 页1212 .已知F1,F2分别是双曲线C:x2y21的左右焦点，点P是双曲线上异于双曲线顶uuv uuuu点的一点，且向量PF|PF20，则下列结论正确的是()A A 双曲线C的渐近线方程为y XB B 以F1F2为直径的圆的方程为x2y21C C Fl到双曲线的一条渐近线的距离为1 1 D

13、D PFiF2的面积为 1 1【答案】ACDACD【解析】 求出双曲线 C C 渐近线方程，焦点FF2,PF1F2的面积即可判断. .【详解】A.A. 代入双曲线渐近线方程得y X, ,正确. .B.B. 由题意得F1 1C C，2,0), F2( .2,0)，则以F1F2为直径的圆的方程2 2不是X y 1，错误. .c.c.RC，2,0)，渐近线方程为yx，距离为 1 1,正确. .D.D.由题意得(.2,0), F2(、2,0)，设P(xo,yo)，根uuruLL62据PF1PF20，解得xo6,y02，则2 2PF1F2的面积为 1 1. .正确. .故选：ACD.ACD.【点睛】考查

14、双曲线的渐近线方程，焦点，以及双曲线上的几何性质. .题目涉及知识点较为广泛1313.设等比数列an的公比为q,其前n项和为Sn，前n项积为人，并且满足条件a11,玄6玄71, 1 0，则下列结论正确的是()371A A.0 q 1B B.aea81C C .Sn的最大值为S7D D .Tn的最大值为T6【答案】ADAD第1313页共 1919 页【解析】分类讨论a6,a7大于 1 1 的情况，得出符合题意的一项. .【详解】第1414页共 1919 页a61,a71, ,与题设a70矛盾 1a61,a71,符合题意a61a61,a71,与题设0矛盾 a71a61,a71,与题设印1矛盾 得a

15、61,a71,0 q 1，则Tn的最大值为B B, C C,错误. .故选：AD.AD.【点睛】n 1考查等比数列的性质及概念 补充：等比数列的通项公式：anaq nN三、填空题1414.函数 f(x)f(x) (ax(ax 1)(x1)(x b)b)，若不等式f(x) 0的解集为-1,2，那么a b _【答案】3【解析】先讨论当a 0时，不等式f (x)0的解集，再讨论当a 0时，分类讨论当111b，b，b时，不等式的解集，再讨论当 a a0时，不等式f(x)0的aaa解集 再综合得出 a a 和 b b 的值即可解 【详解】第1515页共 1919 页当a 0时，f (x) x b，/f

16、(x)1当a 0时，f (x) a(x )(x b)，a1二(x )(x b) 0, ,分类讨论如下：a1(i i)当一b时，不等式的解集为：a1(ii)当b时，不等式的解集为：a1(iii)当一b时，不等式的解集为：a当 a a 0 0 时，f(x) a(x)(x b)，a0， x b 0，x b，不符合题意1则由f (x)0，得a(x )(x b) 0，a1(,b)(,)，不合题意 a 1、1、(,)(,)，不合题意 a a1()( b,)，不合题意 a1第1616页共 1919 页本题主要考查了等差数的前n n 项和及等差中项，还考查了运算求解的能力,属于基础题. .1616 .设甘2分

17、别是椭圆x2162=1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段9PhPh 的中点在y轴上，则|PF1|IPF2I【答239【解先设 P P 点，中点，再求焦点F1,F2, ,再根据线段PF1的中点在y轴上，求出 P P点坐标，再利用焦半径公式即可得| PR |,| PF2|的长, ,则皿可解. .IPF2I【答案】-1-1数列，再利用等差中项求解【详解】解得t故答案为：-1-1【点睛】1二(x -)(xab) 0 ,已知解集为-1,2时，不等式为(x1)(x 2) 0,10, -1,b2，即a 1. .aa综上：a3. .故答案为:3. .【点考查已知解集求含参不等式的参数值 运用了分类讨论的思想求解

18、 其中将f(x)f(x) (ax(ax 1)(x1)(xb)b)化为f (x) a(x1-)(x b)形式为解题的突破口，题目较难a1515 .若等差数列an的前 n n 项和Sn(n 1)2t，则实数 t t 的值为【解析】由Sn(n 1)2t，得到q4t,a25,a37，又因为n是等差因为Sn(n 1)2t所以a.4t,a25,a37又因为an是等差数列所以 a.a.a32a22第1717页共 1919 页【详解】设P(Xp, yp)，中点m(0, n). .由题意得F1( 7,0), F2(7,0),a 4,e 7由线段PR的中点在y轴上,49- 9239为(.7,)或(7,)根据焦半径

19、公式可得，|PFi|PF2I4444FPFTi 9. .23故答案为：23. .9【点睛】1717 .两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题， 沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图 中的实心点个数 1 1 , 5 5, 1212, 2222,，被称为五角形数，其中第 1 1 个五角形数记作 第 2 2 个五角形数记作a25，第 3 3 个五角形数记作a312，第 4 4 个五角形数记作3422,，若按此规律继续下去，得数列%，则anan 1 _(n则有o,xp22.7，代入162仝=1中得 P P 点坐标9考查椭圆的焦半径公式,

20、,解题关键要求出 P P 点坐标 他们在2 2311,2）；【答3n 2;丄门（3n21）第1818页共 1919 页对n N,an12a1132533123422? ? ?所以01 =1 32-31=4, 33-32=7,34-33= 10,.,3n-3n-1=3n-2以上 n n 个式子相加，得3n=【解试题分析：因为2第1919页共 1919 页【考点】数列的应用；数列通项公式的求法。点评：做这类题目最重要的就是寻找规律。此题通过寻找前一项与后一项差的规律，进 而求出数列an的通项公式。四、解答题2mx 10对一切实数 x x 恒成立，求实数 m m 的取值范围;2 2【答案】(1 1)

21、0 m 1(2 2)_LL16 81818. (1 1)不等式mx22(2(2)求与双曲线二4 42七1有共同渐近线，且过点P(2,3)的双曲线的标准方程【解析】1 1)因为不等式的类型不定,所以分当m 0时和m0两种情况讨论 当m 0时，用判断式法求解2(2(2)根据有相同渐近线的关系， 设双曲线方程为 0)，再将点P(2,3)代入求解 【详(1)当m 0时,不等式m 0当24m 4m综上0 m 1. .(2(2)设与双曲线2I I 1 1 有共同渐近线的双曲线方程为3 3点P(2,3)代入，得2所以所求方程为匕62x-18【点本题主要考查还考查了运算求解的能力，属2 21919 .设椭圆X

22、 Xy y 771(a b 0)的短轴长为 4 4,a b(1(1)直线y xm与椭圆有公共点时，求实数m m 的取值范围;第2020页共 1919 页(2)设点M(1,2)是直线|被椭圆所截得的线段AB的中点，求直线I的方程 【答案】(1 1)2j5 m2.5; (2 2)x 8y 170【解析】(1 1)由短轴长为 4 4 可求出 b b 的值，再由离心率为 上 3 3，可求出椭圆方程，再将2直线方程y x m代入椭圆方程中，解0即可. .(2 2)先设A(x1, y1), B(x2, y2)，先讨论直线 I I 斜率不存在的情况，再讨论直线 I I 斜率存在，设直线方程为y 2 k(x

23、1)，【详解】(2 2)设A(X1, %), Bg y2)1当斜率不存在时，x 1，弦的中点(1,0)不符合题意，舍去2当斜率存在时，设直线 I I 方程为y 2 k(x 1). .由点M (1,2)是直线I被椭圆所截得的线段AB的中点，则有人X2=2， % % y y24 4. .再联立椭圆方程,两式相减可求出直线I I 得斜率即可解. .(1(1)由题意2，a詐廿所以a2听4, ,即椭圆方程为x2162y- 1, ,4x2162 25x0, ,即m220, 2、5 m 2、,5. .2X116X2162424两式相减得y2 %x2x|18，直线I的方程为y28(x1)，所以直线|的方程为x

24、 8y 170. .第2121页共 1919 页【点睛】2第2222页共 1919 页考查椭圆方程的解析式，利用直线和椭圆的位置关系求参数的取值范围,以及给出定点求相交直线方程的解析式解题(2 2)的关键利用中点M(1,2)，得1yiy222.2020 .设数列an的前n项和为Sn，且满足Sn2a.2(nN ). .(1(1)证明：数列 a an是等比数列，并求它的通项公式；(2(2)设bnn，求数列anbn的前n项和Tn. .【答案】(1 1) 证明见解析，nan2(n N )；(2 2)Tnn 2*22n(nN). .【解析】由S)2an*an(1 1)2(n N )且n 2可推出-等于一

25、个常数，即可证明数1n列an是等比数列，再求出ai的值，即可推出数列an的通项公式. .(2(2) 由( 1 1)可知数列an的通项公式，则可求出数列bn的通项公式，再利用错位相减即可求出数列bn的前门项和Tn. .【详解】Sn 12an 12an2an 1所以数列an是以 2 2 为首项，以 2 2 为公比的等比数列n*an2(n N ). .(2 2)bnnn2123n 1 nTn23Ln1n，222221123n 1nTn-2L222324T 1两式作差得：“丄2 21丄 化简Tn 2弓弓121112212nn2* 1n2“ 112nn2* 1，2第2323页共 1919 页第2424页

26、共 1919 页所以Tnn 2*2牙(nN).【点睛】考查等比数列的定义，通项公式，和利用错位相减法求数列的前n n 项和 其中利用错位相减法求数列的前 n n 项和为难点，需多加练习. .2121.某厂家拟在 20202020 年举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量（即该厂的年产量）m万件与年促销费用kx万兀，满足m 3（k为常数），如果不搞促销活x 1动，则该产品的年销售量只能是1 1 万件，已知 20202020 年生产该产品的固定投入为8 8 万元,每生产 1 1 万件，该产品需要再投入1616 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.51.5 倍（产品成本包

27、括固定投入和再投入两部分资金）（1 1）将 20202020 年该产品的利润y（万元）表示为年促销费用x（万元）的函数;（2 2）该厂家 20202020 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【答案】（1 1）yx 28（x 0）; （2 2）厂家 20202020 年的促销费用投入 3 3 万元时, ,x 1厂家的利润最大，为 2121 万元. .【解析】（1 1）由不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1 1 万件，可求 k k 的值，再求出每件产品销售价格的代数式，则利润y（万元）表示为年促销费用x（万元）的函数可求 【详解】【点睛】（2 2）由（1 1）得y16x 1x 28，

28、再根据均值不等式可解 注意取等号（1 1）由题意知，当 X X0时, ,m1,所以13 k,k 2, m每件产品的销售价格为1.5所以 20202020 年的利润y1.5x51816mm816mm 8 16m x m匹x 28(x 0);x 1（2 2）由（1 1）知, ,y16x 128咒（x 1）2921, ,当且仅当16x 1(x 1), ,即X3时取等号该厂家 20202020 年的促销费用投入3 3 万元时，厂家的利润最大，为 2121 万元. .第2525页共 1919 页考查均值不等式的应用以及给定值求函数的参数及解析式 题目较易，考查的均值不等第2626页共 1919 页222

29、22 设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足4Sna. 14n 1,n N且a2,a5,ai4构成等比数列. .（1 1）证明：a2. 4a15；（2 2）求数列an的通项公式；8n,（3 3） 设bn22，数列bn的前n项和Tn，若Tn2a 1恒成立，求实数a的取anan 1值范围. .【答案】（1 1）证明见解析；（2 2）an2n 1（n N*）；（3 3）a 1. .22【解析】（1 1）令n 1，则由4Snan 14n 1可推出4aa?5，则可推出a?、 4q 5. .22（2 2）由4Snan 14n 1，可得4Sn 1an4（n 1） 1，联立可得an 1a：4an4 （

30、a.2）2，再根据a：, a5,ag构成等比数列，可推出可数列a.的通项公式. .【详解】2a23, ,由4a1a：5, ,所以a 1a：42, ,式，要注意取等号（3 3）先求出数列bn的通项公式，再用列项相消法即可求出数列bn的前n项和Tn. .(1(1)当 n n4&15a；4ai5a22 2an 1an4an又各项为正，所以4n 1a；4(n 1)24 (an2)an 1anan 1an因为a2,a5,a14构成等比数列， 所以a5玄24anan 1(a26)2a；4a2(a224)，第2727页共 1919 页an2n 1(n N )；所以数列an是 c1为首项，2 2 为公差的等差数列第2828页共 1919 页bn8n8n112 2anan 1(2n 1)2(2 n1)2(2n1)2(2n 1)2Tn1111111432325252(2n1)212,(2n 1)2QTn1(n*N )2a 1 1,a1. .【点睛】考查利用等差数列的通项公式，对数列前n n 项和Sn的理解，利用裂项相消法求数列的M Xo,yo在椭圆 C C 上，则点N壮称