2015年浙江省高考数学试卷(理科)

1、高考真题及答案2015年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招 生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1. （5 分）已知集合 P=x| x2-2x>0, Q=x| 1<x<2,则（?rP） n Q=（A. 0, 1） B. （0, 2 C. （1, 2） D. 1, 22. （5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积是（aM 2俯视图A. 8cm3B. 12cm3 C.- D - -033. （5分）已知an是等差数列，公差d不为零，前n项和是若a3, a4, 为 成等比数列，则（）A. ad&

2、gt;0, dS4>0 B. &d<0, d&<0 C. ad>0, d&<0 D. a1d<0, d9>04. (5分)命题？ nCN*, f (n) N*且f (n) & n”的否定形式是()A. ? nCN*, f (n) ?N* 且 f (n) >n B. ? n N*, f (n) ?N* 或 f (n) >nC. ? n0 N*, f (m) ?N*且 f (n0)>n0 D. ? gCN*, f (m) ?N*或 f (n0)>/5. (5分)如图，设抛物线y2=4x的焦点为F,不经

3、过焦点的直线上有三个不同 的点A, B, C,其中点A, B在抛物线上，点C在y轴上，则 BCF与4ACF的 面积之比是()C、A I1, ' B 一； C ' D ",Hi I，-,-6. (5 分)设 A, B 是有限集，定义：d (A, B) =card (AU B) - card (AH B), 其中card (A)表示有限集A中的元素个数()命题：对任意有限集 A, B, "於B'是"d(A, B) >0”的充分必要条件；命题：对任意有限集A,B,C, d(A,C)<d (A,B)+d (B,C)A.命题和命题都成立

4、B.命题和命题都不成立C.命题成立，命题不成立D.命题不成立，命题成立7. (5分)存在函数f (x)满足，对任意xC R都有()A. f (sin2x) =sinx B. f (sin2x) =x2+x C. f (X2+1) =|x+1| D. f(x2+2x) =| x+118. (5分)如图，已知 ABC, D是AB的中点，沿直线CD将4ACD折成AA' CD 所成二面角A'-CD- B的平面角为a,则()BA. / A' DB a B. / A' DB a C. / A' CB a D. /A' CB a二、填空题：本大题共7小题，多空

5、题每题6分，单空题每题4分，共36分.9. (6分)双曲线卷-y2=1的焦距是,渐近线方程是 二10. (6 分)已知函数 f (x)= 工，则 f (f (- 3) =_乂<1(x)的最小值是.11. （6分）函数f （x） =sin2x+sinxcos>+1的最小正周期是,单调递减区 问是.12. （4 分）若 a=log43,则 2a+2a=.13. （4 分）如图，三棱锥 ABCD中，AB=AC=BD=CD=3AD=BC=2 点 M, N 分 别是AD, BC的中点，则异面直线 AN, CM所成的角的余弦值是 .14. （4 分）若实数 x, y 满足 x2+y2<

6、1 ,则 |2x+y-2|+| 6-x-3y| 的最小值 是.15. （6分）已知看£是空间单位向量， 句:2二），若空间向量E满足 b 巳=2, b*亡之二,， 且对于任息 x , y C R , Ib-（x已+y巳2）| A| b-（xqq+ y口气）| =1 （ x0，y0 C R）,贝（xo=, y0=, I b| =三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.16. （14分）在4ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,已知A4, b2 - a2=yc2.（1）求tanC的值；（2）若 ABC的面积为3,求b的值.17.

7、 （15 分）如图，在三棱柱 ABC- A1B1C1 中，/ BAC=90, AB=AC=2 AiA=4, Ai在底面ABC的射影为BC的中点，D是BiCi的中点.（1）证明：AiDL平面 AiBC;（2）求二面角Ai - BD- Bi的平面角的余弦值.18. (15 分)已知函数 f (x) =x2+ax+b (a, bCR),记 M (a, b)是|f (x) | 在 区间-1, 1上的最大值.(1)证明：当 | a| >2 时，M (a, b) >2；(2)当a, b满足M (a, b) &2时，求| a|十| b|的最大值.19. (15分)已知椭圆 三十一口上两个

8、不同的点A, B关于直线y=mxd对称.22(1)求实数m的取值范围；(2)求4AOB面积的最大值(。为坐标原点).20. (15 分)已知数列an?两足 a1 0且 4+1=0)- an2 (n C N )、一一 二 *(1)证明：10-02 (nC N );an+l7(2)设数列an2的前n项和为Sn,证明犷 二 三.= (nCN*).22) n 2(n+l)2015年浙江省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招 生全国统一考试(浙江卷)数学(理科)1. (5 分)已知集合 P=x| x2-2x>0, Q=x|

9、1<x<2,则(?田)n Q=(A. 0, 1) B. (0, 2 C. (1, 2) D. 1, 2【分析】求出P中不等式的解集确定出P,求出P补集与Q的交集即可.【解答】解：由P中不等式变形得：x (x-2) >0,解得：x<0 或 x>2,即 P=( s, 0U2, +8),?rP= (0, 2),- Q= (1, 2,. (?rP) nQ= (1 , 2),故选：C.【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关 键.2. (5分)某几何体的三视图如图所示(单位：cm),则该几何体的体积是(2 俯视图A. 8cm3B.12cm3 C

10、. 一 D -,JJ高考真题解析【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可.【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱长为 2的正方体，上部是底面为边长2的正方形高为2的正四棱锥，所求几何体白体积为：23+1X2X2X 2星G .33故选：C.【点评】本题考查三视图与直观图的关系的判断， 几何体的体积的求法，考查计 算能力.3. （5分）已知an是等差数列，公差d不为零，前n项和是若a3, a4, 为成等比数列，则（）A. aid>0, dS4>0 B. aid<0, d&<0 C. aid>0, d&<0 D. aid&l

11、t;0, d&>0【分析】由a3, a4, a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断aid和dS4 的符号.【解答】解：设等差数列an的首项为ai,则a3=ai+2d, a4=ai +3d, a8=ai+7d,由 a3, a4, a8成等比数列，得(,+3d) ?= (&i+2d) ( afHd),整理得：3&=-542-334父3（飞&）§186%2以:廿 1（4力!=产廿i（4%丁3）二一-<0.故选：B.【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前 n项和, 是基础题.4. (5分)命题？ nCN*, f (n

12、) N*且f (n) & n”的否定形式是()A. ?nCN*,f (n) ?N* 且 f (n) >n B.?n N*,f (n) ?N* 或 f (n) >nC. ?noCN*,f (no) ?N*且 f (no) >n° D.?no N*,f (no) ?N*或 f (n°) >nO【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论.【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：？ no N*, f (no) ?N* 或 f (no) >nO,故选：D.【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础.5. （5分）如图，设抛物线

13、的点A, B, C,其中点A,y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同面积之比是（OCB在抛物线上，点 C在y轴上，则 BCF与4ACF的CD I.".' I ' I，；- -【分析】根据抛物线的定义,将三角形的面积关系转化为也斗的关系进行求解 |AC|即可.1,【解答】解：如图所示，抛物线的准线 DE的方程为x=-过A, B分别作AE, DE于E,交y轴于N, BD± DE于D,交y轴于M , 由抛物线的定义知BF=BD AF=AE则 | BM| =| BD| 1=| BF| - 1,| AN|=| AE 1=| AF| - 1,sAacf AC

14、AN| |AF|-1 5故选：A.D【点评】本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本 题的关键.6. (5 分)设 A, B 是有限集，定义：d (A, B) =card (AU B) - card (AH B), 其中card (A)表示有限集A中的元素个数()命题：对任意有限集 A, B, "於B'是"d(A, B) >0”的充分必要条件；命题：对任意有限集A,B,C, d (A,C)<d (A,B)+d(B,C)A.命题和命题都成立 B.命题和命题都不成立C.命题成立，命题不成立D.命题不成立，命题成立【分析】命题根据充要条件

15、分充分性和必要性判断即可，借助新定义，根据集合的运算，判断即可.【解答】解：命题：对任意有限集 A, B,若“於B',则AU BwAH B,则card(AU B) >card (AH B),故 “d(A, B) >0”成立，若 d (A, B) >0"，则 card (AUB) >card (AH B),则 AUBAA B,故 AwB 成立，故命题成立，命题，d(A,B) =card (AU B)-card(APB), d(B,C) =card (BUC)-card (B C C),d (A, B) +d (B, C) =card (AU B) - c

16、ard (AH B) +card (BUC) - card (B AC) = card (AU B) +card (BU C) - card (AH B) +card (BAC)>card (AUC) - card (AH C) =d (A, C),故命题成立，故选：A.【点评】本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系 与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查.集合的元素个数， 体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题.7. (5分)存在函数f (x)满足，对任意xC R都有()A. f (sin2x) =sinx B. f

17、(sin2x) =x2+x C. f (x2+1) =|x+1| D. f (x2+2x) =| x+11【分析】利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可.【解答】解：A.取 x=0,贝U sin2x=0,f (0) =0;取 x=-,贝U sin2x=0,f (0) =1;2, f (0) =0,和1,不符合函数的定义；不存在函数f (x),对任意xeR者B有f (sin2x) =sinx；B.取 x=0,则 f (0) =0；取x=兀，则f (0) =，+兀；- f (0)有两个值，不符合函数的定义；该选项错误；C.取 x=1,贝U f (2) =2,取 x=- 1,贝U f (2) =

18、0;这样f (2)有两个值，不符合函数的定义；该选项错误；D.令 x+1=t,则 f (x2+2x) =| x+1| ,化为 f (t2 - 1) =| t| ;令 t21=x,贝U t=±VrKL；f(x)=Vx+l；即存在函数f (x) =Vx+l,对任意x R,都有f (x2+2x) =|x+1| ;该选项正确.故选：D.【点评】本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题 的方法比较难.8. (5分)如图，已知 ABC, D是AB的中点，沿直线CD将4ACD折成AA' CD 所成二面角A'-CD- B的平面角为%则()ABA. / A'

19、; DB a B. / A' DB a C. / A' CB a D. /A' CB a【分析】解：画出图形，分AC=BC ACw BC两种情况讨论即可.【解答】解：当AC=BC寸，/ A' DB予当AC*BC时，如图，点A'投影在AE上，a 士 A OE连结 AA',易得 / ADAcZAOA,/ A' D B / A O E 即 / A' DBa综上所述，/ A DB a,故选：B.B【点评】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题.二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9. (

20、6分)双曲线y2=1的焦距是，眄一渐近线方程是 y=±*x_. 22【分析】确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程.2【解答】解：双曲线3-/=1中， a=/2, b=1, c=Vs, J焦距是2c=2我，渐近线方程是y=±也.2故答案为：2点；y=±x.【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础.-3,10. (6 分)已知函数 f (x)= 工，贝U f (f ( - 3) = 0 : f (x)tlg(x2+l)> 工<1的最小值是_2詹-3一【分析】根据已知函数可先求f (-3) =1,然后代入可求f (f (-3

21、);由于x>1时，f (x)二什2-3,当x<1时，f (x) =lg (x2+1),分别求出每段函数的取值范围，即可求解什2-3，61x ,x<i, f ( - 3) =lg10=1,则 f (f (- 3) =f (1) =0,当x>1时，f (x) =乂+2.32点-3，即最小值2的-3,当 x<1 时，x2+1 > 1 , f (x) =lg (x2+1) >0 最小值 0,故f (x)的最小值是2G3.故答案为：0; 22-3.【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题.11. (6分)函数f (x) =sin2x+sinxc

22、os)+1的最小正周期是冗，单调递减区间是k/", kr+j2L (ke Z).88【分析】由三角函数公式化简可得f (x) Whin (2x-三)+且，易得最小正周 242期，解不等式2k J02x-W2k：+卫可得函数的单调递减区间.242【解答】解：化简可得f (x) =sin2x+sinxcos)+1弓(1 - cos2x) +sin2x+1-WM=sin (2x- -) +-,.原函数的最小正周期为T= =九,2由2kn<2x-<2k4.函数的单调递减区间为k,k可得k(kCZ)<x< k故答案为：兀；k：+N3，k於(k Z) Q8【点评】本题考查

23、三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题.12. (4 分)若 a=log43,则 2a+2、_华【分析】直接把a代入2a+2-a,然后利用对数的运算性质得答案.【解答】解：: a=lo&3,可知4a=3,即2a=百，所以2a+2 a=M+工里L.V3 3故答案为：3【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题.13. （4 分）如图，三棱锥 ABCD中，AB=AC=BD=CD=3AD=BC=2 点 M, N 分别是AD, BC的中点，则异面直线 AN, CM所成的角的余弦值是【分析】连2ND,取ND的中点为:E,连结ME说明异面直线AN, CM所成的角就是/ EMC通

24、过解三角形，求解即可.【解答】解：连结ND,取ND的中点为：E,连结ME,则ME/ AN,异面直线AN, CM所成的角就是/ EMC,. AN=2&, .ME=&=EN, MC=2/2,又 ENL NC,EC机再记He，,co支 EMC=e=.：【一二：故答案为：三.【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力.14. (4分)若实数x,y满足x2+y201,贝”2x+y- 2|+| 6-x-3y|的最小值是 3 . 【分析】根据所给x, y的范围，可得|6-x-3y|=6-x-3y,再讨论直线2x+y-2=0将圆x2+y2=1分成两部分，分别去绝对值，运

25、用线性规划的知识，平移即可 得到最小值.【解答】 解：由 x2 +y2< 1,可得 6x 3y>0,即|6 x 3y|=6 x- 3y,如图直线2x+y- 2=0将圆x2+y2=1分成两部分，在直线的上方(含直线)，即有2x+y 210, gP|2x+y-2|=2x+y- 2,止匕时 | 2x+y 2|+| 6 x 3y| = (2x+y 2) + (6 x 3y) =x 2y+4,利用线性规划可得在A (皂，且)处取得最小值3;5 5在直线的下方(含直线),即有2x+y-2&0,gP|2x+y-2|=- (2x+y- 2),止匕时| 2x+y 2|+| 6 x3y| =

26、(2x+y 2) + (6-x- 3y) =8-3x-4y,利用线性规划可得在A (1, 1)处取得最小值3.5 5综上可得，当x=l, y时，|2x+y-2|+| 6-x-3y|的最小值为3.55【点评】本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值 的方法，属于中档题.15. (6分)已知彳工是空间单位向量，,若空间向量Z满足 。句二2, be2=1-, 且对于任意 x , yCR, |匕-收已+7巳2)|)|1>一(工口匕1 + ¥产2)| =1 (x0, y0 R),则 x0=_1, y0=_2_ ,【分析】由题意和数量积的运算可得< t?

27、3;>'l,不妨设=（工YI, 0）, el e2 3122耳=（1,0, 0）,由已知可解 %=（£,*, t）,可得 |E-（/+¥12=（x+q）WM白2+ （y 2） 2+t2,由题意可得当 x=xo=1, y=yo=2 时，（x+匕工）2+ （y 2） 2+t2 424取最小值1,由模长公式可得|b |.【解答】解：T?=|7*| Tlcos<K?7*>=cos<?>=1,j i jc j c 2 1 c 111 & 2匚匕 2c c 2 I,)不妨设矛(1,叵,0), = (1 , 0, 0), b= (m, n,

28、t),则由题意可知， ='m+匚n=2, 0日1 2 27 *51- p.=m=- 乙解得 m=E, n= ,22;最仔,冬3,E ( x.+yT)=(晟一,x y，力 t)，=X+xy+y2-4x- 5y+t2+7= (x+y4)2+- (y- 2) 2+t2, 24由题意当 x=x0=1, y=y0=2 时，(x+N) 2+ (y-2) 2+t2 取最小值 1 , 24此时 t2=1,故=.：-.-i -=2故答案为：1; 2; 2加【点评】本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.

29、（14分）在4ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,已知A二, b2 - a2，c2.2（1）求tanC的值；（2）若 ABC的面积为3,求b的值.【分析】（1）由余弦定理可得：/二"+c2-2bccQ J，已知b2-a2c2.可得 42b3詈，2=孥心.利用余弦定理可得cosC.可得sinC=yi_cos2c，即可得出tanC巨区.cosC（2）由江耻匚4址）6门。4耳2cX§©=3，可得c，即可得出b-【解答】解：（1） 一4，由余弦定理可得：J=b2+c2_2bccciB?, b2-a2=、Rbc- c2,又 b2a2W，. Vbcc2c

30、2. .加bEc.可得 b； 2,22,4a2=b2- -cc2 ,即 a=Mc2345 2/ 22n2+b2-c2铲，铲一二 VEcosC=2ab 9yV10 乂班 52X CX-c.CC (0, tt),sinC=/l-co S2C=£F Q .tanC=2.cosC或 由 A=, b2 a2c2.42可得：sin2Bsin2A= sin2C, 2 .sin2B=sin2C,2 2. . - 1 cos2B= sinC 22'- sin - =sin2C, -sin ,二=sin2C, 2 . sin2C=sinC, . tanC=2=】口S诋亍bsinC y X-cXc

31、A2解得c=2&.:=3-【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、 同角三角形基本关系式、三角形面积计 算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.17. (15 分)如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，/ BAC=90, AB=AC=2 AiA=4,Ai在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点.(1)证明：AD，平面ABC;(2)求二面角A1- BD- B的平面角的余弦值.x、y、【分析】(1)以BC中点O为坐标原点，以OR OA、OA1所在直线分别为 z轴建系，通过 布？西二耳下？前=0及线面垂直的判定定理即得结论;(2)所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的

32、法向量的夹角的余弦值的绝 对值的相反数，计算即可.【解答】(1)证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OR OA、OA1所在直线分别为x、v、z轴建系.则 BC='2AC=2/2,4。可孙 2Tdh/H,易知 A1 （0, 0,旧），B （72, 0, 0）, C （一加，0, 0）,A （0,加，0）, D （0,-限,V14）, B1 （灰,-加，VH）, 不二（0, - V2, 0）, BD= （-&, - V2, V14）,而二（-加，0, 0）,前=（-2后，0, 0）,西=（0, 0, V14）,卓?西=0，- AiDlOAi,又一1？ ： =0, .-.AiD&#

33、177; BC,X v OAiABC=C| . . AiD，平面 AiBC;(2)解：设平面AiBD的法向量为ir= (x, y, z),不二013尸0由<_> 寸彳 )',丽二0IS尸也y+VH厂。取z=i,得我(Vr, 0, 1),设平面BiBD的法向量为n= (x, y, z),nBD = 0 徂(SxMy+M宜 3=0 由匕前=。'"U-0取z=i,得彘(0, Vr, i),cos< ir,> =_m n_ = =L 一Gllnl 2加&& 8又该二面角为钝角,而角Ai - BD- Bi的平面角的余弦值为-1.8【点评】

34、本题考查空间中线面垂直的判定定理， 考查求二面角的三角函数值，注 意解题方法的积累，属于中档题.18. (I5 分)已知函数 f (x) =x2+ax+b (a, bCR),记 M (a, b)是|f (x) | 在 区间-i, i上的最大值.(i)证明：当 | a| >2 时，M (a, b) >2；(2)当a, b满足M (a, b) &2时，求| a|十| b|的最大值.【分析】(1)明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由 a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；(2)讨论 a=b=0 以及分析 M (a, b) 02 得到-3&a+

35、b01 且-3&b-a0 1, 进一步求出| a|+| b|的求值.【解答】解：(1)由已知可得f (1) =1+a+b, f ( T) =1 - a+b,对称轴为x=-且,2因为|a| >2,所以上或，>1, 2u所以函数f (x)在-1, 1上单调，所以 M (a, b) =maX| f (1), | f ( 一 1) | =max| 1+a+b| , | 1 - a+b|,所以 M (a, b) > (| 1+a+b|+| 1 - a+b| ) >| (1+a+b) - (1 - a+b) | >| 2a| =| a| 222>2;(2)当a=

36、b=0时，|a|+| b|=0又|a|+| b| >0,所以0为最小值,符合题意;又对任意 x - 1, 1.有-2Wx2+ax+b02,得至U3&a+b01 且一3&b -a01, - 24b二”交,4易知(| a|+| b| ) max=max| a- b| , | a+b| =3,在 b=- 1, a=2 时符合题意，所以| a|+| b|的最大值为3.【点评】本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M (a, b)是|f (x) |在区间-1, 1上的最大值，以及利用绝对值不等式变形.19. (15分)已知椭圆号-+/二1上两个不同的点a,

37、B关于直线y=mx+对称.(1)求实数m的取值范围；(2)求4AOB面积的最大值(。为坐标原点).【分析】(1)由题意，可设直线AB的方程为x=- my+n,代入椭圆方程可得(m2+2) y由均值不等式可得：n2 (m2-n2+2)2mny+n22=0,设 A (x1, y1), B (x2, y2) .可得> 0,设线段 AB 的中点 P (xo, yo),利用中点坐标公式及其根与系数的可得 P,代入直线y=mx+k,可得jrQ2_代入>。即可解出.n 21n(2)直线AB与x轴交点横坐标为n,可得&oab片|n|打-了,再利用均值2不等式即可得出.【解答】解：(1)由题意，可设直线 AB的方程为x=- my+n,代入椭圆方程2+y2=b 可得(m2+2) y2- 2mny+n2- 2=0,2设 A (xi, yi), B (x2, y2).由题意， =4m2n2 4 (m2+2) (n2 2) =8 (m2 n2+2) >0,设线段AB的中点P (xo, yo),则y产ro+2hi2+2+n=4 m2+2由于点P在直线y=mx+L上，. 黑一乎1