2019新版考研高等数学模拟测试题库(含答案)

1、如19最新考研数学模拟试题（含答案）学校:姓名:题号一总分得分班级:三：一、解答题1 .计算下列定积分:.xdx;解:原式= 2x23-xdx；解:原式=：(x21-x)dx0(22)dx，| (x -x)dx1x335.1.56 6 611. 622兀(3)( f(x)dx，其中f(x)X,sin x,解：原式 =2 xdx + I sin xdx =兀2一 cosx兀2It1 1.82解:原式=x2dx1dx ix2dx2 1 x33203(5)兀02 d-sin2x dx.解:原式 =.0|sin xc0sx dx =1(cosx- sin x)dx + f 2(sinx - cosx)

2、dx=(sin x cos x)4(一cosx - sin x)2= 2(、. 2-1).TT42 .求下列各微分方程满足已给初始条件的特解：yy sin2x -0, yx=1,y1=二1；2解：特征万程为r - 1 = 0得ri,2 = i对应齐次方程通解为y =c1cosx c2sin x*令y = Acos2x + Bsin2x代入原方程并整理得A = 0,-3Acos2x-3Bsin2x -sin2xB31 .八故通解为y = c1 cosx c2sin x sin 2x .3_g=1Ci = -1将初始条件代入上式得2=1-c2 3=1。2 = 一311故所求特解为y - -cosx

3、 -sin x 一sin2x .33 y -10y 9y =e2x, 丫«=7, y x斗-33.解：r2 -10r 9 =0 r1 二1,2 =9对应齐次方程通解为y = dex - c2e9x人 *2x、一 一1令y = Ae ，代入原方程求得A = 71 .则原方程通解为y = - -e2 c1e - c2e971 1由初始条件可求得q,c2 :2 2故所求特解为y = - (ex e9x) - e2x.273.用对数求导法求下列函数的导数: y= -E3；X)4； (x 1)5'1.解：y = y (ln y) = y ln(x 2) 41n(3 -x) -5ln(

4、x 1) 27-2 (3-x)41455(x 1)52(x 2) 3-x x 1 y =(sin x)cosx;解：y = y(1n y) = y (cosxln sin x) 1, =y(-sinx)1n sinx cosxcosxsin xsinx)2 cosx COs x=(sin x) ( sin xlnsin x y_，(X+3)=.(x 5)(x -4)解:11y =y(1ny) =y2x 1n(x 3)1n( x 5) 1n(x-4)22_/("3) 一 2+J ,(x 5)(x -4) x 3 2(x 5) 2(x-4) a：口旋转，试求极径变化率4. 一点沿对数螺线

5、r=e运动，它的极径以角速度的 dr dr d : a ：a：斛： 一=e a = a 1 e .dt d : dt5. 一个水槽长12m,横截面是等边三角形，其边长为 槽内，当水深0.5m时，水面高度上升多快？解：当水深为h时，横截面为1 2h ,h2s = 一 , _ h = _. h2体积为 V = sh =12dVdh=4 3 2h -dtdt当 h=0.5m 时，=3m312 h2'J- 1 mindt2m,水以3m3 min-1的速度注入水故有 3 = 4、3 2 0.5dh , dt得 也=也(m3. min1).dt 46.曲线弧y=sin x (0<x<兀

6、上哪一点处的曲率半径最小？求出该点的曲率半径 解：y = cosx, y = -sin x.R显然R最小就是k最大，23/2(1 cos x)sin x1 sin x二-2-3/2R (1 cos x)2.2cos x(1 sin x)k =2572-(1 cos x)._ .一兀令k =0 ,得x =为唯一驻点2在 10,- i内，k'>0 ，在，/内，k'<0.I 2/1.2 )所以x=为k的极大值点，从而也是最大值点，此时最小曲率半径为 22、3/2R = (1 cos x)sin x=1.兀x=-7.卜列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件？有没有满足

7、定理结论中的 2 f(x)=0,0 - x ：二 1, x=1,0,1；f (x) = x 1,0,2;0 <x E 砥x = 0,0,可.sinx, f (x)=1,解:f(x)在0,1上不连续，不满足罗尔定理的条件.而f'(x) = 2x(0<xc1),即在(0, 1)内不存在M ,使f'(与=0 .罗尔定理的结论不成立.x -1, 1 - x ： 2, f (x)=1 -x, 0 ： x ：二 1.f'(1)不存在，即f (x)在区间(0,2)内不可导，不满足罗尔定理的条件.1, 1x 2, 而 f (x)二-1, 0 :x ： 1.即在(0, 2)内

8、不存在 ，使f'(D=0 .罗尔定理的结论不成立.因f (0) =1。f (冗)=0，且f(x)在区间0,可上不连续，不满足罗尔定理的条件一 _.一.兀 一” 一 兀而f (x) =cosx(0 cx<明取=,使 广化)=0 .有满足罗尔定理结论的 J.22故罗尔定理的三个条件是使结论成立的充分而非必要条件8 .函数f(x)=(x2)(x1)x(x+1)(x+2)的导函数有几个零点？各位于哪个区间内？ 解：因为 f(2) = f(1)= f (0) = f (-1)= f (-2) = 0 ,则分别在 2, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 2上应用罗尔定理，有2,1)Gj1,

9、0),%w(0,1), w(1,2)，使得代i)=(' )=邑)=(勺)=0因此，f，(x)至少有4个零点，且分别位于 (-2,-1),(-1,0),(0,1),(1 ,2)内.9 .设 f(a)= f(c) = f (b),且 a<c<b, f “(x)在a, b内存在，证明：在(a, b)内至 少有一点，使f鸿)=0.证明：f "(x)在a, b内存在，故f(x)在a, b上连续，在(a, b)内可导，且 f(a) = f(c) = f(b),故由罗尔定理知，m£w(a,c),使得(。)= 0,(c,b),使得f2)=0,又f'(x)在=匕上

10、连续，在(。32)内可导，由罗尔定理知， "w(U)，使f "仁)=0,即在(a, b)内至少有一点 J使f,V) = 0.10 . 设lim -mx-n =5，求常数 m , n的值.x 1 x -12 .解：要使 lim -=5成立，则 lim(x2+mx + n) =0,即 1+m + n = 0 x 1 x -1x 12x mx n 2x m 又 lim = lim =2 m = 5x 1 x -1x-11得 m = 3,n - -411 .已知f (x)在x = x0点可导，证明：f (x° : h) - f (x° - ： h)lhm0h=

11、(口 + P) f (xO).证明：f (xo ： h) - f(x° - 小)limh)0h二：,Hm f(x0 ah)-f(x0)/im fd'hLMxh 0：hhQh=:f (x°)： f (x。)= (1)(A).12 .在半彳5为r的球中内接一正圆柱体，使其体积为最大，求此圆柱体的高 解：设圆柱体的高为 h,则圆柱体底圆半径为 Jr2 -h-V =Jr2_h_ h = <2h -h h3令 V =0,得 h="r.32 3即圆柱体的tWj为 r时，其体积为取大.313.求下列函数的导数y =沃,解:(2)1y= 3 x2;解:y-i 2x1

12、3解:y = x=x62 32x x14.a, b, c取何实数值才能使limx0t2sin x - ax,1 t2dt = c成立.解:因为xt 0时，sinx-axT 0而该极限又存在，故 b=0.用洛必达法则，有所以22. x 1xlim - 二 lim x )0 cosx - a 1 x2 x 0 cosx -aa = 1,b = 0,c = -20,2xlimx J0 - sin x- -2, a = 1.或 a=1,b=0,c=0.15.求下列不定积分，并用求导方法验证其结果正确否:(1),dx1 ex 'exdx11. x解：原式=r -=- -de ex(1 ex)ex

13、 1 exx=x - ln(1 e )c.验证：(x-ln(1 ex) c) =1 xe 1x x A x1 e 1 e所以，结论成立.(2) ln(x J x5 4x x (x 2)二 fx +2 : 3 * * * * * 222/5-4x-x2)dx;解：原式=x ln( x +。1 + x2) J 2,1 x2dx = xln( x 1 x2) - -1 x2c.A、一 一CC -I* 一 一二 2 .12x驯证：xln(x +水 +x ) _。1 +x + c= ln(x + V1 + x ) + x ,2 -22-V1+x2V1 + x=ln(x 1 x2).所以，结论成立. ln

14、(1 x2)dx;2x9斛：原式=xln(1 x ) -2 2dx =xln(1 x ) - 2x 2arctan x c.1 xo-22x22 驯证： xln(1 x ) -2x 2arctan x c = ln(1 x ) x2 一2 2 = ln(1 x ).-1 x 1 x所以，结论正确.(4)5 -4x -x2dx ;解：原式=j：.,；32 -(x 2)2d(x 2) = arcsin x_2 1(x 2). 5-4x -x2 c. 232验证:arcsin2 1 (x 2) . 5-4x-x232=.5 - 4x - x2.解:911 1 -2 14-2x验证： x sin(ln

15、 x)-cos(lnx)c1x、11二一 sin(lnx) -cos(lnx) 一 cos(ln x) sin(ln x) 22xx=sin(ln x).故结论成立.x(6)xe .2dx；(ex 1)2解:1原式=-xd I -ex 1x+xe 1x十1_xe .dx1 e- ln(1 e") c.验证： x x -ln(1 e-x) c故结论成立.-(ex 1) xex(ex 1)2-x-e1 e，xxe(ex 1)2 .23/2dx;(1 x )x斛：原式=ln xd I.1 x2xln x1-x21 x2-dx xxln x 1 ,/2、- ln(x . 1 x ) 1 x2

16、c.验证:xln x2-ln( x 11 x ) c22x2x(1 ln x) -1 x - x ln x . 1 2/1 x22.1 x21x222(1 ln x)(1 x ) - x ln x 1x . 1x2ln x2 .3/2(1 x )所以，结论成立.x sin x , dx;1 cosx解：原式=-x一2 x2cos 一 2, dcosx ,+ xdx - = xd tan - - ln(1 cos x)1 cosx2x . x .、=xtan- - tan-dx - ln(1 cosx)x=xtan- ln(1 cosx) fn(1 cosx) c,x=xtan c2sin x

17、x x sin x +-2 x 2 x 1 cosx 2cos - 2cos -x、. ， x2X1驯证：(xtan c) =tan xsec 一 222 222所以，原式成立.(9) xf (x)dx;解：原式=xdf (x) = xf (x) - - f (x)dx = xf (x) - f (x) c.验证：Ixf (x) -f (x) c I - f (x) xf (x) _ f (x) = xf (x).故结论成立.(10) Jsinn xdx (n >1,且为正整数).解：In = sin n xdx - - sin nJxdcos x- -cosxsinnJ x (n -1

18、) cos2 xsinn_2 xdx- -cosxsinnJ x (n -1) sinnn xdx - (n -1) sinn xdx- -cosxsinnJ x (n -1)I n -(n -1)I n1. n 1 n -1敢I n = 一-cosxsin x I n 2nn验证： -cosxsinnJ x - sinn xdx _ nn1 . n 1n 2n-1.n_2= sin x-cosx (n-1)sin x cosx sin xn nn2 n n 一12 nNn 一1 _一n<= sin x (1 -sin x)sin x sin xnnn_ n=sin x.故结论成立.91

19、6. 已知曲线f(x)=xx与g(x)= ax围成的图形面积等于求吊数a.解：如图13,解方程组 Kxfx-x得交点坐标为(0, 0), (1 -a, a(1 -a) g(x)= ax . D = 1 j(x 72 -ax)dx13=6(1 4依题意得1(1-a)3=217.求下列函数在a, a上的平均值：(1)f (x) = a2 x2 ;a解：y = 一a2-x2 dx =-a2- x2dx:一 arcsin-xa2- x2二.2a -a 0a _2 a 2042(2) f ( X)= X ._1 ,a 2 ,1 / 2 .1 11 3 1a a2斛：y=一 xdx=xdx= x3=.2a

20、 - a 0all30318.设某工厂生产某种产品的固定成本为零，生产 x (百台)的边际成本为C' (x)(万元/百台)，边际收入为R' (x)=7-2x (万元/百台).(1)求生产量为多少时总利润最大？(2)在总利润最大的基础上再生产100台，总利润减少多少？解：(1)当C' (x)=R' (x)时总利润最大.即 2=7 2x, x=5/2(百台)(2) L' (x尸R' (x)C' (x)=5-2x.在总利润最大的基础上再多生产100台时，利润的增量为772A L(x)= 15 (52x)dx = 5xx 5 =1 .弓7即此时总

21、利润减少1万元.19.解:1将f (x ) = 1展开成(x+4)的帚级数.x2 3x 2111-2-,x 3x 2 x 1 x 2x 1-3 x 4_ 11一 31x 4 I3x x+4d 丁1"=2 3I 3 JoO=sn fx 4 n3n1x 2-2x 41121 x 4一 21x24：二1二3二2n 卫,2n哥- 一6X一2x2 3x 2- -n1 x 4一n 1 n=03oO+£n41nx 42n 11 一尸nx 4 i 6 ： x : -2一九< x E 0,0 < x w 兀f(x)的傅里叶级线，证明：220.设f(x)是周期为2兀的周期函数，它在

22、(-兀，上的表达式为f(x)=« 3 x试问f(x)的傅里叶级数在 x=-兀处收敛于何值？解：所给函数满足狄利克雷定理的条件，x=-兀是它的间断点，在 x=-兀处,特小小工 f (一 /一)+ f (一 /+)1 r 3. 1foi 3 L数收敛于=L2 +2= (2 +冗)22221 .设 L为 xOy 面内 x轴上从点(a,0)到点(b,0)的一段 bL P(x, y px =1 P(x,0 )dx ,其中 P(x, y)在 L 上连续.证：L：卜x a Mx Mb ,起点参数为x=a,终点参数为x=b.y =0 b故 f P (x, y jdx = 1 P(x,0 jdx22

23、.求下列各微分方程的通解：(1)y = x sin x ；解：方程两边连续积分两次得1 2y =-x - cosx c12解：积分得 y = xexdx = xex -ex - c1y 二(xex -ex ci)dx = xex -2ex gx qy = .(xex-2ex -c2)dx=(x_3方-涂29c3(3)y =y x；解：令p = y,则原方程变为p'= p+x, p，p = x, p=e?x xeFxdx + G1Gex x 1 xx 12放 y= (c1e - x1)dx=c1ex - x c2.2y =(y)3 y ；解：设 yhp,则 y”=pdpdy原方程可化为p

24、 = p3 , pdy即 p dp-(i p2) =0_dy由p=0知y=c,这是原方程的一个解.当p#0时，a=1+/=dydyi p2t arctanp = y -qdy二 x 二；=lnsin(yg)tan(y-G) F. y 二 arcsin(c2ex) g(c2 = ec2)1 y 二一； x.1斛：y = -dx = In x c1 xy = J(ln x G)dx =xln x - x cx c =xln x Gx 5(C1 =(-1 c；)y = (arcsin x c1)dx = xarcsin x . 1 - x2c1x c2.(7)xy y' =0 ;解：令 y=

25、p，则得 p" + 1pnOn dp+dx=0 xp xInp In x = In c1CiP 二一 xC) .y = dx x=G In xC2.y3y-1 =0.解：令 p = y.，则 y , = pdp. dy原方程可化为y3pdp-1 = 0, pdp = y，dydy2_2p = y g1 212 cl-p =y =222S3-Ci -y一包二 dx2.：ll Ci y -1-2 ,qy2 -1 =2qx 2c2Gy2 -1 =gx q= cy2 -1 =(gx C2)2.23.求下列微分方程的通解:(1)y y -2y =0；解：特征方程为解得ri=1,r2 = -2故

26、原方程通解为x_2xy =c1ec2ey y =0；解：特征方程为r2 1=0解得r1,2= i故原方程通解为y = c1 cosx c2 sin x25x = 0 ；d2xdx(3)4 r -20 -dtdt解：特征方程为4r2 -20r 25 =0解得故原方程通解为51 =12 =二2耳x =(gC2t)e2 . y" -4y 5y =0 ；解：特征方程为r2 _4r 5 =0解得r1,2 = 2 土 i故原方程通解为y =e2x(c1cosx - c2sin x). y 4y 4y =0 ;解：特征方程为r2 4r 40解得ri =12 - -2故原方程通解为y = e Jx(

27、c1 - c2x)(6)y -3y 2y =0 .解：特征方程为r2 -3r 2 =0解得r =1,r =2故原方程通解为y =Gex - C2e2x.24 .设f(x)二阶可导，求原3ff二h).解：limh_0f(x h)-2f(x)f(x-h) lim f(x hl"h2h 0 2h= lim1f(x h)-f(x) h Q 2f (x-h)-f (x)-h=77 dxdydz40332=(d Ldxdydz =一 兀 2 = 3326.决定参数k的值，使平面(1)经过点(5, -4, 6);limf(x h)-f(x) limf(x-h)-f(x)2 h ：0hh >0

28、h 1= 2f (x) + f “(x) =f (x).25 .设某流体的流速 V=(k,y,0),求单位时间内从球面x2+y2+z2=4的内部流过球面的流量解：设球体为 Q,球面为则流量="J|5kdydz+ydzdx(由高斯公式)x+ky-2z=9适合下列条件：. ，一 一.,、a，入(2)与平面2x- 3y+z=0成一的角.解：(1)因平面过点(5,-4, 6)故有 5-4k-2X6=9得 k=-4.(2)两平面的法向量分别为n产1,k,-2n2=2,-3,1 且 cos6 = KM =_ = cos=也|ni11n2 |5 k2 . 1442解得k27.求平行于平面 3x-y

29、+7z=5,且垂直于向量i-j+2k的单位向量 解：ni=3, -1,7, n2=1,-1,2.故 n = n1 M n2 =-177 33 -1j+k = 5i+j -2k11-1则 en = 一(5i j -2k).28.试定出下列各题中直线与平面间的位置关系：(1) xl3 =_yjL4 = 3 和 4x- 2y-2z=3;-2-73x y z 一(2)=上=和 3x-2y+7z=8;3-2 7x-2 y 2 z-3 加 0(3)=和 x+y+z=3.31-4解：平行而不包含.因为直线的方向向量为 s=-2, -7, 3平面的法向量n=4, -2, -2,所以s n =(-2) 4 (-

30、7) (-2) 3 (-2) =0于是直线与平面平行.2父0 = 4¥3.故又因为直线上的点Mo (-3, -4, 0)代入平面方程有 4父(3) 2 x(T)直线不在平面上.(2)因直线方向向量s等于平面的法向量，故直线垂直于平面.3)在平面上 直线在平面上，因为 3父1+1父1+(-4)父1 =0,而直线上的点(2,-2,29.求过点(1, -2, 1),且垂直于直线_|_x - 2y z - 3 - 0x y z 3=0的平面方程.ijk解：直线的方向向量为1 21 =i +2 j +3k,11-1取平面法向量为1, 2, 3,故所求平面方程为1 (x-1) 2(y 2) 3(

31、z-1) 0即 x+2y+3z=0.30 .建立以点(1, 3, -2)为中心，且通过坐标原点的球面方程.解：球的半径为 R = 132-(12)2 = 14.设(x,y,z)为球面上任一点，则(x-1)2+(y-3)2+(z+2)2=14即x2+y2+z2-2x- 6y+4z=0为所求球面方程.31 .求下列隐函数的导数或偏导数：(1) sin y +ex - xy2 = 0 ,求 dy;dx(2) ln Jx2 + y2 = arctan，求 dy ; 'x dx(3) x+2y+z-27xyZ =0 ,求豆，必；二 x cy-23 .3 Z : Z(4) z 3xyz=a ,求,

32、2.二x 二 y解：(1)解法1用隐函数求导公式，设F(x,y)=siny+ex-xy2,x 2贝U Fx =e -y ,Fy =cosy2xy,x 22 x故 > = .= _ e -y = y -e .dx Fy cosy -2xy cosy -2xy解法2方程两边对x求导，得cosy y ex - y2 x 2yy = 02 x故y = y ".cos y -2xy(2)设 F (x, y) = ln Jx2 + y2 arctan?=ln (x2 + y2 )-arctan , x 2x.F =l，xx+yx 2x2+y2 什函 I x2J x2+y2,1 ；y -x2

33、2 ,x yF 1 2yy 一 2 x2 y2.曳二 FxdxFy(3)方程两边求全微分，得dx 2dy dz2( yzdx xzdy xydz)2 ；- xyz=0,xyz - xyxyzyz - xyz dz =.xyz -xyyz - / xyzxz-2 xyzdzdxdy,xyzxyzxz - 2 , xyzdx - dy,xyz - xy.:z yz - xyz ； z xz -2、, xyzx xyz - xy :yxyz - xy(4)设 F (x, y, z); z3 -3xyz -a3,2Fx = -3yz,Fy = -3xz, Fz =3z -3xy,.:xFxFz-3yz

34、yzc 2 -二 -23z - 3xy z - xy.zFyFz-3xz23z - 3xyxz-2z -xy-2 二 z-2y2 -xy2zz -xy x-二 yxz 2zx,二 yr2z -xy2xzz -xy x-z i xyc xz。xz2z xz -xy(z2 -xy )2x3yz(xy-z2)3，132.设 F y+,zI x=0确定了函数z = z(x,y),其中F可微，求,：:x Fy解：Fx=FiT F2 0 = 4F1Fz = F1。F2 1 = F2zFiFxFi.xFzx2F2.zFyFiF2F2 -y2FiFzF22 .y F233 .抛物面z = x2+y2被平面x+

35、y+z =1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。解：设椭圆上的点为 P (x,y,z),则|OP|2=x2+y2+z2.因P点在抛物面及平面上，所以约束条件为z=x2+y2, x+y+z=1设 F (x,y,z) = x2+y2+z2+X1(z-x2-y2)+ ?s(x+y+z-1)Fx =2x2%x + % =0Fy =2y -2 -1y 2 =0解方程组 Fz =2z - -1 - -2 0x y z =1-1-3x = y =2=2手 J3由题意知，距离|OP|有最大值和最小值，且OPl2 =x2 +y2 +z2 =2.1 土立卜(2473)2=9,5«.2所以原点到椭

36、圆的最长距离是历5石，最短距离是 V9-5V3.34 .求下列函数在给定点处的导数:1tdy= xsin x 十一cosx,求一2dx解:=sin xx cos x 一 一sin x 二 一 sin xxcosx冗 J2"冗=sin cos二(1 )4423x2+求 f (0)和 f (2)；5 - x 51715x ,1,求一(1).x . 1,-3解：f (x) =2(5-x)23.f (0)=25 f (2)5x -4, f(x- 2 & 4x 3x,f(x)-f, 2 4x -3x -1二 lim 二 5x 1x 1f (x) - f(1) 5x-4-1二f (1)

37、= lim 二 lim 二 5一 x 1 - x -1 x 1- x-1故f=5.35.作适当坐标变换，计算下列二重积分：d x2y2dxdy淇中D是由xy=2, xy=4, x=y, y=3x在第一象限所围平面区域;(2).D x2y22)dxdy,D =(x, y)|x +|y Ml；12 _x c c'dx (x +y )dy,令 x=v, x+y=u；(4) .Dx2 y2x2 y2lx- y- dxdy,D:=_1;a2 b2a2 b2x2 y2 -4 dxdy, D =t(x,y) x2 y2 <9/;(6) Dx2 y2 -2y dxdy, D = '(x,

38、 y) x2 y2 _4;.解：（1）积分区域D如图10-23所示:令 xy=u,y =v，则 x；:x f(x,y)=?u f(u,v)反 I ；:u2 . u v 22 u v1 v 11v -u2uv2 22Dx y dxdy = u(2)积分区域D如图10-图 10-24u2du Jn23 14=-dv1 2v 22 <u <41四©dudv 2v令 x+y=u,x- y=v则-iWuWl, -1v& 1.j=3二(u,v)1212121_ 212v4 二名ln3.23D(x2y2)2dxdy =-4<u<1-4<yi142 2u 2u

39、vv41 11dudv=8du(u2u2v2 v4)dv8：u4J J4H-52 2 31 51 14v u v - v du=- u3544 41,+ 235)du145u. 45-(3)积分区域 Dxy： 0WxW 1, 1-x<y< 2-x令 x=v, x+y=u,贝U y=u- v积分区域Dxy变为Duv：0WvW 1, 1<u<2.c(u,v)1 -1网2y+2(X ，J 2-11gx 110J . ，2 c2、.1 一 22 1 3j dv (2v -2uv+u )du= i2v2u - vu2 +- u3 ' dv0 ，1，0!3 j1272v2

40、- 3v03dv，_3v -v2v30(4)令x=arcos Q y=brsin。则积分区域 D变为Dr0： 0W 阪 2 % ,/ r< 1, f(x,y)J 二acosi-ar sin1a(r,8)bsinObr cosi=abr2 22 、ii 1 上+上JHa2 b2 Jdxdy = ff r2abrdrd9be2兀du0130abr dr =2出ab/"IL40 2(5)令x=rcos 0, y=rsin C即作极坐标变换,则D变为:工日0< rw 3, 0<2兀.+ y2 -4 dxdy = 口Jr2 -42 7r 3rdrd? - d【 r20. 0

41、1-4 rdr-2333=2廿(4r -r )dr + f (r -4r)dr=2怛4 2r 0_4r41冗2(6)积分区域 表不为。如图10-25所示：D可分为D1,D2U D3,D4四个部分.它们可分为用极坐标D1: 0< 0< 兀,0 r< 2sin 0,D2U D3： 0W g 兀，2sinx r<2,D4:喔g2兀，0 r<2工日.D x22_.22y 2y cMy =a x +y2y dxdy+ “D2 _ D3x2 + y2 -2y dxdy + 口D42 y dxdy% 2sin Q27t 20d ”°一(2rsi厂)rdr 。皿 2si

42、n,22 TT2 2(r -2rsini)rdr ， di (r -2rsin?)rdr r兀30% 2sin -I0 dL ；1231g.232八.2'r.2 32,2r3sin上 _343830K I''- 14-0 .久i'14 - -0sin -sin4 u-2sin 日2br4du 1421644 sin 1y 3162 3 I-r sin日 dti161八 2*16sin 二 d 二 4 sin 二3'r3(2r sin6 -r )dr +d8 聂访 J-2r sine)dr + 1 d6 J0 (r -2r sinQ)dr1 一3 一 一1

43、 一 1-16 2 一 n - sin 2-sin 48 冗一 一 n sin d4 IL2803 -0-冗+8冗+ 0 =9冗213.求由下列曲线所围成的闭区域的面积：（1）曲线 y2 = x, y =Px所围（a>0,b>0）;解：（1）曲线b2x,y a(2)曲线 xy=a2, xy=2a2, y=x, y=2x所围(x>0,y>0).b 一= bx(a >0,b >0)所围的图形D如图10-26所本: a图 10-26D可以表示为:所求面积为:, ay = - ab.6D如图10-27所示:b yS = . D dxdy = pdy.； dx =b2

44、y(2)曲线 xy=a2,xy=2a2,y=x,y=2x(x>0,y>0)所围图形所求面积为令xy =u,- =v，则x图 10-27S = Ddxdyu, y =Vuv,(a22_y z -95 24z <u <2a2,1 <v<2)S = .Ddxdy =：:(x, y)：:(u,v)12v1 .，.dudv = dv 2 du = af 2a2 2v1 a 2V "Vv<22a22vo 222 a . a _ _dv = ln 21 2v 236.已知点P到点A (0, 0, 12)的距离是解:2_ 2_y (z-12) =4922设

45、P 的坐标为(x, y, z) , | PA| = x +cos 7 = . z ,x2 y2 z2z1 = 6, z257049z2190x2 =49px又 cos-=x2 y2cos : = y ,x2 y2 z2=37y1 二3, y228549故点P的坐标为P (2,3, 6)或c / 190 285 570、P(一,一,一)49 49 4937.下列函数是否相等，为什么？(1)f (x) =、x2 ,g(x) = x ; y = sin2(3x 1),u = sin2(3t 1);(3)f (x)=x2 -1x -1,g(x) =x 1.解：(1)相等.因为两函数的定义域相同，都是实

46、数集 R;由 & = x知两函数的对应法则也相同；所以两函 数相等.(2)相等.因为两函数的定义域相同，都是实数集 R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相 同，所以两函数相等.不相等.因为函数f(x)的定义域是xxw R, x#1,而函数g(x)的定义域是实数集R,两函数的定义域不同，所以两函数不相等.38.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角5=40。，如图所示.当过水断面 ABCD的面积为定值&时,求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式，并指明其定义域.解：11.S0h(AD BC) h(2hcot ： BC BC) = h(BC hcot )22从

47、而 BC = S0 -hcot .hL = AB BC CD (AB =CD)= 2 BC = 2 S0 - hcot :sin :sin : hSo 2 - cosSo 2 - cos40" u二 h 二 ；-hh sin :h sin 40由 h a0,BC =S0hcot 邛 >0 得定义域为(0,g tan40).39.利用单调有界准则证明下列数列有极限，并求其极限值：(1)Xi = 2,xn 1 =，J2xn, n =1,2, III;(2)Xi =1,xn 1 =1 , x,n =1,2,1”.1 xn证：(1) 7x1 *2 2 2,不妨设 Xk ； 2，则“1 = W2 = 2.故对所有正整数n有xn <2，即数列% 有上界.又 1= 2% -xn = , xn( ' 2 - . xn)显然有JXT0,又由Xn <2得反父J2,从而Xn+-Xn >0即Xn+>Xn,即数列%是单调递增的由极限的单调有界准则知，数列xn有极限.设 lim xn =a，则 a = J2a,于是 a2 =2a , a = 2,a = 0（不合题意，舍去）,二 lim xn = 2. n E 二n W 二一, .一一Xn（2）因为 Xi =1 A0 ,且 Xn书=1 +,1 Xn所以0 < % < 2 ,即数列有界又Xn 1