全等三角形得相关模型地地总结汇总情况情况

1、实用标准文案全等的相关模型总结一、角平分线模型应用1.角平分性质模型：辅助线：过点G作GEL射线AC(1).例题应用:如图1,在AABC中，/C=900，AD平分/CAB,BC=6cm,BD=4cm,那么点D到直线AB的距离是 cm.如图2,已知，21=/2, /3=/4.求证：AP平分/BAC.图1图22 (提示：作 DEAB交AB于点E):/1=/2 ，PM =PN 丁/3=/4 /, PN =PQ - PM =PQ, PA平分/BAC.模型巩固:练习一：如图3,在四边形ABCLfr, BC>AB AD=CD BD平分/BAC .精彩文档.求证：/A+/C=180*练习二：已知如图4

2、,四边形ABCDK/B+/D =1800,BC =CD.求证：AC平分/BAD.练习三：如图5, RtAABC中，/ACB = 90°, CD_LAB,垂足为D, AF平分/ CAB,交CD于点E交CB于点F.求证：CE=CF.(2)将图5中的 ADE沿AB向右平移到 MD E的位置，使点E落在BC边上，其他条件不变，如图6所示，是猜想：BE于CF又怎样的数量关系？请证明你的结论图6练习四：如图 7, /A=90 : AD / BC , P是AB的中点，PD平分/ ADC求证：CP平分/ DCB练习五：如图8, AB>AC /A的平分线与 BC的垂直平 分别为E, F.求证：B

3、E=CF练习六：如图9所示，在 ABC中，BC边的垂直平分线DEI AB 于 E,并且 AB>AC 求证：BE- AC=AE练习七： 如图10, D E、F分别是 ABC的三边上的点， 求证：AD平分/ BAG2.角平分线+垂线，等腰三角形比呈现A1图7 分线相交于 D,自D作DE! AB, DF± AC,垂足AD图8DF交ABAC的外角平分线 AD于点D, F为垂足，B BC点9CE=BF且4 DCE的面积与 DBF的面积相等，A二二 BDC辅助线：延长 ED交射线OBT F辅助线：过点E作EF/射线OB(1) .例题应用： .如图1所示，在 ABC中，/ ABC=3Z C,

4、 AD是/ BAC的平分线，BEX AD于F。，、1-求证：BE =-(AC - AB)2证明：延长BE交AC于点F。 .已知：如图2,在MBC中，/BAC的角平分线AD交BC于D,且AB =AD,1.作CM _L AD交AD的延长线于 M.求证：AM =一(AB+AC)2图2分析：此题很多同学可能想到延长线段CM但很快发现与要证明的结论毫无关系。而此题突破口就在于AB=AD由此我们可以猜想过 C点作平行线来构造等腰三角形 .证明：过点 C作CE/ AB交AM的延长线于点 E.例题变形：如图，21=/2, B为AC的中点，CM _LFB于M,AN _LFB于N.求证：EF =2BM；1FB (

5、FM FN).2A.模型巩固:练习一、 如图3, A AB佻等腰直角三角形，/ BAC=90 , BD平分/ ABC交AC于点D, CE垂直于BD交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE练习一变形：如图4,在 OD阱，/D=900，EC是/DCO的角平分线，且OE 1 CE过点e作EF _LOC交OC于点F.猜想：线段EF与OD之间的关系，并证明图4练习二、如图 5,已知 ABC中，CE平分/ ACB且A已CE / AEDb / CA打180度，求证：DE BC练习三、如图 6, AD1 DC BC± DC E是DC上一点，AE平分/ DAB BE平分/ ABC 求证：点 E是DC

6、中点。练习四、如图7(a), BD、CE分别是*ABC的外角平分线，过点 A作AD,BD、1 ,”DE = (AB BC AC)AE _LCE,垂足分别是 D、E,连接DE.求证:DE / BC,2图 7 (c)D、如图 7(b), bd、CE励是ABCMWmMtBU、如图7(c), BD为4ABe的颂也线CE为AABC制仰阳线其他条件不变.则在图7 (b)、图6 (c)两种情况下，DE与BC还平行吗？它与 ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并证明你的结论.(提示：利用三角形中位线的知识证明线平行)练习五、如图8,在直角三角形 ABC中，NC=90*, NA的平分线交 BC于D .

7、自C作CG _L AB交AD 于E ,交AB于G 自D作DF _LAB于F ,求证：CF _L DE 图8练习六、如图9所示，在 MBC中，AC >AB, M为BC的中点，AD是NBAC的平分线，若CF _L AD且交AD的延长线于F ,4-1求证 MF ="AC - AB ).练习六变形一：如图 10所示,点，求证DE IIAB且图9AD是 MBC中NBAC的外角平分线， 。口，八口于口，E是BC的中1DE =(AB +AC).2练习六变形二：如图11所示,AB +AC =2AM .在 AABC 中，AD 平分/BAC, AD=AB, CM_L AD于M ,求证DM图11练习

8、七、如图12,在AABC中，/B=2/C , NBAC的平分线 AD交BC与D .则有AB+BD = AC .那 么如图 13,已知在 AABC 中，4BC=3/C, /1 =/2, BE_LAE.求证：ACAB=2BE.图13练习八、在 4ABC中，AB=3AC, /BAC的平分线交 BC于D ,过B作BE _L AD , E为垂足，求证: AD=DE .练习九、 AD是 MBC的角平分线，BE _L AD交AD的延长线于E ,求证：AF=FB.EF II AC 交 AB 于 F .3.角分线，分两边，对称全等要记全两个图形的辅助线都是在射线OA上取点B,使OB=OA从而使&OAC

9、AOBC.(1) .例题应用：、在 ABC中，/ BAC=60 , / C=4(J , AP平分/ BAC交 BC于 P, BCff 分/ ABC交 AC 于 Q 求证：AB+BP=BQ+AQB 口C思路分析：1)题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2)解题思路：本题要证明的是AB+BP=BQ+A皈势较为复杂，我们可以通过转化的 思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过O作BC的平行线。得4AD堂4AQO得到OD=OQAD=AQ只要再证出BD=O僦可以了。解答过程：图证明：如图（1），过O作OD/ BC交AB于D, ./ADO=ABC=180 60°

10、; 40° =80° , 又. / AQO= C+/ QBC=80 , ./ADO=AQO又. / DAO=QAO OA=AO . .AD堂 AAQOOD=O QAD=AQ又 ; OD/ BP, ./ PBO= DOB 又./ PBO=DBO ./ DBO= DOB .BD=O D又. / BPAWC+/PAC=70 , / BOP= OBA+ BAO=70 , ./BOP= BPO .BP=OBAB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ解题后的思考：(1)本题也可以在AB上截取AD=AQ连OD构造全等三角形，即“截长法”(2)本题利用“平行法”的解法也较多

11、，举例如下：如图(2),过O作OD/ BC交AC于D,则AADOiABOA而得以解决。图(2)如图 ，过。作DE*BC交AB于D,交AC于E,OJiJAADO£SAAQO, AB。色AEO从而得以解决,B pC图(3)如图，过P作PD#BQ交AB的延长线于D,则AAPD经APC从而 得以解决.如图(5),过P作PD/ BQ交AC于D,则4AB国/XADPA而得以解决。小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形 而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转 移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，

12、实质都是对 三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。A的任意一点，试比较、如图所示，在 MBC中，AD是/BAC的外角平分线，P是AD上异于点 PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由.【解析】PB +PC >AB +AC ,理由如下.如图所示，在 AB的延长线上截取 AE=AC,连接PE .因为AD是ZBAC的外角平分线，故 ZCAP=/EAP .在 MCP和 AAEP 中，AC=AE, /CAP=/EAP, AP公用，因此 MCP MEP ,从而PC =PE .在 ABPE 中，PB+PEaBE,而 BE =BA+AE =AB +AC ,故 PB+PC>AB

13、+AC .变形：在 MBC中，AB>AC, AD是/BAC的平分线.P是AD上任意一点.求证：ABAC > PBPC.【解析】 在AB上截取AE=AC,连结EP,根据SAS证得 MEPMCP, . PE = PC, AE = AC 又阳EP 中，BE>PB-PE, BE = AB-AC , . AB-AC >PB-PC(2)、模型巩固：练习一、.如图，在 ABC中，ADL BC于D,CD= AB+ BD,/ B的平分线交AC于点E,求证：点 E恰好在BC的垂直平分线上。练习二、如图，已知求证：AD+ BD= BC练习三、如图，已知求证：AC+ CD= ABABC中，AB

14、= AC, / A= 100° , / B 的平分线交 AC于 D,ABC中，BC= AC, Z C= 90° , / A 的平分线交 BC于 D,D练习四、已知：在 ABC中，BB的平分线和外角 /ACM的平分线相交于 D, DF BC,交AC于E,交AB于F,求证：EF =BF -CE练习五、在 ABC中，AB=2AC,AD平分/BAC, E是AD中点，连结 CE ,求证：BD = 2CE变式：已知：在 ABC 中，/B =2/C,BD 平分 NABC, AD_LBQ 于 D,一1 一求证：BD = AC2练习六、 点E.求证:已知：如图，在四边形 ABC邛,AD/ B

15、C,BC=DC,CF¥分Z BCD,DF/ AB,BF的延长线交 DC于(1) BF=DF;(2) AD=DE.练习七、已知如图，在四边形ABCD中，AB+BC=CD+DA/ ABC的外角平分线与/ CDA的外角平分线交于点P.求证：/ APB=Z CPD练习八、如图，在平行四边形 ABCD（两组对边分别平行的四边形）中，E, F分别是AD AB边上的点,且BE DF交于G点，BE=DF求证：GO/ BGD勺平分线。练习九、如图，在 ABC中，/ ACB为直角，CMLAB于M AT平分/ BAC交CM于D,交BC于T,过D作 DE/ AB交 BC于 E,求证：CT=BE.练习十、如图

16、所示，已知 MBC中，AD平分/BAC , E、F分别在BD、AD上.DE =CD , EF = AC .求证：EF / AB【补充】如图，在 MBC中，AD交BC于点D ,点E是BC中点，EF II AD交CA的延长线于点 F , 交AB于点G ,若BG =CF ,求证：AD为ZBAC的角平分线.4.中考巡礼：(1).如图1, OP是/AOB的平分线，请你利用图形画一对以 OP为所在直线为对称轴的 全等三角形，请你参考这个全等三角形的方法，解答下列问题。、如图2,在 ABC中，/ACB直角，/ B=600, AD CE是/ BAC /BCA勺角平分线,相交于点F,请你判断并写出EF与DF之间

17、的数量的关系。、如图3,在4ABC中，/ACB是直角，而(1)中的其他条件不变，请问，(1)中的结论是否任然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.如图，在平面直角坐标系中，B (-1 , 0), C (1, 0) D为y轴上的一点，点A为第二象限内一动点，且/ BAC=2/ BDO过点D作DMLAC于M、求证：/ ABDW ACD、若点E在BA的延长线上，求证：AD平分/ CAE理由二、等腰直角三角形模型1.在斜边上任取一点的旋转全等:操作过程:(1) .将ABD®时针旋转90°,使AC阵AABED从而才|出4 ADMJ等腰直角三角 形.(但是写辅助线时不能这样写)(

18、2) .过点C作MC _L BC ,连AM导出上述结论.2.定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等:操作过程：连AD.(1) .使 BF=AE(AF=CE,导出 zXBDHAADE.(2) .使/EDF它 BAC=800,导出 ABD/AADE.(1)、例题应用:在等腰直角44。中，440=90%点M.Nfi斜边BC上滑动，且4LV=45。是探究MV、CA之间的数量关系.yrc±sc解析：方法一：过点c作过点另作.vzyG使N5二ex连av1方法二：使ire二五此连41r.BA结论：BMCNAfX22,两个全等的含30。,60涌的三角板.5磊口三角板46C,如图所示放置, E

19、. A. CH点在一条直线上，连接5D,取5D的中点就 连接ME, MC是判断£”(充)形状，并证明你的结论.证明：方法一：连接 AM证明 MDEMACI别注意证明 ZMDE =MAC.方法二：过点M作MNLEC交EC于点N,得出M财直角梯形的中位线，从而导出ME3等腰直角三角形.B(2)、练习巩固： 已知：如图所示，RtAABC中，AB=AC /BAC=90： O为BC中点，若M N分别在线段AC AB上移动，且在移动中保持 AN=CM.、 是判断 OMNJ形状，并证明你的结论.、当M N分别在线段 AC AB上移动时，四边形 AMON)面积如何变化？思路：两种方法: 在正方形AB

20、CM, BE=3 , EF=5 , DF=4 ,求/ BAEN DC的多少度.3 .构造等腰直角三角形（1）、利用以上的1和2都可以构造等腰直角三角（略）（2）、利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角如下图：图3-1图3-2操作过程：在图3-2中，先将ABW BD所在的直线为对称轴作对称三角形，再将此三角形沿水平方向向右平移一个正方形边长的长度单位，使例题应用：已知：平面直角坐标系中的三个点，A1，。）b（2,7）C（0,3）,求/OCA+OCB勺OCB+OCA=45Q4 .将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：图4-2图4-1例题应用：如图，在等腰直角WBG4cB=9叫次部一点，满足PB

21、=PCr 且34c求证二 4cp152思路：构造正方形ACBM可以构造出等边 APM从而造出上AP=4C*F=7 卜一一 一可得，再由于，故而得到从而得 证.例题拓展：若ACB=2ABC ABC不是等腰直角三角形，即,而是，其他条件不变，求证：/2=2/1.练习巩固：在 平面直角坐标系中，A (0,3 )，点B的纵坐标为2,点C的纵坐标为0,当A、B、C三点围成等腰直角三角形时，求点B、C的坐标.(1)、当点B为直角顶点：(2)、当点A为直角顶点:图3图4(3)、当点C为直角顶点:图5图6三、三垂直模型(弦图模型).由 4AB昌BC*出 EC=AB-CDABC中，AB=AC /BAC=90 ；

22、 D为 AC中点,AF± BD于 E,交由4AB草BCD1出ED=AE-CD1.例题应用：例1.已知：如图所示，在4BC于F,连接DF.求证：/ADBWCDF.由4AB昭BCDt出BC=BE+ED=AB+CD思路：方法一：过点C作MCl AC AF的延长线于点 M.先证4AB隹ZXCAM 再证 zXCDF ACMFIP可.方法二：过点 A作AML BC分别交BD BC于H M先证4AB由ZXCAF 再证 CDF AADFfP 可.方法三：过点A作AML BC分另1J交BD BC于H M先证Rt/XAMF RtzXBMH得出 HF/ AC.由M D分别为线段AG BC的中点，可得MD为

23、zABC的中位线从而推出MD/ AB,又由于jBAC=90：故而MD_ AC MD_ HF,所以MM线段HF的中垂线.所以/ 1=/2.再由/ADB-/ 1=/ CD+/2 ,则 /ADB/CDF.AB=AC A附CN AF± BM于 E,交BC于F,连接NF.求证： /ADB/CDF. BM=AF+FN思路：同上题的方法一和方法二一样 .拓展（2）：其他条件不变，只是将 BMF口 FN分别延长交于点 P,求证：PM=PN PB= PF+AF.思路：同上题的方法一和方法二一样.例2.如图2-1 ,已知AD/ BC, AABEn CDF是等腰直角三角形，/EA3/CDF90,AD=2

24、BC=5求四边形AEDF勺面积.E图2-1解析：如图2-2,过点E、B分别作EN! DA, BM£ DA交DA延长线于点N、M. 过点F、C分别作FP± AD CQL AD交AD及AD延长线于点 P、Q111题边形 EAFD =s AED s Adf*AD EN 2 AD FP =2 *AD EN FPABEffi CDF是等腰直角三角形，； /EAB/CDF90 AE=AB DF=CD. ENJX DA BML DA FP，AR CQL AD, . / NMB/ ENAW FPDW DQC90 . ./ENAW MBA, / FDP玄 QCD. ENM ABM "

25、;P庄 DQC.NE=AM PF=DQ . NE+PF=DQ+AM=MQ-AD. AD/ BC CQ/ BM /BMN90： . .四边形 BMQC1夕|形. . BC=MQc1 cS四边形 eafd - - 2 3=3.; AD=2 BC=5 /. NE+PF=5-2=32图2-22.练习巩固：(1)、如图(1) -1,直角梯形ABCg, AD/ BC, /ADC90： l是AD的垂直平分线,交AW点M以腰AB为边做正方形 ABFE EPL 1于点P.求证：2EP+AD=2CD.(1) -2实用标准文案(2)、如图，在直角梯形 ABCM, ZABC=90=, AD/ BQ AB=AC E是 AB的中点,CEL BD.求证：BE=AD；求证：AC是线段ED的垂直平分线；ABCD等腰三角形吗？请说明理由.四、手拉手模型1. AABE?HzACF均为等边三角形2. ABDffi ACE均为等腰直角三角形精彩文档D结论：(1) . AABFAAEC0(2) . Z BOE=BAE60 (“八字模型证明”)(3) .OA平分/EOFA拓展：条件：ABCffi CDE匀为等边三角形结论：(1)、AD=BE (2)、/ACBWAOB (3)、 PCM等边三角形(4)、PQ/ AE (5)、AP=BQ (6)、COF分/AOE (7)、OA=OB+OC(8)、OE=OC+OD (