齿轮减速器地优化设计

1、齿轮减速器的优化设计航空大学 机械工程专业 苑晓帅齿轮传动是现代机械中应用最广的一种传动形式。它的主要优点是： 瞬时传动比恒定、工作平稳、传动准确可靠可传递空间任意两轴之间的运动 和动力； 适用的功率和速度围广； 传动效率高，n ; 工作可靠、使用寿命长； 外轮廓尺寸小、结构紧凑。由齿轮、轴、轴承及箱体组成的齿轮减速器, 用于原动机和工作机或执行机构之间 ,起匹配转速和传递转矩的作用 ,在现代机械中应 用极为广泛。国的减速器多以齿轮传动、蜗杆传动为主，但普遍存在着功率与重量比小， 或者传动比大而机械效率过低的问题。 另外，材料品质和工艺水平上还有许多弱 点，特别是大型的减速器问题更突出，使用寿

2、命不长。国外的减速器，以德国、 丹麦和日本处于领先地位， 特别在材料和制造工艺方面占据优势， 减速器工作可 靠性好，使用寿命长。但其传动形式仍以定轴齿轮传动为主，体积和重量问题， 也未解决好。当今的减速器是向着大功率、 大传动比、 小体积、高机械效率以及使用寿命 长的方向发展。 减速器与电动机的连体结构， 也是大力开拓的形式， 并已生产多 种结构形式和多种功率型号的产品。近十几年来 ,由于近代计算机技术与数控技 术的发展， 使得机械加工精度， 加工效率大大提高， 从而推动了机械传动产品的 多样化，整机配套的模块化，标准化，以及造型设计艺术化，使产品更加精致， 美观化。针对减速器存在的问题， 本

3、课题采用优化设计的方法， 力求使减速器的体积 达到最小，建立数学模型，并通过 matlab 语言编辑后，得到一组优化数据，到 达预期目标，使减速器的体积比传统的经验设计结果减小20%-30%。关键字：减速器1 优化设计1.1 原始数据及优化目标1、原始数据：高速轴输入功率Pi=44kW高速轴转速ni=1440r/min，用电动机驱动，长期工作，载荷有中等冲击，总传动比 i=20 ，高速级和低速级齿轮的齿宽 系数分别为 1 0.4和 1 0.5，高速级和低速级上小齿轮比大齿轮分别宽b01 4mm 和 b02 8mm ，高速级与低速级的齿轮传动误差分别为1 15 和2 12，大齿轮用20Cr渗碳淬

4、火，齿面硬度为59HRC小齿轮用20CrMnTi渗 碳淬火，齿面硬度为59HRC材料密度为7.8 103kg/m3。2、优化目标：设计二级斜齿圆柱齿轮减速器，要求在满足强度、刚度和寿命等 条件下，使体积小。1.2 优化方案的选择优化方法可以选用多目标优化方法，也可以采用单目标优化方法 , 多目标优 化方法的特点是， 在约束条件下， 各个目标函数不是被同等的采用， 而是按不同 的优先层次先后的进行优化。 由于这类问题要同时考虑多个指标， 而且有时会碰 到多个定性指标， 且有时难于判断说哪个决策好。 这就造成多目标函数优化问题 的特殊性。 多目标优化设计问题要求各分量目标都达到最优， 如能获得这样

5、的结 果，当然是十分理想的。 但是一般比较困难， 尤其是各个目标的优化互相矛盾时 更是如此， 例如本课题的体积小和转动惯量大的要求互相矛盾。 所以解决多目标 优化设计问题也是一个复杂的问题， 比起单目标优化设计问题来， 在理论上和计 算方法上都还不够完善， 也不够系统， 多目标优化问题与单目标优化问题还有一 个本质的不同点： 多目标优化是一个向量函数的优化， 即函数值大小的比较， 而 向量函数值大小的比较， 要比标量值大小的比较复杂。 在单目标优化问题中， 任 何两个解都可以比较其优劣， 因此是完全有序的。 可是对于多目标优化问题， 任 何两个解不一定都可以比出其优劣， 因此只能是半有序的。

6、单目标优化方法可以 选择设计目标中的最重要因素作为优化目标而达到最优 , 基于此，本课题采用单 目标优化方法。按照优化目标要求， 取体积最小作为最终优化目标， 它可以归结为使减速器 的总中心矩 a 为最小。1.3 数学模型的建立1 变量的选取一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示 . 这些基本参数可以是构件 长度, 截面尺寸 , 某些点的坐标值等几何量 , 也可以是重量 ,惯性矩力等物理量 ,还 可以是应力 , 变形, 固有频率 ,效率等代表工作性能的导出量。但是，对一个具体 的优化设计问题， 并不是要求对所有的基本参都用优化方法进行调整。 例如，对 某个机械结构进行优化设计， 一些工艺，

7、 结构布置等方面的参数， 或者某些工作 性能的参数，可以根据已有的经验预先取为定值。这样，对这个设计方案来说， 它们就成为设计常数。 而除此之外的基本参数， 则需要在优化设计过程中不断进 行修改，调整，一直处于变化的状态，这些基本参数称为设计变量，又叫做优化 参数。二级斜齿圆柱齿轮减速器由两对斜齿圆柱齿轮传动共四个齿轮组成，它们的 齿数分别为Z1,Z2,Z3,Z4.相应的齿数比分别为i1乙/乙,和i2乙/乙,两组传动 齿轮的法向模数分别设为Mn1和Mn2 ;齿轮的螺旋叫角为。这里 乙,Z2,Z3,Z4,ii,i2,Mni,Mn2,和 都是设计参数，但由于设计时已给定总传动比i , 且有il i

8、2所以i2 儿从而四个齿轮的齿数只要能确定两个即可，定两个小齿 轮的齿数 Z1 和 Z3 位设计变量，因此这个优化设计问题的独立设计变量 为:Z1, Z3, M n1 , M n2, i1,和六个。2目标函数在所有的可行设计中， 有些设计比另一些要 “好些”，如果确实是这样， 则“较好”的设计比“较差”的设计必定具备某些更好的性质。倘若这种性质可以表示 为设计变量的一个可计算函数， 则我们可以考虑优化这个函数， 以得到更好的设 计。这个用来使设计得以优化的函数称作目标函数。 用它可以评价设计方案的好坏，所以它又被称作评价函数，计作f(x),用以强调它对设计变量的依赖性。上面提到，本课题的优化目

9、标选为体积最小，并归结为使减速器的总中心距 a最小，写成(1-1)Mn j 乙(1 ij Mn 2Z2(1 i2)2cos3约束函数设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些是工程上所不能接受 的。如果一个设计满足所有对它提出的要求， 就称为可行设计，反之则称为不可 行设计。一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称为约束条件。 在工程问题中，根据约束的性质可以把它们区分成性能约束和侧面约束两大类， 针对性能要求而提出的限制条件称作性能约束， 不针对性能要求，只是对设计变 量的取值围加以限制的约束称作侧面约束，也称作边界约束。本课题保证总中心距 a为最小时应满足的条件是本优化设

10、计问题的约束条 件,性能约束有：齿面的接触强度和齿根的弯曲强度以及中间轴上的大齿轮不与 低速轴发生干涉。(1)齿面接触强度计算给出223.(1-2)hmn1 Z1 i13小6COS 06.845 10 K1T1223.hmn2 Z3 i26.845 106K2T23小cos0(1-3)式中h -需用接触应力;Ti 高速轴的转矩;T2 中间轴的转矩;Ki,K2载荷系数；-尺宽系数。(2)齿根弯曲强度计算给出高速级小大齿轮的齿根弯曲强度条件为32Yi(1+ii) mni Zi3KiTi2COS0(1-4)232W2 YQ+iJ mni 乙3K1T12COS0(1-5)低速级小大齿轮的齿根弯曲强度条

11、件为W3 策(1+i2)mn23Z/3K2T2cos2(1-6)232w 4Y4(1+i1)mn2 Z3COS3K2T2(1-7)式中w1w2w 3, w 4分别是齿轮 Z1,Z2,Z3,Z4 的许用弯曲应力；丫1,丫2,丫3,匕分别是齿轮乙,Z2Z3 ,Z4的齿形系数3）根据不干涉条件mn2Z3(1i2) 2cos (5mn2) mn1Z1i1 0(1-8)边界约束条件有：（1）不跟切条件14Z1 22(1-9)14Z3 22(1-10)（2）动力传动模数2mn1 6(1-11)2mn2 6(1-12)(3)圆柱齿轮传动比3i6(1-13)4 标准数学模型 将以上物理模型转化为标准数学模型(

12、1) 设计变量 X x1,x2,x3,x4,x5,x6 T mn1,Z1,mn2,Z3,i1, T (1-14)目标函数a minmin f(x) x你2(1 x5) x3珅1 2°/x5) ("5)2cos x6约束函数stgi(x)cos3x6 3.34 10 8x13gx23g(5x52 cos3 x6 8.34 10 7 x33gx430 （高速级齿轮接触强度条件）0 （低速级齿轮接触强度条件）(1-16)(1-17)cos2 x6 3 10 4（1 x5）x13x22 0 （高速级小齿轮弯曲强度条件）（1-18）2432g4(x) cos x6 2.39 10 (

13、1 x5)x1 x22小43.67 10“2032g5(x)cos x6(1)x3 x4x5x52小42.9 10“20 3 2g6(x)cos x6(1)x3 x4x5x50 （高速级大齿轮弯曲强度条件（1-19）0 （低速级小齿轮弯曲强度条件）（1-20）0 （低速级大齿轮弯曲强度条件）(1-21)(1-22)20x1x2x5 2cosx6(5 x3) x3x4(1)0 (大齿轮与轴不干涉条件)x52x10（高速级齿轮副模数的下限）(1-23)x160（高速级齿轮副模数的上限）(1-24)2x30（低速级齿轮副模数的下限）(1-25)x360（低速级齿轮副模数的上限）(1-26)14x20

14、 （高速级小齿轮齿数的下限）(1-27)x222 0 （高速级小齿轮齿数的上限）(1-28)14x4 0（低速级小齿轮齿数的下限）(1-29)x422 0 （低速级小齿轮齿数的上限）(1-30)3x5 0 （高速级传动比的下限）(1-31)x56 0 （高速级传动比的上限）(1-32)8x6 0 （齿轮副螺旋角的下限）(1-33)20x6 0 （齿轮副螺旋角的上限）(1-34)1.4 算法的选取与建立由目标函数和约束函数的形式知选择外点惩罚函数进行计算较为合理。惩 罚函数法是一种使用很广泛， 很有效的间接算法。 它的基本原理是将约束优化问 题中的不等式和等式约束函数经过加权转化后， 和原目标函

15、数结合成新的目标函 数 - 惩罚函数，求解该新目标函数的无约束极小值，以期得到原问题的约束最 优解。为此，按一定的法则改变加权因子的值，构成一系列的无约束优化问题， 求得一系列的无约束最优解， 并不断地逼近原约束优化问题的最优解。 外点惩罚 函数法简称外点法， 新目标函数定义在可行域之外， 序列迭代点从可行域之外逐 渐逼近约束边界上的最优点。 外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问 题。算法方框图如图 1：图11.5 matlab语言程序编辑1 Matlab 简介在科学研究和工程应用中，往往要进行大量的数学计算，其中包括矩阵运 算。这些运算一般来说难以用手工精确和快捷地进行， 而要借助计

16、算机编制相应 的程序做近似计算。美国 Mathwork公司于1967年推出了“ Matrix Laboratory ” (缩写为 Matlab )软件包，并不断更新和扩充。目前最新的 5.x 版本( windows 环境)是一种功能强、 效率高便于进行科学和工程计算的交互式软件包。 其中包 括：一般数值分析、矩阵运算、数字信号处理、建模和系统控制和优化等应用程 序，并集应用程序和图形于一便于使用的集成环境中。在此环境下所解问题的 Matlab 语言表述形式和其数学表达形式相同，不需要按传统的方法编程。不过， Matlab 作为一种新的计算机语言，要想运用自如，充分发挥它的威力，也需先 系统地学

17、习它。但由于使用 Matlab 编程运算与人进行科学计算的思路和表达方 式完全一致，所以不象学习其它高级语言-如Basic、Fortran和C等那样难于 掌握。实践证明，你可在几十分钟的时间学会 Matlab 的基础知识，在短短几个 小时的使用中就能初步掌握它 . 从而使你能够进行高效率和富有创造性的计算。 Matlab 大大降低了对使用者的数学基础和计算机语言知识的要求，而且编程效 率和计算效率极高， 还可在计算机上直接输出结果和精美的图形拷贝， 所以它的 确为一高效的科研助手。自推出后即风行美国，流传世界。综上所述， Matlab 语言有如下特点：1编程效率高 2 用户使用方便 3扩 充能

18、力强 4语句简单，涵丰富 5 高效方便的矩阵和数组运算 6 方便的绘图 功能2 matlab 编程本课题调用函数为多维约束优化命令 fmincon, 及子函数目标函数 jsqyh_f 和 非线性约束函数 jsqyh_g.fmincon 函数的基本形式为x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon， options)其中 fun 为你要求最小值的函数，可以单写一个文件设置函数。(1).如果fun中有N个变量，如x y乙 或者是X1, X2,X3,什么的，自己排 顺序，在 fun 中统一都是用 x(1),x(2 ) x(n) 表示的。( 2) . x0,

19、 表示初始的猜测值，大小要与变量数目相同(3) . A b 为线性不等约束， A*x <= b ， A 应为 n*n 阶矩阵，学过线性代数应 不难写出 A 和 b(4) Aeq beq 为线性相等约束， Aeq*x = beq 。 Aeq beq 同上可求(5) lb ub 为变量的上下边界， 正负无穷用 -Inf 和 Inf 表示， lb ub 应为 N 阶数组(6) nonlcon 为非线性约束，可分为两部分，非线性不等约束 c ，非线性相等 约束 ceq 。程序如下编制优化设计的 M 文件( main.m)% 1 减速器中心距优化设计主程序% 设计变量的初始值x0=3;19;5;1

20、9;5;14;% 设计变量的下界与上界lb=2;14;2;14;3;8;ub=6;22;6;22;6;20;% 使用多维约束优化命令 fmincon( 调用目标函数 jsqyh_f 和非线性约束函 数 jsqyh_g)% 不定义线性不等式约束中设计变量的系数矩阵 a= 和常数项向量 b=% 没有等式约束 , 则参数：系数矩阵 Aeq= 和常数项向量 beq=x,fn=fmincon(jsqyh_f,x0,lb,ub,jsqyh_g);disp ' *两级斜齿轮传动中心距优化设计最优解 *'fprintf (1,'高速级齿轮副模数 Mn1 = %3.4f mm n'

21、;,x(1)fprintf (1,'低速级齿轮副模数 Mn2 = %3.4f mm n',x(3)fprintf (1,'高速级小齿轮齿数 z1 = %3.4f n',x(2)fprintf (1,'低速级小齿轮齿数 z3 = %3.4f n',x(4)fprintf (1,' 高速级齿轮副传动比 i1 = %3.4f n',x(5)fprintf (1,' 齿轮副螺旋角 beta = %3.4f 度 n',x(6)fprintf (1,' 减速器总中心距 a12 = %3.4f mm n',fn)

22、% 调用多维约束优化非线性约束函数 (jsqyh_g) 计算最优点 x* 的性能约束 函数值g=jsqyh_g(x);disp ' = 最优点的性能约束函数值 ='fprintf (1,' 高 速级齿轮 副接 触疲 劳强 度约束函数值 g1 = %3.4f n',g(1)fprintf (1,' 低 速级齿轮 副接 触疲 劳强 度约束函数值 g2 = %3.4f n',g(2)fprintf (1,' 高 速级小齿 轮齿 根弯 曲强 度约束函数值 g3 = %3.4f n',g(3)fprintf (1,' 高 速级大齿

23、轮齿 根弯 曲强 度约束函数值 g4 = %3.4f n',g(4)fprintf (1,' 低 速级小齿 轮齿 根弯 曲强 度约束函数值 g5 = %3.4f n',g(4)fprintf (1,' 低 速级大齿 轮齿 根弯 曲强 度约束函数值 g6 = %3.4f n',g(4)fprintf (1,' 大齿轮齿顶与轴不干涉几何约 束函 数值 g7 = %3.4f n',g(5)( jsqyh_f.m )% 2 两级斜齿轮减速器总中心距的目标函数 (jsqyh_f)function f=jsqyh_f(x);hd=pi/180;a1=

24、x(1)*x(2)*(1+x(5); a2 (x3) ( x4)(1 20/ x(5); cb 2 cos(x(6) hd);f (a1 a2)/ cb;(jsqyh_g)% 3 两级斜齿轮减速器优化设计的非线性不等式约束函数function g,ceq=jsqyh_g(x);hd=pi/180;g(1)=cos(x (6) *hd)A3-3.4e-8*x(1)A3*x (2) A3*x(5);g( 2)=x(5)A2*cos(x (6) *hdF3-834e-7*x (3F3*x 八3;g(3)=cos(x(6)*hd)A2-3e-4*(1+x(5)*x(1)A3*x(2)A2; g(4)=cos(x(6)*hd)A2-2.39e-4*(1+x(5)*x(1)A3*x(2)A2;g(5)=x(5)A2.*cos(x(6)*hd)A2-3.67e-4*(20+x(5)*x(3)A3*x