级数敛散性判别方法的归纳

1、级数敛散性判别方法的归纳 （西北师大）摘 要：无穷级数是数学分析中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散 一. 级数收敛的概念和基本性质给定一个数列，形如 称为无穷级数(常简称级数),用表示。无穷级数的前n项之和，记为= 称它为无穷级数的第n个部分和，也简称部分和。若无穷级数的部分和数列收敛于s.则称无穷级数收敛，若级数的部分

2、和发散则称级数发散。研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理：定理1 若级数和都收敛，则对任意的常数c和d，级数亦收敛，且=c+d定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性定理3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。定理4 级数收敛的充要条件是：任给0，总存在自然数N，使得当mN和任意的自然数，都有以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。二 正项级数的收敛判别各项都是

3、由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列有界，即存在某正整数M，对一切正整数 n有M。从基本定理出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法1 比较判别法设和是两个正项级数,如果存在某正数N，对一切nN都有，则（i）级数收敛，则级数也收敛；（ii）若级数发散，则级数也发散。例 1 . 设收敛，证明：收敛（>0）.证明：因为 0<<易知：收敛（积分判别法），又收敛，所以收敛。由比较判别法知收敛（>0）.例 2 . 证明：级数都是条件收敛的。 证： 不妨设x>0,则>0，当n>时，0<<,此时,且为单调递减数列，且=0。由

4、莱布尼茨判别法知收敛。而当n>时， =>0，=1又发散，由比较判别法知也发散。所以，级数都是条件收敛的。例 3. 证明级数收敛 证： 0< = < = . = = =0 由比值判别法知收敛，再由比较判别法知收敛，即有：级数收敛。根据比较原则，我们得到了两个更为实用的判别法，即柯西判别法和达朗贝尔判别法。2 柯西判别法（根式判别法）设为正项级数，且存在某正整数及正常数，（i）若对一切n，成立不等式1，则级数收敛。（ii）若对一切n，成立不等式则级数发散。例 1 . 判别级数的敛散性。解：因为 = 所以由根式判别法知级数收敛。3 达朗贝尔判别法（比值判别法） 设为正项级数，

5、且存在某正整数及常数q（0q1）. （i）若对一切n，成立不等式q，则级数收敛。（ii）若对一切n，成立不等式则级数发散。例 1 .判别级数的敛散性。 解：因为 = = >1 所以由比式判别法知级数发散。4积分判别法积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。设f为1，+ )上非负减函数，那么正项级数与反常积分同时收敛或同时发散。例 1 .判别级数的敛散性。 解：设f(x)= ,则f(x)在3，+ 上非负递减。若，这时有= = 当小q1时级数收敛；当小q 1时级数发散； 若,这时有= 对任意的q，当时，取t>1,有=0 即该积分收敛。当

6、时，有 =即该积分发散。5拉贝判别法设为正项级数，且存在某正整数及常数r，（i）若对一切n，成立不等式1，则级数收敛。（ii）若对一切n，成立不等式则级数发散。例 1 .判别级数（x>0）的敛散性。解：因为 = 1- = 所以由拉贝判别法知，当小x1时级数收敛；当小x 1时级数发散；6对数判别法对于正项级数，如果存在，则当q>1时，级数收敛；当q<1时，级数发散。例 1判别级数=的敛散性。证明： = =ln 5>1因此有对数判别法可知级数=收敛。7双比值判别法对于正项级数，如果存在= = ，则当< 时，级数收敛；当>时，级数发散。 例 1判别级数的敛散性。

7、证明：因为=由此知级数收敛。 例 2 判别级数的敛散性。 证明：这里，即> 有 = = = > 所以级数发散。8高斯判别法设是严格正项级数，并设=+，则关于级数的敛散性，有以下结论：（i）如果>1，那么级数收敛；如果<1，那么级数发散。（ii）如果=1，>1，那么级数收敛；如果=1，<1，那么级数发散。（iii）如果=1，>1，那么级数收敛；如果=1，<1，那么级数发散。例1 Gauss 超几何级数1+的敛散性，其中均为非负常数。解：因为=又因为=1-+，=1-+，所以=（1+）。根据高斯判别法可以判别： 如果x<1;或者x=1, ,那么级数收敛。 如果x>1;或者x=1, ,那么级数发散。参考文献1华东师范大学数学系.数学分析（第三版）.下册M.北京：高等教育出版社，2001.2李春江.级数收敛的判别方法J.