北京四中—2016学年度第一学期高一数学期末考试试卷

1、北京四中2015 2016学年度第一学期期末试卷2016.1高一数学试卷满分：150分 考试时间：120分钟A卷必修 模块4本卷满分：100分题号一一三本卷总分171819分数一、选择题：本大题共 10小题，每小题 4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的.1 .如果cos日0 ,且tan9 A0,则日是（）（A）第一象限的角（B）第二象限的角（C）第三象限的角 （D）第四象限的角2 .化简 A,B+BCAD 等于()j(A)CD(B)DC(C)AD(D) CB3 .若向量a = (J2,1), b = (2,x)共线，则实数x的值是()(A)-应(B)72(C)0(D

2、) ±V24 .函数f（X）=COSX的一个单调递增区间是（）（A） （0.3（B） （-,-）（C）（兀,0）（D） （022 2 I|5 . y =sinxcosx 是（）（A）最小正周期为2冗的偶函数（B）最小正周期为2冗的奇函数（C）最小正周期为 冗的偶函数（D）最小正周期为 冗的奇函数冗6 .为了得到函数y =sin（2 x-一）的图象，可以将函数 y = sin2x的图象（）4（A）向左平移 一个单位长度（B）向右平移一个单位长度44（C）向左平移上个单位长度（D）向右平移三个单位长度887.若直线x =a是函数y =sin（x+-）图象的一条对称轴，则 a的值可以是（）

3、6/ A、冗(A )一|3一 兀(B) 一 2(C)6TL (D) 38.已知非零向量a , b夹角为45。，且|a| = 2, |a b| =2.则|耳等于()(A) 2短(B) 2(C) V3(D) 229.函数y =2sin（2nx）的图象与直线y = x的交点个数为（）(A) 3(B) 4(C) 7(D) 810 .关于函数f （x） =|sinx|+|cosx|,给出下列三个结论：函数f （x）的最小值是1 ；函数f （x）的最大值是22 ;函数f （x）在区间（0,2）上单调递增.4其中全部正确结论的序号是（）（A）（B）（C）（D）二、填空题：本大题共 6小题，每小题4分，共24

4、分.把答案填在题中横线上.11 . sin = .=a ,则BD =.(用a , b表示)12 .如图所示，D为4ABC中BC边的中点，设 AB13 .角a终边上一点的坐标为（1,2）,则tan2口 =14 .设向量a = (0,2), b = (73,1),则a, b的夹角等于15 .已知 口 U （0,冷，且 cosa = -Sin 3 ,则口 =.3T16 .已知函数f（x）=sinx （其中w >0）图象过（1）点，且在区间（0,二）上单调递增,3三、解答题：本大题共 3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 .(本小题满分12分)3已知 c(w(一,冗)，且

5、 since =.25(I)求 tan(a -)的值；4sin2 ： -cos：(n)求的值.1 cos2-18 .(本小题满分12分)如图所示，B, C两点是函数f (x) = Asin(2x+二)(A > 0)图象上相邻的两个最高点，D点为函数f (x)图象与x轴的一个交点.(I)若A=2 ,求f (x)在区间0,三上的值域;2(n)若BD _LCD ,求A的值.19 .(本小题满分12分)A如图，在 4ABC 中，AB =AC=1,2BAC=120.(I)求AB BC的值;(n)设点P在以A为圆心，AB为半径的圆弧 BC上运动,且AP =xAB +yAC ,其中x, y e R .

6、求xy的最大值.B卷学期综合 本卷满分：50分题号一一本卷总分678分数一、填空题：本大题共 5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.1 .设 U =R, A=x|x0, B=x|x >1,则 An©B=.2 . log2 历=, 31 40932 =.1,，x>1,3 .已知函数 f(x) = x且 f (a) + f (2) =0,则实数 a= .x2 , x ：1.4 .已知函数f(x)是定义在R上的减函数，如果f(a)>f(x + 1)在xW1,2上恒成立，那 么实数a的取值范围是.5 .通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y (单位：升/小时)与

7、液体所处环境的温度 x(单位：C)近似地满足函数关系 y = ekx* (e为自然对数的底数，k,b为常数).若该液体在 0 c的蒸发速度是0.1升/小时，在30 c的蒸发速度为0.8升/小时，则该液体在 20 c的 蒸发速度为 升/小时.二、解答题：本大题共 3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤6 .(本小题满分10分),一，6x已知函数f(x)=.x 1(I )判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论;(n)求满足不等式f (2x) >2x的实数x的取值范围.7 .(本小题满分10分)设a为实数，函数f(x)=x2-2ax.(I)当a =1时，求f(x)在区间0,

8、2上的值域；(n)设函数g(x)= f(x) , t(a)为g(x)在区间0,2上的最大值，求t(a)的最小值.8 .(本小题满分10分)设函数f(x)定义域为0,1,若f (x)在0, x 上单调递增，在x ,1上单调递减，则 称x为函数f(x)的峰点，f(x)为含峰函数.(特别地，若f(x)在0,1上单调递增或递减， 则峰点为1或0 )对于不易直接求出峰点 x的含峰函数，可通过做试验的方法给出x的近似值.试验原理为：“对任意的X, x250,1),七2,若f(x1” f(x2),则(0、)为含峰区间，此 时称x1为近似峰点；若f (X) < f (x2),则(x1 ,1)为含峰区间，

9、此时称 x2为近似峰点”.我们把近似峰点与 x之间可能出.叫的最大距离称为试验的“预计误差”，记为d ,其值 为 d = maxmax x1, x2 - x1, maX x2 - x1,1x2(其中 max x, y表示 x, y 中较大的 数).11(i)若x1 = , x2 =一.求此试验的预计误差 d .42(n)如何选取 不、x2,才能使这个试验方案的预计误差达到最小？并证明你的结论(只 证明x1的取值即可).(出)选取x1，x2 = (0,1), X ex2,可以确定含峰区间为(0, x2)或(x1,1).在所得的含峰区间内选取x3,由x3与x1或x3与x2类似地可以进一步得到一个新

10、的预计误差d1分别求.12出当Xi =一和Xi =一时预计误差d的最小值.(本问只写结果，不必证明)45北京市西城区2015 2016学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准2016.1A卷必修模块4满分100分、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. C;2. B;3.B;4.C;5. D;6.D;7. A ; 8. A;9.C;10. D.二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.12.1-（b-a）；13.n14. 一 ；3三、解答题：本大题共15.16.3小题,共36分.17.（本小题满分12分）3因为 a U（ 一 , n）且 sin a =_25

11、所以所以, sin: tan：=cos：所以冗tan（：-）tan 二-1 =-7.1 tan-（n）由（i）知，sin2： = 2sin ? cos：2425'2321 cos2： = 2cos ;2511分所以24 4-Q- 十 一sin2” 一cos：25 51 cos2：32251218.(本小题满分12分)(I)由题意 f(x) =2sin(2x+E), 3一：二一： 4 一因为0 Wx W,所以0 W 2x W n.所以一W 2x + W.2333所以 _! <sin(2x -) < 1. 23所以E < f (x) <2 ,函数f (x)的值域为J

12、3,2.13-(n)由已知 B(一,A), C(, A), D(-,0),12123m、，T ，-.、 f 3 二所以 DB=( ,A), DC=(，A).4411分DB DC因为 BD _L CD ,所以 DB _L DC ,-3 二22. r. 3 二=+ A = 0 ,解得 A = ±.164一 、3又A>0,所以A = 419.(本小题满分12分)解：(I) AB )BC.AB/AC-AB)=AB AC-'AB'2(H)建立如图所示的平面直角坐标系，则B(1,0),1 .3C(-).2 212分2分4分5分由 AP =xAB +yAC ,6分设 P(co

13、s8,sin 日)，8w0,工 3得(cos1,sin -) =x(1,0) y(-1, 3).2 2所以 cos 1-x - y ,sin 1=2所以 x =cos8 + -sin 日, 3y=.sin6,3xy ="sin fcosf 32sin2 = 3sin 21 1 -cos2 333 32 .3,1.1=一(sin 2 - cos2i) 一3 22310分21二一 sin(2i )-36311分因为> 0 ,'2喝7啧：.TT所以，当2f -6一,即8 =一时，xy的最大值为1.2312分学期综合满分50分、填空题：本大题共5小题,每小题4分，共20分.1.

14、 x|0 ：二 x <12.1 一 一，, ,6;3. 1;4. aa<2；25. 0.4.注：2题每空2分.二、解答题：本大题共 3小题,共30分.6.（本小题满分10分）一 一 6x解：(I)因为 f(x)=x 1-6x'所以fx)»一（x）.所以f（X）为奇函数.(n)由不等式f(2X) . 2X,6 2xx得=2x.21整理得22x < 5 ,1 .10分所以 2x < log2 5 ,即 x < 3 log2 5 .7 .（本小题满分10分）解：（i）当a=1时，f（x）=x22x.二次函数图象的对称轴为 x = 1,开口向上.所以在区

15、间0,2上，当x=1时，f(x)的最小值为.当x=0或x=2时，f(x)的最大值为0.所以f(x)在区间0,2上的值域为_1,0.(n)注意到f( x) = x2 2ax的零点是0和2a ,且抛物线开口向上.当 a W0时，在区间0,2上 g(x) =| f (x)| = x2 -2ax, g(x)的最大值 t(a) =g(2) =44a. 4分当0 <a <1时，需比较g(2)与g(a)的大小， ,、 2,、2g(a) -g(2) =a _(44a)=a +4a4,所以，当 0 <a <2j22 时，g(a) -g(2) <0 ;当 2"2 wa &l

16、t;1 时，g(a) -g(2) >0. 所以，当 0<a<2j2-2 时，g(x)的最大值 t(a) = g (2) = 4 4a .5 分当 2j2_2Wa<1 时，g(x)的最大值 t(a) = g(a) = a2. 6 分当 1EaE2 时，g(x)的最大值 t(a) =| g(a)| =a2. 7 分当 a>2 时，g(x)的最大值 t(a)=|g(2) =4a4. 8 分4 -4a, a <2,2-2,所以，g(x)的最大值 t(a)= 1a2,272-2<a<2, 9 分4a -4, a 2.10分所以，当a=2，2-2时，t(a)的最小值为12-872.8 .(本小题满分10分)11斛：(I)由已知 * = , x2 =一.42所以 d = maxmax x1,x2 -x1, max x2 - x1,1 - x2,11、，11、，=maxmax -, -,max - ,- = max1 1143n2一 1 二 1(n)取xi = , x2 =一,此时试验的预计误差为 一.333以下证明，这是使试验预计误差达到最小的试验设计证明：分两种情形讨论 x1点的位置.G1一 一0X1 t 21当Xi