第七章无穷级数

1、第七章 无穷级数第一节 数项级数 . 数项级数. 数项级数的收敛与发散. 级数交错项级数. 无穷数列的和 概述 在这一节中，我们介绍了数项级数和数项级数的收敛与发散，介绍了级数和交错项级数.数项级数有无穷数列，我们把它的所有项的和记为，即所谓数项级数就是无穷数列的所有项的和例无穷数列的所有项的和就是一个数项级数数项级数的前项的和，我们一般记为，即我们规定如果收敛，我们称数项级数收敛；如果发散，我们称数项级数发散例无穷数列是否收敛？如果收敛，求其值解 所以所以收敛，定理数项级数收敛，则例无穷数列是否收敛？为什么？解 无穷数列发散.级数级数是一类常见的级数，它们的是（是常数）关于级数的收敛与发散，

2、我们有：定理级数当时，级数收敛；当时，级数发散.交错项级数交错项级数是一类常见的级数，它们的一般形式是（其中）关于交错项级数的收敛与发散，我们有：定理（莱布尼兹）如果交错项级数（其中）满足下列条件，则该级数收敛：（）；（）例无穷数列是否收敛？为什么？解根据定理3 （1） (2) 所以无穷数列收敛 . 无穷数列的和定理级数，级数，则（） 级数；（） 级数例级数，级数，求（） 级数；（） 级数解 （1） （2）第二节 正项级数 . 正项级数. 正项级数的比较判别法 比值判别法. 绝对收敛与条件收敛 概述 在这一节中，我们系统学习正项级数和它收敛的两个判别法，同时介绍一般项级数的绝对收敛与条件收敛.

3、正项级数数项级数的每一项，我们把这样的级数叫做正项级数例（）级数是正项级数（）数项级数是正项级数. 正项级数的比较判别法 比值判别法定理正项级数和正项级数，满足（），其中是常数；（）正项级数收敛，则正项级数也收敛定理正项级数和正项级数，满足（），其中是常数；（）正项级数发散，则正项级数也发散定理和定理给我们提供了一个判定正项级数是否收敛的方法，该方法被称为正项级数的比较判别法例判定下列正项级数是否收敛：（）（）解 （1） 而级数收敛， 也收敛. （2） 而级数发散， 也发散.定理（）如果正项级数 满足（常数），则正项级数收敛；（）如果正项级数 满足（常数），则正项级数发散例判定下列正项级数是否

4、收敛：（）（）解 （1） 所以收敛. （2） 所以发散. 绝对收敛与条件收敛级数的通项有时是正号，而有时是负号，这样的级数叫做变号级数如就是一个变号级数定理如果正项级数收敛，则变号级数 也收敛反之不真从上面的定理可以知道，正项级数收敛，变号级数也收敛，我们称这样的收敛为绝对收敛；如果变号级数收敛，而正项级数发散，我们称级数为条件收敛例判定下列变号级数的收敛情况：（）（）解 （1） 因为收敛， 所以绝对收敛. （2）是发散的， 而是交错级数，满足交错级数收敛的条件， 所以条件收敛.第三节 幂级数 . 函数项级数收敛点发散点收敛域. 幂级数. 几个基本初等函数展开成幂级数 概述 在这一节中，我们学

5、习幂级数和如何将函数展开成幂级数.函数项级数级数的项是函数，即我们把这样的级数叫做函数项级数， 当时数项级数收敛，我们称函数项级数在处收敛，或称是函数项级数的一个收敛点；当时数项级数发散，我们称函数项级数在处发散，或称是函数项级数的一个发散点函数项级数的全体收敛点，我们称为收敛域例讨论函数项级数的收敛域解 当时， 所以数项级数在内收敛于，当时，是发散的.幂级数函数项级数其中都是常数，称为幂级数，叫做第次项的次数我们主要讨论的幂级数，即如果幂级数在区间上是收敛的，在上是发散的，我们把叫做幂级数的收敛半径在处是否收敛将根据具体的级数而定定理幂级数，如果（），幂级数的收敛半径例求幂级数的收敛半径，讨论收敛域解， 所以收敛半径是，当时，为调和级数，发散;当时，为交错级数，收敛，所以的收敛域为. 几个基本初等函数展开成幂级数函数在处有任意阶导数，那么幂级数称为函数在处的泰勒级数特别地，当时，函数在处的泰勒级数也叫做马克劳林级数在一定条件下，函数在处的