第20课时相似三角形

1、第19课时 相似三角形一、知识点梳理1、形状相同的两个图形称为相似形.如果两个多边形是相似图形，那么这两个多边形的对应角相等，各对应边的长度成比例（或各对应边长度的比值是相等的）。2、在同一长度单位下，两条线段长度的比就是两条线段的比3、在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.4、四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即=，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段.线段d是a、b、c的第四比例项.5、线段 b叫a、c的比例中项则b2= ac.黄金分割：如果点P把线段AB分割成AP和PB（AP>P

2、B）两段，其中AP是AB和PB的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P称为线段AB的黄金分割点。AP与AB的比值（近似值0.618）称为黄金分割数（简称黄金数）6、合比性质：如果，那么7、等比性质：如果，那么推广：如果，那么8、三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.9、三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.10、重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.说明：重心要掌握三点：（1）、定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫

3、做三角形的重心.( 2)、作法：两条中线的交点. (3) 、性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.11、三角形一边平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.12、三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.13、平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例14、平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等

4、.ADBECF, 熟悉几种该定理图像井字型 A字型 X字型 倒 A字型 畸形(O无用)15、对应角相等、对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形16、相似比的概念 ：相似三角形对应边的比，叫做相似比（或相似系数）注意：两个相似三角形的相似比具有顺序性17、关于三角形的判定方法(1)定义法：对应角相等、对应边成比例；(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形和原三角形相似；(3)判定定理1.两角对应相等两三角形相似；(4)判定定理2.两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；(5)判定定理3.三边对应成比例的两三角形相似；(6)直角三角形相似的判定方法.以上

5、各种判定方法均适用;如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角对应成比例，那么这两个直角三角形相似；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.判定定理的适用范围(1)已知有一角相等时，可选择判定定理1与判定定理2.(2)有两边对应成比例时，可选择判定定理2与判定定理3.(3)直角三角形判定先考虑判定直角三角形相似的方法.还可以考虑一般三角形相似的方法.说明一般不用定义来判定三角形的相似.相似三角形与全等三角形判定方法的联系全等的判定SASSSSAAS(ASA)直角三角形相似的判定两边成比例夹角相等三边对应成比例两角相等一直角边与斜边对应成比例相似三角形的

6、判定定理的作用：可以用来判定两个三角形相似；间接证明角相等、线段成比例；间接地为计算线段的长度及角的大小创造条件.三角形相似的基本图形：平行型：如图1，“A”型即公共角对的边平行，“×”型即对顶角对的边平行，都可推出两个三角形相似；相交线型：如图2，公共角对的边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交.图中几种情况只要配上一对角相等，或夹公共角（或对顶角）的两边成比例，就可以判定两个三角形相似.18、相似三角形的性质：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长比都等于相似比.；相似三角形的面积比等于相似比的平方二、例题解析例题1 三角形ABC中，AC、BC上的

7、中线BE、AD垂直相交于点O,若BC=10，BE=6,则AB的长为 例题2 已知在直角三角形ABC中，ACB=90,AC=6,BC=8,点D是AB中点，点E是直线AC上一点，若以C、D、E为顶点的三角形与三角形ABC相似，求AE的长度。例题3、已知：ABC中，AB=AC，CDAB于D。求证: BC2=2BD·BA例4、已知一次函数的图像分别交x轴、y轴于A、B两点，且与反比例函数的图像在第一象限交于点C(4,n),CDx轴于D点。（1）求m、n的值；（2）如果点P在x 轴上，并在点A与点D 之间，点Q在线段AC上，且AP=CQ,那么当APQ与ADC相似时，求点Q的坐标。例5、三角形A

8、BC中，C=90度，AC=BC=2,O是AB的中点。将45度角的顶点置于点O，并绕点O旋转，使角的两边分别交边AC、BC于D、E，联接D、E。（1）观察图形，在旋转过程中有无一定相似的三角形？若有，请将它找出来，并加以证明；（2）设AD=x,BE=y,求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当x为何值时，三角形ODE是等腰三角形？三、课堂练习1.（08大连）如图，若ABCDEF，则D的度数为_2. (08杭州) 在中, 为直角, 于点, 写出其中的一对相似三角形是 _ 和 _ ； 并写出它的面积比_. （第1题） （第2题） （第3题）3.( 08常州) 如图，在ABC中,若DEBC,

9、DE4cm,则BC的长为 ( )A.8cm B.12cm C.11cm D.10cm4. （08无锡） 如图，已知是矩形的边上一点，于，试证明5、已知数2，8，请再写出一个数x，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，则。6、如果地图上A、B两处的图距是4cm，表示这两地实际的距离是500km，那么实际距离是700km的两地在地图上的图距是 cm.7、正方形的边长与对角线之比是_8、两个三角形相似，其中一个三角形两个内角分别是，那么另一个三角形的最大角为 9、如果直角三角形的斜边长为18，那么这个直角三角形的重心到直角顶点的距离为 10、 ABC中，DE/BC，交AB、AC于D、E，CD平

10、分ACB,AC=12，AE=5，则BC=_11、如图，AB/CD，AD与BC交于点O，若，则= 12、如图，E是平行四边形ABCD边AD上一点，且AE：ED=3：7，CE与BD交于点O，则 BO：OD= 13、如图，AC=14，DE=5，EF=8，那么BC= 14、如图，点D、E分别在ABC的边上AB、AC上，且AEDABC，若DE5，BC8，AB10，则AE的长为_（11题）（第12题）DAEBCF（第13题） （第14题）15、两个相似三角形对应边上中线的比等于7：5，则对应边上周长之比为_，面积之比为_16、若两个相似三角形的周长的比为2：5，且周长之和为45，则这两个三角形的周长分别为

11、_ABCD17、如图，ABC是一块锐角三角形余料，边BC=16cm，高AD=7cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是_（第19题）（第20题）ABCDEF（第18题） 18、如图，已知ADE与EFC面积分别为144、81，则ABC的面积是_19、如图，在ABC中，ACB=，CDAB，垂足是D，ABC的周长是12，那么ACD的周长是 20、请在方格图15中画出一个与rABC相似且相似比为2的三角形（它的顶点必须在方格图的交叉点）21、PQR第21题图如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与PQR相似的是（

12、）ABDCEF图1A B C D22、如图1，已知，那么下列结论正确的是（ ）ABCD23、如图8，ABC，AB=15，AC=18，D为AB上一点，且AD=AB，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与 ABC相似，则AE等于_24、一个三角形三边分别为40，41，9，则这个三角形三边上的高的比是_四、回家作业1如图，已知ADEBFC，AC=12，DB=3，BF=7，求EC的长. 2、如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BEAC交AC于F，过F作FGAB交AE于G.求证：AF·FC. 3、如图，在ABC中，AD、BE分别是BC、AC上的高，AD、BE相交于H，则图中相似的

13、三角形共有( )对.A.3 B.4 C.5 D.64、如图，D是ABC一边BC上的一点，ABCDBA的条件是( )A. B. C.CD·BC D.BD·5、已知过平行四边形ABCD的顶点C作一直线CF交BD于点E，交DA的延长线于点F，交AB于点M.求证： .6、 ABC中，有一个内接正三角形DEF，点D、E、F分别在AB、CA、BC上，且DE/BC，已知BC=4cm，BC上的高为AH=6cm.求DE的长. （）7、如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是 S1、S2 ，那么S1、S2的大小关系是 (A) S1 > S2 (B) S1 = S2 (C) S

14、1<S2 (D) S1、S2 的大小关系不确定8、如图，梯形ABCD中，ADBC，E、F分别在AB、CD上，且EFBC，EF分别交BD、AC于M、N。（1）求证：ME=NF；（2）当EF向上平移至各个位置时，其他条件不变，（1）的结论是否还成立？请分别证明你的判断。MMNEMBCFDANEBCFDANEBCFDA（N）MEBCFDA8、如图，有一路灯杆AB(底部B不能直接到达)，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG4m，如果小明得身高为1.6m，求路灯杆AB的高度。ECGBFD9、如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，在直线AD上