排列组合应用题的类型及解题策略

1、2008年高考数学第二轮复习讲稿(老人教大纲版湖南卷)排列组合应用题的类型及解题策略排列组合问题，通常都是出现在选择题或填空题中，或结合概率统计综合出题，它联系实际，生动有趣， 但题型多样，思路灵活，不易掌握。实践证明，解决问题的有效方法是：题型与解法归类、识别模式、熟练 运用。一.处理排列组合应用题的一般步骤为：明确要完成的是一件什么事(审题)有序还是无序分步还是分类。二.处理排列组合应用题的规律(1) 两种思路：直接法，间接法。(2) 两种途径：元素分析法，位置分析法。三、解决问题的入手点是： 特殊元素优先考虑；特殊位置优先考虑。1、特殊优先法：.对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题

2、，我们可以从这些特殊的东西入手，先 解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。例1.( 06上海春)电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和 2个不同的公益广告，要求 首尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式(结果用数值表示)解：分二步：首尾必须播放公益广告的有 A22种；中间4个为不同的商业广告有 A?种，从而应当填A” A = 48.从而应填48.(3)对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列。弄清要“完成什么样的事件”是前提。三.基本题型及方法：1.相邻问题(1)、全相邻问题，整体处理(捆邦法)例2、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必

3、须排在一起的不同排法有( C )种。A) 720 B ) 360 C ) 240 D ) 120说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。(2)、全不相邻问题，插空处理法例3、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不 同的排法，解：先将6个歌唱节目排好，其中不同的排法有6!,这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节目有A4种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为A4A6种例4 (06重庆卷)高三(一)班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈

4、节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是(A) 1800(B) 3600(C) 4320( D) 504052解：不同排法的种数为 As As =3600,故选B说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将特殊元素插入，故叫插空法。(3) .不全相邻排除法，排除处理例5.五个人站成一排，其中甲、乙、丙三人有两人相邻，有多少排法？解：A5-A3A3-A22Ag3A2A3A2 = 72例6.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐, 并且这2人不左

5、右相邻，那么不同排法的种数是解法一：前后各一个，有 8X 12X2= 192种方法前排左、右各一人：共有 4X4X2= 32种方法两人都在前排：两人都在前排左边的四个位置：乙可坐2个位置2 + 2=4乙可坐1个位置1 + 1=2湖南省汉寿县第三中学艾镇南第6页/共38页此种情况共有4+2=6种方法因为两边都是4个位置，都坐右边亦有 6种方法，所以坐在第一排总共有6 + 6= 12种方法两人都坐在第二排位置，先规定甲左乙右10乙有1。个位置可坐乙有9个位置可坐乙有E个位置可坐乙有1个位置可坐乙没有位置10 110 9 8 2 1 = 10 =55甲左乙右总共有2种方法.同样甲、乙可互换位置，乙左

6、甲右也同样有55种方法，所以甲、乙按要求同坐第二排总共有55X2=110种方法。综上所述，按要求两人不同排法有 192+32+ 12+ 110= 346 种解法二：考虑20个位置中安排两个人就坐，并且这两人左右不相邻，4号座位与5号座位不算相邻（坐在前排相邻的情况有 12种。），7号座位与8号座位不算相邻（坐在后排相邻的情况有22种。），共有A20 -2（11 +6） =346种2、顺序一定，除法处理或分类法。3面红旗、2面白旗，把5面旗都挂上去,例7、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有 可表示不同信号的种数是（）（用数字作答）。解：5面旗全排列有 A5种挂，由于3面红旗与2面

7、白旗的分别全排列均只能作一次的挂法，故有 工 =10nA说明：在排列的问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序问题，这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷例8. （06湖北卷）某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程 丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是。（用数字作答）解一：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中（插一个或二个），可得有解+5mA；=30种不同排法。解二：0二30 4!例9、由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的 6位数，其中个位数字小于十位的

8、数字的共有（）A 210 个 B ） 300 个 C ） 464 个 D ） 600 个1解：一A1A5=300故选（B）24、多元问题，分类法例10. （06陕西卷）某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同 去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有 种解析：某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙 只能同去或同不去，可以分情况讨论， 甲、丙同去，则乙不去，有 C； 'A4=240种选法；甲、丙同不去， 乙去,有C；，A4 =240种选法；甲、乙、丙都不去，有 A =120种选法，共有600种

9、不同的选派方案.例11: （06全国卷I）设集合I =1,2,3,4,5 。选择I的两个非空子集 A和B,要使B中最小的数大于 A 中最大的数，则不同的选择方法共有A 50种 B . 49种C . 48种D . 47种解析：若集合A B中分别有一个元素，则选法种数有C52=10种；若集合A中有一个元素，集合 B中有两个元素，则选法种数有 C53=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有 C：=5种；若 集合A中有一个元素，集合 B中有四个元素，则选法种数有 C55=1种；若集合A中有两个元素，集合 B中有 一个元素，则选法种数有 C53=10种；若集合A中有两个元素，集合

10、 B中有两个个元素，则选法种数有C；=5种；若集合A中有两个元素，集合 B中有三个元素，则选法种数有 C55=1种；若集合A中有三个元素，集合 B 中有一个元素，则选法种数有 C： =5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有 C5=1 种；若集合A中有四个元素，集合 B中有一个元素，则选法种数有C55=1种；总计有49种，选B.解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有C： =10种选法，小的给 A集合，大的给B集合；从5个元素中选出3个元素，有 C53=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有

11、2X10=20种方法；从5个元素中选出4个元素，有C：=5种选法，再分成1、3; 2、2; 3、1两组，较小元素的一组给 A集合，较大元素白一组的给B集合，共有3X5=15种方法；从5个元素中选出5个元素，有 C55=1种选法，再分成1、4; 2、3; 3、2; 4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4X1=4种方法；总计为10+20+15+4=49种方法。选B.例12 （06天津卷）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A. 10 种B. 20 种C. 36 种D. 52 种解

12、析：将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分情况讨论：1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有C4 =4种方法；1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有C42 =6种方法；则不同的放球方法有10种，选A.说明：元素多，取出的情况也多种，可按要求分成互不相容的几类情况分别计算，最后总计。5、交叉问题，集合法（二元否定问题，依次分类）。例13、从6名运动员中选出4名参加4X 100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法？解：设全集U=6人中任选4人参赛白排列, A=甲跑第一棒的排列, B=乙跑第四

13、棒的排列,根据求集合元素的个数的公式可彳#参赛方法共有：card（U）-card（A）-card（B）+card（A A B）=252例14、某天的课表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共六门课程，且上午安排四节课，下午 安排两节课。（1）若第一节不排体育，下午第一节不排数学，一共有多少种不同的排课方法？（2）若要求数学、物理、化学不能排在一起（上午第四节与下午第一节不算连排），一共有多少种不同的排课方法？例15、同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（） A） 6种B ） 9种C ） 11种 D ） 23种解：此题可以看成是

14、将数字 1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一数，且每个方格的标号与所填数字不同的填法问题。所以先将1填入2至4的3个方格里有3种填法；第二步把被填入方格的对应数字填入其它 3个方格，又有3种填法；第三步将余下的两个数字填入余下的两格中只有一种填法， 故共有3X 3X1=9种填法。故选B说明：求解二元否定问题可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依此即可 完成。例16、（06湖北卷）安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是.（用数字作答）。（答：78种）说明：某些排列组合问题几部分之间有交集，可

15、用集合中求元素的个数的公式来求解。6、多排问题，单排法例17、两排座位，第一排有 3个座位，第二排有 5个座位，若8名学生入座（每人一座位），则不同的座5_3.15335.8法为AC8 c8B ） A2c8 c8C ） A8 A8D ）与解：此题分两排座可以看成是一排座，故有A8种座法。，选（D）说明：把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。7、至少问题，分类法 或间接法（排除处理）例18. （06福建卷）从 4名男生和3名女生中选出 3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（A） 108种（B） 186种（C） 216种（D） 270种解析：从全部方

16、案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有A3_A3=186种，选B.例19. （06辽宁卷）5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参 加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有 种.（以 数作答）【解析】两老一新时，有C3MC；A22 =12种排法；两新一老时，有C2c2MA3 = 36种排法，即共有48种排法.【点评】本题考查了有限制条件的排列组合问题以及分类讨论思想例20. （06重庆卷）将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（A）30种（B）9 0种（C）

17、1 8 0种（D）2 7 0种解析：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少 1名，最多2名，则将5名教师分成三组，C1 C23 一一组1人，另两组都是2人，有 5 , 4 =15种方法,再将3组分到3个班，共有15八3 =90种不同的分配 A方案，选B.说明：含“至多”或“至少”的排列组合问题，是需要分类问题，或排除法。排除法，适用于反面情况 明确且易于计算的情况。8、部分符合条件淘汰法例21 .四面体的顶点各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有 （） A ） 150 种 B ） 147 种 C） 144 种 D ） 141 种解：10个点取4个点共有 C10

18、种取法，其中面 ABC内白6 6个点中任取4个点必共面，这样的面共有6个，又各棱中点共6个点，有四点共面的平面有3个，故符合条件不共面的平面有 _ 4_ 4_.C10 -4C6 -6 -3=141选 D说明：在选取总数中，只有一部分符合条件，可从总数中减去不符合条件数，即为所求。9.分组问题与分配问题分组问题：均匀分组，除法处理；非均匀分组，组合处理例22。有9个不同的文具盒：（1）将其平均分成三组；（2）将其分成三组，每组个数 2, 3, 4。上述问 题各有多少种不同的分法？33分析：（1）此题属于分组问题： 先取3个为第一组，有C9种分法，再取3个不第二组，有C6种分法，剩下3个为第三组，

19、有C；种分法，由于三组之间没有顺序,故有333C9 C6 c3A3种分法。（2）同（1）,共有C92C73C4种分法，因三组个数各不相同，故不必再除以A3。练习：12个学生平均分成3组，参加制作航空模型活动，3个教师各参加一组进行指导，问有多少种分组方法？分配问题：定额分配，组合处理；随机分配，先组后排。例23。有9本不同的书：（1）分给甲2本，乙3本，丙4本；（2）分给三个人，分另得 2本，3本，4本。 上述问题各有多少种不同的分法？（1）此题是定额分配问题，先让甲选，有c；种；再让乙选，有C3种；剩下的给丙，有C4种，共有C92C73C4种不同的分法（2）此题是随机分配问题：先将 9本书分

20、成2本，3本，4本共有三堆，再将三堆分给三个人,2008年高考数学第二轮复习讲稿（老人教大纲版湖南卷） 共有Cr.cicjA3种不同的分法。例24:对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样白测试方法有多少种可能？解：第5次必测出一次品，余下 3件次品在前4次被测出，从4件中确定最后一件次品有 C4种方法，前 4次中应有1件正品、3件次品，有C6c3种，前4次测试中的顺序有 A 4种，由分步计数原理即得：C4 （c6c3） A 4A4 = 576。【评述】本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一

21、般是先选元素（即组合）后 排列练习：1。3名教师分配到6个班里，各人教不同的班级，若每人教2个班，有多少种分配方法？ c（2c：c2 = 902 .将10本不同的专著分成c3oc3c3ci14!3本，3本，3本和1本，分别交给4位学者阅读，问有多少种不同的分法?3!例25 （06湖南卷）某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过 2个，则该外商不同的投资方案有（）A.16种 B.36 种 c.42 种 D.60 种解析：有两种情况，一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，此时有 c3 A2 =36,二是在在两个城市分别投资1, 1, 1个项目，此时有 A3 =

22、 24 ,1.2.3共有 c3 A4 +A4=60,故选（D）10 .隔板法：隔板法及其应用技巧在排列组合中，对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中，每盒至少一个，求方法数的问题，常用隔板法。见下例：例26.求方程x+y+z=10的正整数解的个数。（即：10个相同的小球分给三人，每人至少1个，有多少种方法？）分析：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x.y.z 之值（如图）OOO OOO OOOO2则隔板与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为c9 =36个。实际运用隔板法解题时，在确定

23、球数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧。下面举例说明：技巧一：添加球数用隔板法。例27.求方程x+y+z=10的非负整数解的个数。分析：注意到x、y、z可以为零，故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了。怎么办呢？ 只要添加三个球，给 x、y、z 各一个球。这样原问题就转化为求x+y+z=13的正整数解的个数了，故解的2个数为c12=66个。【小结】本例通过添加球数，将问题转化为如例1中的典型的隔板法问题。技巧二：减少球数用隔板法。例28.将20个相同的小球放入编号分别为1, 2, 3, 4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。分析1:先在编号1, 2, 3

24、, 4的四个盒子内分别放 0, 1, 2, 3个球，有1种方法；再把剩下的 14个球,湖南省汉寿县第三中学艾镇南第7页/共38页2008年高考数学第二轮复习讲稿(老人教大纲版湖南卷)分成4组，每组至少1个，由例25知有C133 =286种方法。分析2:第一步先在编号1, 2, 3, 4的四个盒子内分别放 1, 2, 3, 4个球，有1种方法；第二步把剩 下的10个相同的球放入编号为 1, 2, 3, 4的盒子里，由例26知有 C133 =286 种方法。【小结】两种解法均通过减少球数将问题转化为例25、例26中的典型问题。技巧三：先后插入用隔板法。例29。为构建和谐社会出一份力，一文艺团体下基

25、层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添2个小品节目，则不同的排列方法有多少种？分析：记两个小品节目分别为A、B。先排A节目。根据A节目前后的歌舞节目数目考虑方法数，相当于把4个球分成两堆，由例26知有C5种方法。这一步完成后就有 5个节目了。再考虑需加入的B节目前后的节111目数，同上理知有C6种方法。故由乘法原理知，共有 C5c6 =30种方法。【小结】对本题所需插入的两个隔板采取先后依次插入的方法，使问题得到巧妙解决。11 .数字问题（组成无重复数字的整数） 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。能被3整除的数

26、的特征：各位数字之和是3的倍数；能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数。 能被4整除的数的特征：末两位是 4的倍数。 能被5整除的数的特征：末位数是 0或5。 能被25整除的数的特征：末两位数是 25, 50, 75。 能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。例30 （06北京卷）在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（A） 36 个（B） 24 个（C） 18 个（D） 6 个解：依题意，所选的三位数字有两种情况：（1） 3个数字都是奇数，有 A3种方法（2） 3个数字中有一个是奇数，有C3A3,故共有A3 + C3A3=24种

27、方法，故选B例31。（06天津卷）用数字0, 1, 2, 3, 4组成没有重复数字的五位数， 则其中数字1,2相邻的偶数有 24个（用数字作答）.12.分球入盒问题例32:将5个小球放到3个盒子中，在下列条件下，各有多少种投放方法？ 小球不同，盒子不同，盒子不空解：将小球分成 3份，每份1, 1, 3或1, 2, 2。再放在3个不同的盒子中，即先分堆，后分配。有c5cC2C)*a3小球不同，盒子不同，盒子可空小球不同，盒子相同，盒子不空解：只要将5个不同小球分成 3份，分法为:小球不同，盒子相同，盒子可空解：35种311, 1, 3; 1, 2, 2。共有 C5c2 +A222C 5c3 =2

28、5 种A2本题即是将5个不同小球分成31221 份,2 份,3 份的问题。共有 C5 +(C4 +C3) + (C5c2 + c5c3 w 55 w 522A2 A2)=41 种小球相同，盒子不同，盒子不空解：（隔板法）。0 00 002，有C4种方法小球相同，盒子不同，盒子可空解一：把5个小球及插入的2个隔板都设为小球（7个球）。7个球中任选两个变为隔板（可以相邻）。那么2块隔板分成3份的小球数对应于相应的3个不同盒子。故有 C2=21解：分步插板法。小球相同，盒子相同，盒子不空解：5个相同的小球分成 3份即可，有3, 1, 1; 2, 2, 1。 共2种 小球相同，盒子相同，盒子可空0；

29、4,1, 0; 3, 2, 0;解：只要将将5个相同小球分成1份，2份，3份即可。分法如下：5, 0,3,1,1； 2,2,1。例33、有4个不同的小球，放入 4个不同的盒子内，球全部放入盒子内（1）共有几种放法？（答：44）（2）恰有1个空盒，有几种放法？（答：C2A3 =144）（3）恰有1个盒子内有2个球，有几种放法？（答：同上C2A3 =144）（4）恰有2个盒子不放球，有几种放法？（答：C3A2+C2c2 =84） 13、涂色问题：（1）用计数原理处理的问题，需要关注图形的特征：多少块？多少色？（2）以涂色先后分步，以色的种类分类。例34、（2003全国）某城市在中心广场建造一个花圃

30、，花圃分为6个部分（如图）。现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分要能栽种同种颜色的花，则不同的栽种方法有J20 种?例35、将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，若只有五种颜色可供使 用，则不同的染色种数为 j420应该指出的是，上述所介绍的适用不同要求的各种方法并不是绝对的，对于同一问题有时会有多种方法, 这时要认真思考和分析，灵活选取最佳方法。二项式定理应用题的类型及解题策略1 .正确运用二项式定理，解决与之相关的恒等式证明问题，进一步熟悉二项展开式通项公式，灵活地应用于复杂的多项式中，求某些项系数的问题.2 .会利用二项式定理解决某些整除性问题.1

31、.二项式定理及其特例：(1) (a+b)n =C；an +cnanb+|+C：anbr +H|+C；bn(nw n*),(1+x)n =1+C：x+|+C：xr +|H+xn.2 .二项展开式的通项公式：Tf =C；an'brr的限制；求有理项时要注意到指数及项数项式系数表，表中每行Cn1. C：可以看成以r为3 .求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的整数性.4二项式系数表（杨辉三角）（a +b）n展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3时,两端都是1,除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和5 .二项式系数的性质：（a+b）n展开式的二项式系数是C：, C1, C

32、：,自变量的函数f(r),定义域是0,1,2, HI，n,例当n=6时，其图象是7个孤立的点(如图)(1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(.cnm=cnn-),直线r =-是图象的对称轴. 2(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间一项 C，取得最大值；当n是奇数时，中间两项 Cn2 , Cn2取得 最大值.(3)各二项式系数和：(1 +x)n =1 +C：x + 川 + C；xr +IH +xn,令x=1,则 2n =C： +C： +C： +UI+C； +HI+C； . .二、讲解范例：例 1 .计算：(x -1)5 +5(x -1)4 +10(x -1)3 +10(x -

33、1)2 +5(x -1)计算：1 +2C： +4C： +2nCn分析：本例是二项式定理的逆用.若正用二项式定理，亦可求解，但过程较繁.解：(x1)5+5(x1)4+10(x_1)3+10(x_1)2+5(x1) = (x1)+15 1=11 + 2C： +4C： +2nCn = (1 +2)n = 3n例2.证明恒等式：CM +C10 +C10 =21°分析：本题的证明方法值得注意，它是对二项式定理中的a、b取某些牛I殊值.证明：左边=C10 +G10+111+61；= (1+1)10=210=右边引伸：化简 C0xn C'xn+C2xn" + +(1)nCnn解：

34、C0xn -C：xnJL +CnT +(1)nCn = (x -1)n例3.求证32nH2 -8n -9(nw N*)能被64整除.分析：考虑到用二项式定理证明，就需要多项式展开后的各项尽量多的含有82的式子.因此，可将32n七化成(32)n由=(8+1)n+再进行展开，化简即可证得.证明： 32n 2 -8n 一9 =(8 1)n 1 -8n -9=(1 8C：1 82C21 HI 8nCn1 8n1)-8n-9= 82C218nCnV8n.1= 82(Cn1 -HI -8nC；d 8nJ)，多项式展开后的各项含有8232n* -8n _9(nwN*)能被 64 整除.引伸：求证923十1能

35、被10整除；求813除以9的余数.例4.求(1 +x)2(1 x)5的展开式中x3的系数.解：利用通项公式T.=cnan-br,则 (1+x)2 的通项公式 Tr+=C2 xr , r 0,1,25kkk k k(1 x)5 的通项公式 Tk4=C； .(x)k =(1)kC5kxk, k0,1,2,3,4,5令 k +r =3 ,则，k =1 或)/或 ) =3 ,从而 x3 的系数为C； +C；C； -C3 =5r =2%=1r =0引伸：求(1x3 )(1 +x)10的展开式中x5的系数.(答案：207 )例5.求(Vx - J)15的展开式中的常数项和有理项.x解：设展开式中的常数项为

36、第r +1项，则30 JrTr1 =()C：5 (3x)15(1 )r =(一1)C；5 L (*)x由题意得_=。，解得”6,所以展开式中的常数项为第7项 七5钎尸以:5。5.由题意可 得30-5WZ ,即r是6的倍数，又因为0Mr M15,所以r =0,6,12 故展开式中 的有理项 为 6T1 =(-1)° C* x5 =x5,T7 =5005, T13 =420x,. 2例6.已知：(x、+3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项.解：令x =1,则展开式中各项系数和为(1 +3)n =22n

37、,又展开式中二项式系数和为2n,2n n - 2 一2 = 992 , n =5 .(1) n=5,展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，2222 T -C2(x_313(3x2)2 =90乂6 T =C3(X3)2/3乂2)3 =270x3I 3 C5 (x ) (3x ) 90x , 14 C5 (x ) (3x ) 270x ,210 .4r(2)设展开式中第r+1项系数最大，则 1书=C；(x3)5"(3x2)r =3,C；x 3r r r 4rl3 C5 - 3 C579,，-r -3rC5 3 C!122226即展开式中第5项系数最大，T5 =C；（x3）（3x

38、2）4 =405x .插板法处理相同元素分配问题时间关键词插板法 处理 相同元素 分配 例：8本相同的书分到编号为 1、2、3的三个阅览室，按下列要求各 有多少种分配方案？每个阅览室至少有一本书；每个阅览室分到的书不少于其编号数 ；每个阅览室分 到的书不限。 分析：引入隔板模型，将书放成一排，插入2个隔板关键词插板法 处理 相同元素 分配例：8本相同的书分到编号为1、2、3的三个阅览室，按下列要求各有多少种分配方案？每个阅览室至少有一本书；每个阅览室分到的书不少于其编号数；每个阅览室分到的书不限。分析：引入隔板模型，将书放成一排，插入2个隔板分成3部分依次分给1、2、3号阅览室。插法种数就是

39、分配方案数。相同元素的分配问题是排列、组合中常见的一种题型。 处理此类问题一般有两种方法：一是按要求先分组，然后再分配；二是引入隔板模型，利用“插板法”。一、先分组，再分配解：分组为（6、1、1）,（5、2、1）,（4、3、1）,（4、2、2）,（3、3、2）。符合条件的分配方案有 C13+C13C12+C13C12+C13+C23=21。先将每个阅览室放入与其编号相同数的书，然后将剩下的2本书进行分组，再分配。分组为（2、0、0）,（1、1、0）。符合条件的分配方案有 C13+C23=6种。分组为（8、0、0）,（7、1、0）,（6、2、0）,（6、1、1）,（5、3、0）,（5、2、1）,

40、（4、4、0）,（4、3、1）,（4、2、2）,（3、3、2）。符合条件的分配方案有 C13+C13C12+C13C12+C13+C13C12+C13C12+C23+C13C12+C13+C23=45二、插板法解：为保证三部分都有书，隔板只能向8本书中间的7个空插。共有 C25=21种插法；方法一：为保证第一部分至少有1本书，第三部分至少有3本书，从第1本书后到倒数第三本书前共有5个空，有C25种插法，由于两隔板相邻的插法（中间部分只有1本书）不符合要求，有4种。满足条件的插法共有 C25-4=6 种。方法二：中间部分给编号为1的阅览室，左、右两部分分别给编号为2、3的阅览室。左边第二本书后到

41、右边倒数第三本书前共有 4个空，有C24=6种插法。方法三：先分别放入比阅览室编号小1的书（1号不放,2号放1本,3号放2本），然后再向剩下的5本书中间4个空插入2个隔板,C24=6种插法。方法一：从8本书的9个空才f入2个隔板有C29种插法，但不包含两隔板插在一起（中间部分没有书）的 情况,9个空有9种插法。满足条件的插法共有C29+9=45种。方法二：先在8本书9个空插入一隔板，然后再在8本书及一隔板共10个空插入另一隔板，由于两隔板无 序,满足条件的插法有12X9X10=45种。排列组合之“捆绑法”、“插空法”、“插板法”排列组合的三大方法精要华图公务员考试联中心沈林在排理g合中，有三种

42、特别常用的方法：掴绑法、脸法、插极法.这三种方法有特定 的应用环境,考生应特别注意三种方法之间的差异及应用方法.一、砌法精要：所谓捆绑法指在解决对于某几个元索要求相等的问题时，先整体考虑，将+目部 元素视作一个整体参与排序，然后再单独考虑这个整体内部各元素间顺序.提醒：其首要特点是脚？，其软捆绑法一般都应用在不同物体的邦乐问题中a工例蒯 有10本不同的书：其中数学书4本.外语书3本，语文书3本.若将这些书 排成一列放庄书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有（）种.解析:这是一个排序问题，书本之间是不同的,其中要求数学书和外语书都售囱生一起. 为快速解决这个问题，先将4本教学书

43、看做一个无素，将3本外语书看做一个无索，然后和 剩下的3本语文书共5个元素进行统一排序，方法致为月，燃后排在一起的4本数学书之 间就序不同也时虚筑后整个排序不同，所以在4本书内部也需要排序，方法数为父，同理， 外语书排序方法数为期而三者之间是分步过程，蚁而用乘法原理得4父&.t例题J 5个人站成一排,要求甲乙两人站在一起，有多少种方法？解析，先将甲已两人看成1个人，与剩下的3个人一趣排列，方法教为其，然后甲乙 两个人也有顺序要求，方法数为 <；,因此站队方法数为印用。t练习一台晚会上有6个演唱节目和4节目，4个舞蹈节目要排在一起.有多 少不同的型F节目的顺序？注释：运用捆绑法时一

44、定要注意捆绑起来的整体内部是否存在顺序的要求，有的题目 有顺序的要求，有的则没有.如下面的例1题.工例题1 6个不同的球放到5个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多 少种方法?解析：按照题意，显燃是2个球放到其中一个食子，另外4个球分别坡到4个盆子中， 因此方法是先从6个球中批出2个球作为一个整体放到一个盒子中，嫩后这个整体和轲下曲 4个球分别即列放到5个盒子中，就方法数是C；Z <,二，推空法精要:所谓插空法A旨在解决对于某几个元箱屋不相等的问题时冼将其它元素排好， 再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置.提醒：首要特点是不算，其次是插空法一般应用在排序问题中

45、.【例题】若有k/D、E五个人排队要求A和甘两个人必须不站在一起j则有害少排队方法？解析；题中要求&B丽人徜g在一起，所以可以先将除A和B之外的3个人排成一批 分法数为现，然后再将A和B分别插入到其余3个人排队所彩底的4个空中，也就是从4 个空中视出品个并排上两个人，其方法数为因此总方法数收4【例题J 8个人排成TU，要求甲乙必须相邻且与丙不木脚,有多少种方法？解析：甲己相邻，可以捆绑看作一个无素，但这个整体无素又和丙不相邻，所少先不排 这个甲己丙，而是排轲下的5个人，疗法数为儿，然君再将甲乙构成的整体元素双丙这阚 个元素插74此前5人所形成的6个空里，方法数为 工：,另处甲已阚个人内

46、部还存在排序 要求为用B眈总方法数为儿发是口陈习1 5个男生3个女生排成一排，要求女生不能相邻，有多少种方法?注释：将要求不相邻元素插入排好元素时，要注稀是否能够插入两端位置.【例若有A、B、匚& E五个人排队,要求A和B两个人必须不站在一起.且A和E不能站在两端，则有篓少排队方法？解析：底理同前，也是先排好C、D、E三个人，然后将hB查到C、D. E所影戏的 两个空中，因为A、B不进的瑞.所以只有曲个空可选.方法总数为&月注释：对于捆绑法和插空法的区别可简单记为“相第利随舞法,不等潮融空等'三、插板法精要：所谓插板法，指在解决若干相同元素细,要求每组至少一个元素时，采

47、用将比 所需分娼数目少1的板插入元素之间形成分妲的解题策略.提酶：其首要特点是元素相同其淡是每蟀少含有一个元素，一般用于俎合问题中口1例题将8个完全相旗球放到3个不同的盒子中.要求每T金子至少放一个球，- 共有多少种方法？解析：解决这道同题只需要聘8个球分成三孤 然后施次聘每一如分别放到一个盆子中 即可.因此问题只需要把8个球分成三姐即可，于是可以讲2个球排成一排，然后周丽个板 查到&个球所形成的空里，即可瓶利的把8个球分成三组.其中第一板前面的球放到第一 个盒子中，第一个板和第二个板之间的俅放到第二个盒子中，第二个板后面的钱放到第三个 盒子中去,因为每个盒子至少被一个俅,因此画个板不

48、吉滋在同一个空里且极不能放在两端， 子是其放板的力诔数是0 0（根也是无区别的）I例题J有9颗相同国篇每天至少吃1颗，要4天吃完，有多少种吃法？解析：原理同上，只需要用3个板植入到9*鞋场成的8个内部空隙，将9颗精分成4 如且每如数目不少于1即可口因而3个板互林邻，其方法致为偿.1陈习现有10个完全相同的篮球全部淄7个班皴-每班至少1个球，问共有舒 种不同的分法？注释：每蛆允许有雪个元素时也可以用插板法，其原理不同，注意下题解;掷区别。例题将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，一共有多少种方法？解析,世质中没有要求每个盒子中至少放一件扎 因此其解法不同于上面的拈板法，俚 仍旧是插入2个根，分

49、成三姐甲但生分蛆的过程中，允许勒块板之间没有俅.其考虑思维为 插入场块板后,与原来的8个球一共10个元素。所有为法数实际是这1。个元素的一个队列， 但因切球之间无震别，板之间无差别，所以方法数实际为从10个元素所占的10个位置中挑 2个传直加上2个板，其余位置全部放球即可,因此方法数为 翁注释：特别注意插极法与捆绑法,抽空;却讴别之处在于其元素是相用也四、具体应用1例题1 一条马路上有编号为1、2、一、9的九盏路灯，现为了节约用电，要将其中 的三餐关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不融关灯方法有多少种？解析：要关掉9盏打中的3番，但要求相邻的灯不能关闭，因此可以先将要关掉的3 盏灯拿

50、出来，这样还剩6盏灯，现在只需把求备关闭的3盏灯插入到亮着的6盏灯所形成的 空俅之间即可0 6番灯的内部发的端共有了个空，地方法数为1洌题】一条马路的两边各立着1。盏电灯,现在为了节省用电，决定每边关掉3卷， 但为了安全道路起点和终点两边的灯必须是亮的.而且任意一边不自彝续关掉两盏.问总 共可以有多少总方案？As 120B、320 C、4J0口 42。解析，考虑一侧的美灯方法，1 口盏灯关掉3装，还剩7羞，因为西瑞的灯不能关，表 示3番关掉的灯只能插在7量灯形成的6个内部空隙中，而不含绿在西端，坟为法数为 吠， 恿历法数为C：=4。0口注释：因为两边关掉的喉肯定是一样的t因为两边是同等地位），

51、而且总的种数是一 边的种数乘以另一边的种数，因此关的方案数一定是个平方数，只有C符合口湖南省汉寿县第三中学艾镇南第43页/共38页高考数学复习解排列组合应用题的21种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握， 实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径； 下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1 .相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1. A,B,C, D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有A 60 种 B 、 48 种 C 、 3

52、6 种 D 、 24 种解析：把A,B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，A4=24种，答案:D.2 .相离问题插空排：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规 定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端 .例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A 1440 种 B 、3600 种 C 、4820 种 D 、4800 种解析：除甲乙外，其余5个排列数为A5种，再用甲乙去插6个空位有A2种，不同的排法种数是A5A2 =3600 种，选 B.3 .定序问题缩倍法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍

53、数的方法 . 例3. A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）那么不同的 排法种数是A 24 种 B 、60 种 C 、90 种 D 、120 种解析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是 5个元素全排列数的一 半，即1A5 =60种，选B.24 .标号排位问题分步法：把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一 个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1, 2, 3, 4填入标号为1, 2, 3, 4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的 标号与所填数字均不相同的填法有A 6 种B 、9 种 C 、11 种

54、 D 、23 种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它 三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有 3X3X1=9种填法, 选B .5 .有序分配问题逐分法：有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5. （1）有甲乙丙三项任务，甲需 2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这 三项任务，不同的选法种数是A 1260 种B 、2025 种 C 、2520 种 D 、5040 种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从 另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共

55、有 C12）C8C； = 2520种，选C.（2） 12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口 4人，则不同的分配方案有A、C：2C；C：种B 、3Ci：C；C4 种C 、C42C；A；种D、。12。3。4 种A答案：A.6 .全员分配问题分组法：例6. (1) 4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多 少种？解析：把四名学生分成3组有C2种方法，再把三组学生分配到三所学校有 A3种,故共有C42a3 = 36种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.(2) 5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A 480 种 B 、240 种 C 、120 种 D 、96 种答案：B.7 .名额分配问题隔板法：例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一 个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不 同的分配方案为C：=84种.8 .限制条件的分配问题分类法