第二章导数与微分

1、第二章 导数与微分一、 基本要求1深刻理解导数的概念，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，理解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解左、右导数的概念及函数可导的充要条件.2掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的求导公式，会求初等函数和分段函数的导数.3会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数，会求反函数的导数.4理解高阶导数的概念，了解莱布尼兹公式，会求简单函数的n阶导数.5深刻理解微分的概念，理解导数与连续、微分的关系，了解函数微分的几何意义，了解微分的四则运算法则和一阶微分不变性.6会求函数的微分，了解微分在近似计算中的应用.二、 问

2、题解析1 .如何理解导数定义中比式的极限？导数定义可有多种不同的表达形式，例如等. 导数是“比”式的极限（不是极限的比）, 并且必是两个无穷小之比的极限, 是、或、或时的比式的极限；在求极限的过程中是不变的常量, 但是，极限过程之后得到的又是的函数，而与(或)无关, 故称为“导函数”. 再者，其中的极限变量（或）趋于零的方式不能有任何限制，必须是双边极限并通过一切中间量连续地趋于零. 例如： ， ,均得不到结论，前者只能说明函数在点的右导数存在，后者则是沿特定的子列趋于.再如狄利克雷函数对于任意，与同为有理数，或同为无理数，即有，从而 , 但在内处处不连续，从而处处不可导.另外, 导数定义中比

3、式 的分子、分母中的极限变量必须以统一的形式出现. 比如，等式 的右端并不是，而是，即.2 。函数在一点单侧可导和在该点可导有何关系？如何讨论分段函数在分段点处的可导性？函数的单侧导数的定义，就是把导数定义中的双侧极限改为单侧极限与.函数在点的左、右导数都存在，不能保证函数在点可导，还需左、右导数相等.，不能保证函数在点可导，例如，当时，；当时，.但是由于在点不连续，故在点不可导. 在这里，点是函数的“可去间断点”. 如果将改为则在点可导，并且.分段函数在分段点两侧表达式一致时，即时，应直接用定义判定的存在性，不必讨论其单侧导数.当分段函数在分段点两侧定义表达式不一致时，即就必须通过判定在点的

4、左导数和右导数的存在性以及相等性来判定的存在性.3可导与连续有怎样的关系？可导必连续，但连续未必可导.例如，函数处处连续；时存在导数；在点处不可导，因为不存在.不能想当然地认为连续函数至少在某些点可导，因为存在处处连续而处处不可导的函数：，是一个由无穷级数(参见第十章无穷级数)定义的非初等函数，由实变函数知识可以证明为连续函数，但处处不可微. 由此例也可体验到曾统治古典数学研究的直观方法是不可靠的.4在导数的几何意义中，如何理解函数在点可导和该函数曲线在点（）处切线之间关系？函数在点可导，则函数所表示的曲线在点处切线的斜率存在，于是必有切线. 应注意其否命题不成立，即若函数在点不可导时，函数所

5、表示的曲线在点处未必不存在切线. 例如曲线 ，因为所以 在 不可导， 但曲线在点处有铅垂切线，切线斜率为.5如何理解导数与微分的关系？导数与微分都是讨论Dx与y的关系的，所以它们之间应有内在的联系，教材第二章第五节的定理1揭示了这种联系. 但是导数与微分是源于两个不同的实际背景：导数源于精确地计算函数的变化率，它把泛泛的平均变化率精确化到在一点的变化率，是变化率的数学抽象. 微分则是源于近似计算；实际应用中的一切计算几乎都需要用到近似计算的(这也表明了微分应用的广泛性)；微分表达式, 即表明只要知道在一点的函数值及其导数的值， 就可以用x的一次函数近似计算点附近的函数值, 误差是比高阶无穷小这

6、就可以把一个难以计算其值的函数(如超越函数), 局部近似地表达为便于计算数值的函数(一次函数). 遗憾的是，这里的近似度偏低（姑且称之为一次近似），并且是个难于控制范围的量，而不能估计误差的近似计算是不便于应用的； 因此，微分用于近似计算有待于进一步发展, 一方面，向着提高近似度方向发展，达到任意次近似的精确程度；另一方面，要提供出估计误差大小的方法. 导数与微分的运算具有双重关系：一方面表示可由计算导数来计算微分；同时也表示可用微分之比来表达导数. 把导数这么个复杂的极限表示为两个微分之比赋予了导数理论极大的灵活性；在随后的学习中也可体会到用微分反过来计算导数的便利. 正是微分与求导这种密切

7、相关的运算关系，使得我们面临具体问题时，可以审时度势选择采用求导或求微分的手段. 6初等函数的导数一定是初等函数吗？初等函数在其定义区间里处处连续，在其连续点是否处处可导？初等函数是被广泛应用的一大类函数，是中学数学与高等数学的主要研究对象，又是研究非初等函数的基础. 有了基本初等函数的导数公式，又有了导数的四则运算法则和复合运算的求导法则，原则上已经可以求初等函数在可导点的导数.在这里可以体味到初等函数求导公式数和及其运算法则的优美，从基本初等函数的求导公式看，降低了“次数”；而对数函数与反三角函数等超越函数的导数则是代数函数. 不过经过复合以后的初等函数的导数仍可能是比较复杂的. 另外，我

8、们还要强调两点：初等函数的导数未必是初等函数，例如，是初等函数，且当时，当时, ,所以显见不是初等函数. 进一步还可以验证是的连续点. 虽然初等函数在其定义区间里处处连续，但在其连续点未必可导. 例如, 是初等函数，其定义域为.由于，所以在处不可导.但这个函数的曲线在点处仍然有切线，只是这切线平行于轴，其斜率为.再如,是初等函数，在其定义域处处连续. 因为与所以在点不可导，.还有个有趣的现象：函数在闭区间上处处可导，因为在这闭区间左端点存在右导数，在右端点存在左导数，；并且时，.但是在这些闭区间的并集上并不是处处可导，当时，不存在. 也就是说函数在闭区间和上可导时，未必在闭区间上可导.7函数与

9、其导函数之间关于函数特性有哪些相关性质？有界函数的导函数未必有界. 例如在区间内为有界函数，但是因为，所以在区间内为无界函数. 反之也不成立，即若导函数有界，函数也未必有界，例如. 但是，在加强条件下逆命题能够成立，即：如果导函数在区间上有界，则在上有界. 其证明如下：设，任取定点，其中， 即，从而 ，由于无穷小量为有界量，故存在，使得， 又由于， 所以，上式表明在上有界. 周期函数的导函数仍为周期函数. 因为若是以T为周期的可导函数，则由于.为可导函数，从而对任意的，总有，这表明也是以为周期的函数.反之并不成立，即若导函数为周期函数，未必是周期函数. 例如不是周期函数，但却是周期函数.单调函

10、数的导数未必是单调函数.例如在区间内是单调函数，其导数在内并不是单调函数. 反之也不成立，即若导函数为单调函数，函数也未必是单调函数，例如在内不是单调函数，但，在内单调递增.奇(偶)函数的导函数是偶(奇)函数. 例如，因为若为在内可导的奇函数，则有，且对任意的，总有，所以奇函数的导数为偶函数；同理可证，偶函数的导数为奇函数. 反过来，导函数是偶函数时，其原来的函数(我们称之为原函数)自身未必具有奇、偶性. 例如，是偶函数，其原函数并不具有奇偶性.但是，如果导函数是奇函数时，其原函数自身必是偶函数，利用第四章介绍的定积分变上限函数可以获得这个结论的证明. 总之，函数的周期性可延续到其导数上，函数

11、的奇偶性可对偶地延续到其导函数上；反过来只有“导函数是奇函数时，其原来的函数自身必是偶函数”成立. 函数的有界性和单调性则与其导数之间没有直接关联. 8函数与其绝对值函数的导数之间有怎样的关系?如果函数在点处可导, 利用可导必连续、极限的保号性，以及导数定义可得以下结论:(1) 若, 则在点处可导, 且 10当时, ； 20当时, .(2) 若, 则10当时, 在点处可导, 且；20当时, 在点处不可导.反之, 如果函数在点处可导, 函数在点处未必可导, 例如9.有关求导运算中应注意的几个问题，你注意到了吗？ 注意左(右)极限符号()、左(右)导数符号()与导数左(右)极限符号()的区别. 用

12、定义求时，用其简化形式更简洁. 设函数在点的附近有定义. 若在点的某去心邻域内可导，且其导函数的通式为. 如果导函数在处无定义，并不能立即断言在处不可导. 例如，函数作为初等函数直接求导数可得函数，显然在处无意义.但注意到是的连续点，且当时，所以并不是的导数，其导数应为且点 还是导数的连续点. 学习求导运算必须牢记基本初等函数的导数公式、求导的四则运算法则以及复合函数求导法则. 用“链式法则”求以复合函数形式给出的初等函数的导数是初学时常遇到的一个困难, 求导时要把它“折化”到基本初等函数为止，常出现的问题是“短链子”和“断链子”，但这是个通过适量的习题演练都能够解决的问题.求分段函数在分段点

13、处的导数是本章的一个难点. 当分段函数在分段点左右两侧表达式一致时, 应利用导数定义求其分段点处的导数. 例如，求函数在处的导数, 只需考察极限 是否存在；当分段函数在分段点左右两侧表达式不一致时, 则应利用左右导数存在与相等性来求得. 例如，求函数在处的导数, 则需考察左导数和右导数是否存在, 并且是否相等.关于分段点左右两侧表达式不一致的分段函数在分段点处的可导性，还有下述等价命题：在可导Û在不需要详细解题过程的题目(如填空题、选择题等)中，需求左右两侧表达式不一致的分段函数在分段点处的导数时，还可用下面的性质(充分条件):Þ在可导.即在首先确定在点处具有连续性后，可利

14、用左、右段函数的导数的相等性来获得在点处导数. 鉴于函数的和与差的求导公式比积与商的求导公式简便，对于用积与商形式表达的函数可以通过取对数将其转化为和与差的形式，然后求导数对数求导法. 例如：计算函数的导数时，可先取对数，两端分别求导数，整理即得 .连续. 求幂指函数的导数, 既不能用幂函数的求导公式, 也不能用指数函数的求导公式, 可采用两种方法求其导数: 先取对数再求导, 即对数求导法；转化成以e为底的指数函数, 再求导.(9) 参数方程 所确定的函数的二阶导数易犯的错误为：.产生这种错误的原因在于对记号的意义没理解好. 表示的是函数对t的导数， 而是要求函数对x的导数, 即 . 由复合函

15、数链式求导法则知,.同样的道理可应用在三阶以及更高阶的导数上，即有.(10) 求函数的n阶导数可用 直接法：先求所给函数的一至三(或四)阶导数，然后从这些导数的规律中找出所求n阶导数的表达式；公式法：先将所给函数经四则运算、变量代换后，再利用常见函数的n阶导数公式即得所求。几个常见函数的n阶导数公式：； ； ； .(11) 对于一些较复杂的函数应用一阶微分运算不变性求函数的微分，要比用公式(求导法)更简洁些, 从而不易出错. 对于复合函数、由方程所确定的隐函数以及含有四则运算的函数来说, 有时应用一阶微分不变性求其一阶导数或微分也更加方便一些.三、习题提示或简解习题2-1 （P.50）4. 解

16、 (1) ;(2) ;(3) ;(4) .由于(4)中分子两点函数的差均与函数在点处的值无关, 这有可能出现(4)中的两个极限都存在, 但函数在点处不连续的现象, 故(4)并不是函数在点处可导的充分条件. 例如, 函数, 显然函数在点处不连续, 从而不可导, 但(4)中的极限存在:.5. 提示因为为在点两侧函数表达式不一致, 所以应分别讨论在点的左, 右导数.6. 提示因为存在, 且, 所以. 在已知函数在某点可导的条件下, 常用导数定义来证明其性质.7.提示因为为在点两侧函数表达式一致, 所以应用连续和导数定义讨论在点的连续性和可导性即可, 即分别考察极限和 . 8. 提示由本节引例2知变速

17、直线运动的速度.11.简解在时间间隔内任取一个小的时间间隔, 则在这个小的时间间隔内,物体旋转的平均角速度,是物体在时刻的角速度的近似值, 令取上式的极限, 若此极限存在, 即为物体在时刻的角速度, 即 .习题2-2 （P.58）1. 简解在温度变化的范围区间内任取一个小的温度间隔, 则在这个小的时间间隔内，轴体的平均线膨胀系数,是轴体在时刻的线膨胀系数的近似值, 令取上式的极限, 若此极限存在, 则此极限就是轴体在时刻的角速度, 即 . 2. 提示 利用导数的物理意义.3. 简解 ，由题意应有 ，即， 带入函数得值，故所求点为.7. 提示 (13) ；(17) (18). 注意先对函数进行恒

18、等变形整理, 再进行求导运算, 可简化求导运算. 10. 提示是一个在点两侧表达式不一致的函数, 应先由在点的连续性，利用左,右极限的相等求得, 再利用左,右导数的相等性来求得.一般地，利用下述条件建立方程组可求出函数中的两个未知参数的值：(1) 利用函数可导必连续，而函数在一点连续的等价条件是在该点处左右极限都存在且等于函数在该点处的函数值；(2) 函数在一点可导的等价条件是在该点处左右极限都存在且相等. 11. 简解 (1)时, ；时, , ；时, ；时, , ；时, , 综合以上知, 求分段函数的导函数应分为分段点和不含分段点的区间两种情形进行讨论. 在分段点处， 应按导数定义(左右表达

19、式一致时)或左右导数定义(左右表达式不一致时)来求之；在不含分段点的各区间内, 则用初等函数求导的方法直接求导即可.(2)方法同上.(3)方法同上.12. 简解(1) (有界量乘无穷小量)，且， 函数在点处连续；又极限 不存在， 函数在点处不可导.(2)， 函数在点处连续；又极限 ， 函数在点处不可导.习题2-3 （P.62）3. 简解 .(2) . 注意记号的意义，它是将看成是一个变量u时, 函数关于u的导数, 即是的又一个记法，其中5. 提示(4) .(6) 注n次多项式函数的n阶导数为(为n次幂项的系数), 高于n+1阶的导数均为零.习题2-4 （P.68）1. 简解 (1)解法一(直接

20、求导法) 视y为x的函数, 方程两端直接对x求导, 得,解之即得.解法二(利用一阶微分不变性) 不去区分x与y谁是自变量或因变量, 方程两端求微分, 得dx 与dy所满足的关系式,从中解出dx 与dy的比即得.(2) 方程两端取对数, 得 ,以下解法同(1).1. 简解 (1) 方程两端直接对x求导, 得 , 解之即得 , 解法一 上式继续对x求导, 得 , 将代入整理即可.解法二方程 两端直接对x求导, 得解之得 , 将代入整理即可.(2) 解法一、二 同上.解法三(利用反函数求导法则求一阶导数) 注意到所给方程中含x的项仅有一项, 且为x的一次幂. 则由 可得 ,故注意上式右端仅含变量y，

21、所以 . 求二阶导数时, 当一阶导数的表达式中只含变量y时, 采用上述“解法一”来求更简单, 只需先将对y求导, 再乘上即可.(3) 解法一、二 同上, 在求导过程中注意 可以简化运算.解法三 , 方程两端对x求导, 得 ,上式继续对x求导, 得 , 将代入整理解得即可.(4) 解法一、二 同上.解法三(同题(2)解法三) 由 可得,所以 ；.用上述“解法一”求隐函数的二阶导数时，求出一阶导数后，应先利用所给的方程及三角、代数公式对进行整理，以简化求的运算. 尤其是当能被整理成仅由变量表达的形式时, 就可将先对变量求导, 然后再乘上对的导数(如题(4)解法三的第二步)即可. 2. 简解 (1)

22、 解法一(对数法) , 方程两端对x求导, 得 ,解法二(利用其指数函数的复合形式) ,.(2) 解法同上.(3) 使用对数法， . (4) 使用对数法， . 3. 简解 (1),.1求由参数方程确定的函数的一阶导数比较简单, 求其二阶导数则常容易犯下列错误(以上题为例): .这是对二阶导数符号的意义理解不透造成的. 事实上,这里二阶导数是一阶导数 再对变量x求导(尽管这里它被表示成变量t的函数). 2将求得的一阶导数整理成为的形式, 使得在求二阶导数时避免了商的求导运算使问题得到简化. 因此求出一阶导数 后，也应先利用三角、代数公式等对 进行整理，以简化求 的运算.(2)(6) 解法同上。(

23、7) ,6. 提示 设水面高为h, 水面宽为x , 由题意知 , 要求 . 已知的水注入的速率显然就是水槽内水体积V对时间t的导数, 如能求出两变量V与h的关系, 与就是一对相关变化率. 由于, 速率 , 代入整理即得 .设函数与可微，如果这两个变量之间存在某种关系，则它们的变化率 与 之间也存在一定的关系，我们称这两个存在一定关系的变化率为相关变化率. 如已知其中的一个 ，利用其关系就可求出未知变化率 .求解的关键是建立与 所满足的关系式，然后等式对求导即得 与 的关系式，再将已知的变化率 带入即可得所求的变化率 . 7. 提示：设t为时间变量, 由条件知 , 再由知, 与就是一对相关变化率

24、: . .习题2-5 （P.74）1. 提示 (5) .3. 简解 解法一(求导法) 视y为x的函数, 方程两端直接对x求导, 得,解之可得，再由即可得.解法二(利用一阶微分不变性) 不去区分x与y谁是自变量或因变量, 方程两端求微分, 得dx 与dy所满足的关系式,从中解出dy即可.4. 提示 (4) .一般地, 越小, 近似的精确程度就越好.5. 提示 .第二章总习题（P.75）1(3) 例如在点处均不可导，但在点处是可导的，在点处也可导. 再如，一个是狄利克雷函数 另一个为 ， 这是两个处处不连续的函数，于是处处不可导. 但都是常数函数，所以是处处可导的. 2提示 (1) 注意到函数在点

25、两侧的表达式一致，故直接应用连续和导数的定义来判断即可，但考察极限与 时，应注意由于，而，故函数当时的极限不存在. （因为, , 即极限不存在）, 这是初学者容易忽视的一个事实. (2) 函数在点两侧的表达式不一致，故应通过判断左、右极限和左、右导数的存在性与相等性得到结论. 3. 提示： (1) y为幂指函数, 可转化为以e为底的复合指数函数. (3) 用对数求导法简单. (5) 将函数变形为 再求导. 4简解 (1) 两边分别对x求导，得, ,.(2), 由隐函数求导法则得， 故 ，所以 ，； .5. 提示 先求参数方程所确定的函数的导数表达式，再令(已知直线的斜率)，将解得的参数值带入曲

26、线方程即可得所求点的坐标.6简解 由 求极限即可.7简解；.有同学错为： , 错误原因在于没理解一般仍是变量的函数, 现要将对y求导, 应视x为中间变量, 视x为y的函数, 由链式法则应先对中间变量x求导, 再乘以x对y的导数. 在求 时也有类似的问题.8简解 即已知, 得.9简解因为 , 又连续,所以, 而, 不存在.对含绝对值的函数，一般应先脱掉绝对值符号，化为分段函数, 再用导数定义来处理. 改述第9题可以得到一个有用的结论: 设, 且连续, 则当且仅当时, 在处可导. 例如1998年数学（二）题目， 函数不可导点的个数是 .(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0分析， 连续,

27、且, 在点处可导；连续, 且, 在点处可导；连续, 但, 在点处不可导；故应选(B).10简解 时, ； 时,，. 又可导, .11简解注意到无穷小与有界量的乘积仍为无穷小.(1) ， n为任意自然数时，f (x) 连续. (2) ， n>1时，f (x) 可导.(3) 且 ， n>2时，f (x) 的导数连续。四、提高训练题：1填空题：（1）设函数，则在内( ).(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点（2）设可导，则是在点处可导的( ). (A) 充分必要条件 (B) 充分而非必要条件(C) 必要而非充分条件 (D) 即非充分也非

28、必要条件 （3）已知函数在任意点的增量，且当时，a是的高阶无穷小，则 ( ). (A)(B)(C)(D)(4) 设函数可导，且，并对任意实数x和h，恒有，则( ). (A) (B) (C) (D)2. 设函数具有连续的导数，且函数 在处连续，求. 3. 设函数、在点处可导，证明：当时，是的高阶无穷小量的充分必要条件是曲线与曲线在点处相交且相切. 4. 设在点a可导，且，求极限 .5. 试确定常数a,b的值，使函数连续且可导，并求出此时的.6. 已知是周期为5的连续函数，它在的某个邻域内满足关系式其中是当时比高阶的无穷小，且在处可导，求曲线在点处的切线方程. 7. 求函数在处的n阶导数(). 8

29、. 设函数由方程所确定，求. 9. 设函数由方程所确定， 求. 10. 设曲线由方程组所确定，试求：，.11. 有一盛满水、深为18cm，顶部直径为12cm的正圆锥漏斗，水由漏斗下端小孔直接流进其下接的一个直径为10cm的圆柱形水桶(如右图). 试问档漏斗中水深为12cmh (t)12cm，且其水平面下降速度为1cm/min时，圆柱形水桶的水平面上升的速度是多少？ 提高训练题解答：1填空题：（1）解： 先求极限以确定函数，此时应注意指极限变量为.，当时， 因为 ， 故；当时，因为 ；所以 因为 ， 所以在处函数不连续，从而不可导，故应选(C) （2）解： 此题为在分段点两侧表达式不一致的分段函

30、数在分段点处的可导性问题，故可以利用左、右导数的定义来解决. 显然，在的可导性决定于 的可导性.，而可导的充要条件是，这等价于， 应选A.注意： 对于含绝对值的函数，一般先脱掉绝对值号，转化为分段函数来处理；讨论抽象函数在某点的可导性，或求其在某点的导数值，一般只能用导数定义来解决. （3）解：由题意知 ， 分离变量得 ，由此容易看出 ( C为任意常数), 代入得， 从而 ， 于是 ， 故应选D.（4）解：分析对任意实数x都成立，故对也成立， Þ. ， 故应选(A).2解：由的连续性知 ， 故有，从而有 ， 则有； 由上式可知，再由的连续性即知. . 3证： 必要性： 由条件知应有 ， 从而应有 ，再由其连续性可知， 即有 ， 两曲线相交；又. 即有 ， 两曲线相切.从几何角度很容易理解此