(整理)数值计算方法复习题1

1、精品文档精品文档习题一1 .下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，试指出它们有几位有 效数字以及它们的绝对误差限、相对误差限。（1） X =10021 ；（2）弓= 0.032 ； （3）=385.6；（4）仆=65.430；（5）=7x1。，； （6）4 = 010x10； 工；二 654300；(1) 5,(2)r10-1(6) 2,-X10-361x10；5,-X10-1,二6,c 一 X10 2,二-X104IxlO-41,(3) 4,1x10 2，14 ；2 .为使下列各数的近似值的相对误差限不超过0.10x1。-"问各近似值分别应取几位有效数字？. ）1 = 4;口 =

2、3;n = 43 .设 由石芯均为第1题所给数据，估计下列各近似数的误差限。（1）芯+芯+芯；公F；（3）芯（1） 05055x1。4；（2） 05啷5x104；（3） 4见*联4 .计算/=（滥T> ,取企寿L4 ,利用下列等价表达式计算，（3）的 结果最好.（1）（冉1 尸；（2）0-2或下；（3）胃 + W （4） 99-70725 .序列上满足递推关系式 片=1妫一1伪二12,）若册=也罔1.41（三位有效数字），计算 为时误差有多大？这个计算过J_ y in®程稳定吗？不稳定。从也计算到九时，误差约为26 .求2岁/_561+1=0的两个根，使其至少具有四位有效数字（

3、要求利用 闹舟27982）。工产55982,修皿的7 .利用等式变换使下列表达式的计算结果比较精确。2。且叼,22(14- 2x)(1 + X)#+】d j 1 +14）1忖1武强778 .设4=刊*公，求证：1） 1aLG = Q工2产.）2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差增大；反向递推时误差函数减小。9 .设x>0,x*的相对误差为8 ,求f（x）=ln x的误差限。解：求lnx的误差极限就是求f（x）=lnx 的误差限，有顼2）=|侬-® *） 0鹏菽I及工）13已知 X*的相对误差占满足下, 而4目.In及式幻J工7区火工水）=乙1Y1X,| in x / 凤阖9

4、11* K；即出1B心二邑尹匕£邑故工|工|-认工）即对 1-51-J10 .下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。-1 1：- -：-，解：直接根据定义得若有5位有效数字，其误差限相对误差限"区"3厂其有2位有效数字，的）今"的"%"右有5位有效数字，11 .下列公式如何才比较准确?+1!L + - -(1)N 1 + /(2) V X V 工 解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式h 1+ xydc = arc tan(N +1) - arc tanbJ1

5、2 .近似数x*=0.0310,是位有(3位)有效数字13 .计算二(应取点注14,利用(*&)式计算误差最小kT <3 - 2冷匕工尔,99 - 7。立习题二1.已知 人。) = L") = 2J(2)=4 ,求/的二次值多项式。 月= 1J2 + lx+ I222 .令工小口丙=i，求的一次插值多项式，并估计插值误差。解：8=i+(l-i)工；&二了就k-1), e介于x和0,1决定的区 间内；N当xw(Ql)时。3 .给出函数y=5由彳的数表，分别用线性插值与二次插值求sin0.57891 的近似值，并估计截断误差。0.54667,0.000470 ; 0

6、.54714 , 0.0000290.40.50.60.70.8sin五0.389420.479430.564640.644220.717364 .设x)= M ,试利用拉格朗日余项定理写出以 -LQL2为节点的三 次插值多项式。一：匚-.二5 .已知胸=八八3"1,求加7,烟及册的值。1,06 .根据如下函数值表求四次牛顿插值多项式，并用其计算 负1£82）和/（L813）的近似值。方碗将 259633, /（1.813） 2,98281X1.6151.6341.7021.8281.921F2.414502.464592.652713.030353.340667 .已知函

7、数=/（力的如下函数值表，解答下列问题（1）试列出相 应的差分表；（2）分别写出牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式。X0.00.10.20.30.40.5f (x)1.001.321.682.082.523.00解：向前插值公式二 ''二- I-向后插值公式1:'' 12 k w8.下表为概率积分 ""”式的数据表，试问：1）1=口.472时, 积分P = ?2）为何值时,积分P=0.5?取0.495552814769359X0.460.470.480.49P0.4846550.49374520.50274980.51166839.利用加）在

8、彳=01。2。30405各点的数据（取五位有效数 字），求方程 fG） =。在0.3和0.4之间的根的近似值。0.3376489 10.依据表10中数据，求三次埃尔米特插值多项式。4/-31x01X012Y0-23y c0112.在-44144上给出二或的等距节点函数表，用分段线性插值 求建的近似值，要使截断误差不超过1°,问函数表的步长h应怎样 选取？上113.将区间切分成n等分，求/) = /在a切上的分段三次埃尔米特插值多项式，并估计截断误差。：14、给定了=品的数值表0.40.50.60.7Ln x-0.916291-0.633147-0.510326-0.355675用线性

9、插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限 解： 仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值，并应用误差估计。线性插值时，用 0.5及0.6两点，用Newton插值In 0.54-0,693147 +-0 510826+ 0.6931470.6-0,5(0 54-0.5) = -0 620219国唱词4网 的侬=x4xQ 04x0 06 = 0,0048二次插值时，用0.5, 0.6, 0.7三点,作二次 Newton插值1n 0.54 碑 <620219+ /0一5。电0一7 (0.54 - 0 5)(0 54-0 6) = -0,620219 + (-1.

10、40850) x0.04x(-0.06)=-0,6168392 1A12汨力曰限阳风|(1 5go6)5-0一7忆«)= >，跖=总和|a)| <1x16x0 04x0.06x0 16<0.001024故15、在-4WxW4上给出/=亡的等距节点函数表，若用二次插值法求产的近似值，要使误差不超过10”,函数表的步长h应取多少？解：用误差估计式，汴=2J=匕*,/飞幻=产 空署"1/（司一式切工/4 产七皿*"-尊1）（”号）（"公】）|令不T <X<Xi+th .不一看】演一1 玉-及西+1二毛+、因MdQSFSf 】）卜

11、3+川 <1°T /曰泥（口x10Y.口.00663J3 得 J16、若/T +八女+1,求2。,2,？和/2。0产/，对（月解：由均差与导数关系八°1 sj 1fW = / + / + 3兀+1J叫M =二 o工曰力2。2,0=1=。于是"17、若/=4虱=5一/）（工一片）（工一工互异，求迎见得的值,这里pWn+1.解：y=4+G)ja)=og = o1,由均差对称性 小.x浸于8发小1a)可知当PC有力/，孙打:°H+i) _ 1M+1 W 一 日JE，小,/," = Z / (再)/ &式/)= 而当p= n+i时方0,

12、Pn工曰/曰/二和D,-于是得U，P = n+1= M - 2。18、 求证网 解：只要按差分定义直接展开得£1方=£ (八%1 -物)j-o J-0=皿一"+Av*t -+-+AXi -AVo=5-Ayq19、已知/R)=£hx的函数表Zi00.200.300.5000.201340.304520.52110求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差 的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表Kif(K；)一阶均差差三阶均差000. 200.201541.00670.300.304521,03180.083670.

13、500.621121.08300. 170670.17400当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式可得|&(0,23)| =10为卬/023血23)由于力与,入论,修。23M 0.033133艮(0 23)| < 0 033133x 0 23x 0.03 x 0 07 x 0 27 <4 32xlO-fi20、给定f(x)=cosx 的函数表X00 10.20.30140.50.1531.000000.9

14、95000.980070.955340.921060 877530.82534用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估 计误差.力芭C30.04&工=032力= 0/ 二 i= 0,48 m 办“，工解：计算力 ，用n=4得Newton刖插公式N式%=从）=儿+研上+警上« 1） +警“上一1）Q 2） +警上&-1）（上一©Q- 3）=1 00000 + 0.480.005000 52 -0-993 - 1 52乎-2.52 乂0.0001224坦*及。例归等一】）（"-3X-4） <1.5545x1

15、0=0-565计算。$0,566时用Newton后插公式0.566,&=0 6/ = = 0,34(5.18)cos0.566 阳阳(仆 + th) = / + 守6f +£(£ + 1)+ DR + 2) + t(t +1)(/ 4- 2)(上 + 3)= 0.02534-0.34 x-0 05224 十 0 66 M-0.00876 + 1.66x2(090044 0 00009十 2 66 M24 )= 0.34405艮（0究6）归冬+DU + 2）（/十碘+硼< 1 7064 X10- 伏差估计得 这里M$仍未0.56521 .求一个次数不高于四次的多

16、项式p(x),使它满足跃口打工旧女印7叔少1解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处可先造鸟 使它满足外(°)二°，外。)=4=1 ,显然之二-幻，再令p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2 由 p(2)=1 求出 A=,于是 4422 .令鼠=称为第二类Chebyshev多项式，试求 外的表达式，并证明%是-1,1 上带权"(X)=石二0的正交多项式 序列.解： 因4.l(x)= 8式弱 +l)anccos x,、1、 sin( +l)arccos x% M= =界+ 1Jl*令工-C0£8C 4 (力办(或)忑二予西=二sin(?s

17、 +1)3 sin( m + X)Q10瓷i丰聂冽二芹23、用最小二乘法求一个形如尸的经验公式，使它拟合下列数 据，并计算均方误差.192531384419.032.34973.397.8解：本题给出拟合曲线 广。+ "即加"= 1仍=/,故法方程系数(就,)(/)=544(仰，/)=22曷=5327,=£4 =7277699 M)，M(W y) =NAi = 2714f) = Zw"= 36932L5 i-0Xp«+5327Z>= 271.4法方程为11解得- ''-' ' " -最小二乘拟合曲线为：一一口 |怵二网一（仰,厂）一双0 0150321均方程为1）满足条件Pt，KD=p'Q）膜2K插值