广东省惠州市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含解析

1、惠州市2019-2020学年度第一学期期末考试高二数学（理科）试题注意事项：1 .答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2 .作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。3 .非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1 .命题“若a > b ,则a+c>b十c"的否命题是（）A.若；a+GEb + c,贝B.若;贝U：a + c

2、Wb + cC.若a + 贝D.若;贝Ua + cEb + c【答案】B【解析】【分析】根据命题“若p,则q”的否命题是“若p,则q” .【详解】命题“若a>b,则a + 十c”的否命题是“若a<b,则w+cb + c”故选：B【点睛】本题考查了命题与它的否命题的应用问题，是基础题.2 .若F（k）是函数f（x） = ；/ + 1的导函数，则 式一1）的值为（）A. 1 B. 3 C. 1 或 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】先求出函数Rx）的导函数式刈,然后求出函数值?（- U即可.1 3【详解】 f（x） = V+2X4 1 ,=：.故选C.【点睛】本题考查导函数的求法，

3、解题的关键是熟记基本初等函数的求导公式和求导法则， 属于简单题.3.设x>l,则 “x"” 是 “kx的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】x ':X < -二或X > 1，x>】是/十X 2 >口的充分不必要条件故选A4.已知向量；= 12,iw)E = (-12D，若；则实数%的值为()414A. B. C. 一 D. 2 35【答案】D【解析】【分析】根据向量垂直的等价条件得到数量积为0,从而得到关于九的方程，解方程可得所求结果.【详解】h -京)=|a9-加<=o,，|a=

4、ka b,14 = "2十2+3) = 7 1，解得 .故选D.【点睛】本题考查空间向量垂直的等价条件及向量数量积的运算，考查转化和计算能力，属 于基础题.5 .执行如图所示的程序框图，若输入的 ab,k分别为1,2,3 ,则输出的M=()【答案】D【解析】332；=4;当n=1时，满足进行循环的条件,执行循环体后：M = v n当n=2时，满足进行循环的条件,执行循环体后：M = y =旷=；,n5S15当n=3时，满足进行循环的条件,执行循环体后：M =是=-,b =一,838当n=4时，不满足进行循环的条件，15故输出的M直为：本题选择D选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序

5、框图的思路(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构.(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题.(3)按照题目的要求完成解答并验证.5名女生的某次数学测试6 .某班有50名学生，男女人数不相等。随机询问了该班5名男生和成绩，用茎叶图记录如下图所示，则下列说法一定正确的是()勇生成绩女生成矮A.这5名男生成绩的标准差大于这5名女生成绩的标准差。B.这5名男生成绩的中位数大于这5名女生成绩的中位数。C.该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数。D.这种抽样方法是一种分层抽样。根据茎叶图的分别情况分别判断即可.【详解】5名男生成绩的平均数为:90 92 1 94 86 + 8

6、893 93 t-93 t 88 + 885名女生成绩的平均数为:这5名男生成绩的方差为=90 42 I- 23 I- 4 = S ,女生的方差为g于+= 男生方差大于女生方差，所以男生标准差大于女生标准差，所以A对;这5名男生成绩的中位数是 90, 5名女生成绩的中位数 93,所以B错;该班男生和女生成绩的平均数可通过样本估计，但不能通过样本计算得到平均数准确值，所 以C错;若抽样方法是分层抽样，因为男生女生不等，所以分别抽取的人数不等，所以D错。故选：A【点睛】本题考查了茎叶图问题，平均数，中位数问题，是一道常规题.7.已知且2x + y= I ,则xy的最大值是（）IIA. B. 4 C

7、.D. 848【答案】C【解析】【分析】根据基本不等式求解即可得到所求最大值.1I v 2 I 1 2 1I 1【详解】由题意得， = -x2xy<-x（= 当且仅当乂 =下=彳时等号成立，£上j-i后 £OT1所以xy的最大值是8故选C.【点睛】运用基本不等式解题时， 既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用， 例如/卜产22-逆用就是曲匚丁；三上“取水>0)逆用就是处事(审(眦下0)等.当应用不等式的条件不 满足时，要注意运用“添、拆项”等技巧进行适当的变形，使之满足使用不等式的条件，解题时要特别注意等号成立的条件.8.抛掷2枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的

8、绝对值为3的概率是()1111A. - B. C. - D. 918612【答案】C【解析】【分析】先列举得到满足题意得所有情况，然后再根据古典概型求解即可得到所求概率.【详解】抛掷两枚骰子，向上点数共出现36中情况，其中向上点数之差的绝对值为3的情况有：(1,4), (4,1 ), (2,5) (5,2 ), (3,6 ) (6,3),共 6 种，6 1故所求概率为P =-.36 6故选C.【点睛】本题考查古典概型概率的求法，解题的关键是正确得到基本事件总数和所求概率的事件包含的基本事件的个数，其中常用的方法是列举法，列举时要完整、不要遗漏任何情况，属于基础题.( x + y-2 <

9、09.设xy满足约束条件 x-2y-b 150 ,贝=米十y的最大值为()*2x-y + 2 > 0A. B. 4 C. 2 D. 5【答案】B【解析】作出x,y满足的区域如图(阴影部分)，由目标函数对应直线的斜率与边界直线斜率的关系知目 标函数在点(1,1)处取得最大值4.故选B点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得10 .点P是双曲线r-上一点，耳鸟是双曲线的左,右焦点，|PF1I + |

10、PF= 6JFJPF> b2则双曲线的离心率为（）A. B. 2 C.D.【答案】C【解析】不妨设P点在右支，则由双曲线的定义有|PF|-|PF= 2h = 2,又|PF|十|PF= 6 ,所以 |PFj| = 4JPF3| = 2,又由PFJPF?,所以眄+呼=|FF/= 20 ,所以=5A =有，则 双曲线的离心率£=£ =由，选C.a点睛：本题主要考查了双曲线的几何性质，涉及勾股定理的应用等，注意利用双曲线的定义求出I叫.呜I的值是关键。11 .若正三棱柱ABC-A31cl的所有棱长都相等，D是Ag的中点，则直线 AD与平面HDC所成 角的正弦值为（）4 33石

11、A. B. C. D.5 545【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，得到相关点的坐标后求出直线的方向向量和平面的法向量，借助向量 的运算求出线面角的正弦值.【详解】取AC的中点。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.设三棱柱的棱长为2,则白 ,。）,口（0。2）0。工0）马（祗。2,，Ab =.设n = (?c,yz)为平面BiCD的一个法向量，由户南U.得！点=。故|n - CB1 = 0 v-y - 2z = Ot 1 y = 2zi令工=】，得5 = (021) .设直线AD与平面B】DC所成角为.- - |Xb n| 44贝 U sina |cos < A

12、En > | z t=,=,|AD |n| 怖-祗 5所以直线AD与平面BDC所成角的正弦值为5故选A.【点睛】空间向量的引入为解决立体几何问题提供了较好的方法，解题时首先要建立适当的坐标系，得到相关点的坐标后借助向量的运算，将空间图形的位置关系或数量关系转化为向量的运算处理.在解决空间角的问题时，首先求出向量夹角的余弦值，然后再转化为所求的空间角.解题时要注意向量的夹角和空间角之间的联系和区别，避免出现错误.12 .已知VxER, 9 ER,使4工-炉*|十m=0成立，则m的取值范围是()A. -| B. :; 一 ： C. ； . I ' D. | - 一【答案】A【解析】【

13、分析】由题意得方程m= -4*才一有解，进而转化为函数 y = m和函数y= 一了十炉+1的图象有公共 点，利用换元法求出函数y= .4'十d”的值域即为所求的范围.【详解】¥xER, RiER,使4，一y"十小=0成立，方程m =2*7 -4'有解，函数y = m和函数y = - 4*+2" ”的图象有公共点.令L = 2”(t>0),则=i-2t= -t. l+ 1三1 ,，函数y = - 4”十寸7的值域为(-91,.实数m的取值范围是(-8川.故选A.【点睛】解答本题的关键在于将问题进行转化，即转化为两函数的图象有公共点的问题处理,

14、并进一步转化为求函数的值域的问题求解，考查理解和转化能力，属于基础题.二.填空题.13 .利用计算机产生01之间的均匀随机数a,则使关于x的一元二次方程xa-x I a =0无实根的 概率为.【答案】4【解析】方程无实根，A = 14a<0,，林，即所求概率为 乙故填：-44414 .从编号为0,123,，内的8。件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一组样本，若编号为42的产品在样本中，则该组样本中产品的最小编号为【答案】10【解析】样本间隔为80+5=16, 42=16X 2+10, .该样本中产品白最小编号为10,故填10.15 .已知抛物线 产=2Px的焦点为F, F关于原点

15、的对称点为 P,过F作x轴的垂线交抛物线于M N两点，给出下列三个结论：APMN必为直角三角形；直线PM必与抛物线相切；APMN的面积为pj其中正确的结论是 .【答案】【解析】【分析】1对于，验证|PF|=：MN是否成立即可得到结论是否正确；对于，求出直线PM的方程后与抛物线方程联立消去X得到关于y的二次方程，根据判别式的符号进行验证即可得到结论是否正 确；对于，根据三角形的面积公式求出色加 的面积后进行验证即可.【详解】对于：由题意得抛物线/= 2Px二0)的焦点为F髀P过F作x轴的垂线交抛物线于 M N两点，则- p),I.F 为 MN的中点，且 |PF| = -IMNL.PMN为等腰直角

16、三角形，故正确;对于：直线PM勺方程为yf = , P由一乂鼻消去x整理得J_2py+pjQ,（y2 = 2px' ' !|，直线PM与抛物线相切，故正确；1 1n对于：由题意得 7PMN = TPFnMW| = f2p*p = p故正确.2 2综上可得正确结论的序号为.故答案为：【点睛】本题考查抛物线的性质和直线与抛物线的位置关系，求解的关键是借助于代数运算进行求解，考查转化和计算能力以及运用知识解决问题的能力，属于基础题.16.已知点MH、0）N（3gBa% 圆C与直线MNU于点B,过M N与圆C相切的两直线相交于 点P,则P点的轨迹方程为 .【答案】8【解析】【分析】画出

17、图形，结合圆的切线长定理和双曲线的定义进行分析，可得 |PM|- PN| = 2 < |MN,结合双 曲线的定义可得点 P的轨迹为双曲线的右支，然后再根据待定系数法可求得曲线方程.【详解】如图，设直线 MPNP与圆C分别切于点AQ,-2 -由切线长定理得 | MA=| MB=4 , | ND=| NB=2 , | PA=| PD ,所以 IPMI-IPN =（|PA| + IMADIPDI 十 INDI） = |MA|ND| = 4-" 2 父MN,所以点P的轨迹为以M（-3、O）N（3Q）为焦点，实轴长为2的双曲线的右支（且去掉右顶点）设双曲线的方程为/ b2则 2a = 2

18、,c = 3 ,故a= lTb3 = 9- 1 =片，所以点P的轨迹方程为xL匚=1仅1).8故答案为：xL2=11x1). 8【点睛】本题考查用定义法求曲线的方程，考查分析问题和解决问题的能力，解题时要注意 对几何图形的分析，在得到曲线的形状后再利用待定系数法求解.解答本题容易出现的错误 是忽视题意及双曲线定义中的绝对值，而误认为是整条双曲线.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.点(4,4)在抛物线c/ = 2py(p：0)上，且A, B为C上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求抛物线C的方程；(2)求直线AB的斜率。【答案】(1) x： = 4y (2) 1【解析】

19、【分析】(1)通过点(4, 4)在抛物线上，求出 p.即可得到抛物线 C的方程；22设A(x)H),且X1+X2=4,转化求解直线的斜率即可4 '" 4【详解】(1)因为点(4,4)在抛物线上，代入得：I6=2px 4np=2, 所以抛物线。的方程为X、4y22设薪学%且xx4,则kJ XJ(X 4- K-区-X*v +Y二一=1,故直线AB的斜率为1.4【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能 力.18.2019年4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了 100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间(

20、单位：小时)的数据，按阅读时间分组：第一组0,5), 第二组5,10),第三组10,15),第四组15,20),第五组20,25,绘制了频率分布直方图如下图所示。已知第三组的频数是第五组频数的3倍。(1)求;l的值，并根据频率分布直方图估计该校学生一周课外阅读时间的平均值；(2)现从第三、四、五这 3组中用分层抽样的方法抽取6人参加校“中华诗词比赛”。经过比赛后，从这6人中随机挑选2人组成该校代表队，求这2人来自不同组别的概率。【答案】(1) a=0.06,平均值为12.25小时(2)15【解析】【分析】(1)由频率分布直方图可得第三组和第五组的频率之和，第三组的频率，由此能求出a和该样本数据

21、的平均数，从而可估计该校学生一周课外阅读时间的平均值；(2)从第3、4、5组抽取的人数分别为3、2、1,设为A,B,C,D,E,F,利用列举法能求出从该6人中选拔2人，从而得到这2人来自不同组别的概率.【详解】(1)由频率分布直方图可得第三组和第五组的频率之和为I 0.01+0.07 + 0.04)x5 = 0.4,飞第三组的频率为1+30.3= =：'：5该样本数据的平均数x = 2.5 xOOl x5 + 7,5 x 0.07x5 + 12.5 x 0.06 x 5 + 17.5 x 0.04 x 5 十 22 5 x 0 02 x 5 =12.25所以可估计该校学生一周课外阅读时

22、间的平均值为1225小时。(2)易得从第3、4、5组抽取的人数分别为 3、2、1,设为则从该6人中选拔2人的基本事件有：ARAC皿AKAF、BC,ED.EE,EF, CD,CE,CFQE,DF、EF共15种，其中来自不同的组别的基本事件有：AD,.AE.AF,BD,BE, BF,CD,CE, CF,DF,EF ,共11种，.这2人来自不同组别的概率为 -. 15【点睛】本题考查平均数、概率的求法，考查古典概型、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.19.已知函数 f(x) = Inx + ax.(1)当a=时，求函数X组在点RLfitD)处的切线方程;(2)若f(xj存在与直线

23、2x-y = 0平行的切线，求的取值范围。【答案】(1) 2x-y- I =0; (2)(-吟2)U(2Z。 e e【解析】【分析】(1)由题意得到函数的解析式，利用导数的几何意义求出切线的斜率后可得切线方程；(2), 1 1 1因为f(x)=一4a ,故由题意可得 一 = 2有解，即函数y0)与函数y =2 -日的图象有公共点，XXX结合函数y =k>0)的值域可得所求范围，但要去掉直线2x-y = 0与曲线相切时的情形.【详解】(1)当a=l时，f(x)=lnxFX,. 1= - 1 ,Xf()= 1-1=2,又=1,所求切线方程为：¥-1=2-1),即(2)由题意可得函数

24、定义域为 (口，十肉,i；x.必.'：,1；.,函数f(x)存在与2x-y =。平行的切线,，方程 = ?有解，即-a有解， 即函数y =x> 0)与函数y =2-a的图象有公共点.Iy = -> 0, x1- 2 - a>0,解得 3<2 .当直线2x-y = 0与函数y =fg的图象相切时，设切点为 仪口,左在1I- a = 2则有 X。,解得= e ,2Ko = lnx0 + ax0此时a=2，不符合题意.e1故综上所述a父2且a# 2-.e，实数w的取值范围是0%2)UQ,2). e e【点睛】(1)运用导数的几何意义解题时要注意“在点P处的切线”和“过

25、点 P的切线”两种说法的区别.(2)解答第二问时容易出现的问题是忽视直线2x-y =0与函数y =fg的图象相切的情形，解题时要考虑全面，避免因考虑不全而导致的错误.20.某市2011年至2017年新开楼盘的平均销售价格 (单位：千元/平方米)的统计数据如下表:年份2011201220132014201520162017年份代号X1234567销售价格y33.43.74.54.95.36(1)求Y关于x的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析 2011年至2017年该市新开楼盘平均销售价格的变化情况，并预测该市2019年新开楼盘的平均销售价格。£餐K一应附：参考公式：b =

26、-,;r其中工亍为样本平均值。L= I77参考数据： £-%先=1372 £< = 140 . i 1.i 1【答案】（1） ； =0_5x + 2.4（2）见解析【解析】【分析】（1）利用公式求出皿即可得出结论；（2）利用（1）的线性回归方程，代入x=9即可.- 1卜21314+5卜617【详解】（1）由题意知：x 4 ,_ 3 3.4 + 3,7 + 4,5 4.9 i 5.3 卜 6y 44,|137.2-7 4 x 4.4 =0.5140-742y xiYi -氏打 力占 所以111=A _ A_a =y - bx 4.4 - 0.5 x 4 2,4所以线性回

27、归方程为：（2）由（1）得到：=05>口，所以2011年至2017年该市新开楼盘平均销售价格的变化是逐年增加的，平均每年每平方增加0.5千元。将x = 9代入线性回归方程,=0_5犬十2_4得到：y = 0.5 x 9十2.4 = 6.9故预测该市2019年新开楼盘的平均销售价格为6.9千元/平方米.【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：依据样本数据画Tl tl出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；计算的值；计算回归系数6；i = l i=l写出回归直线方程为9=Bx + a;回归直线过样本点中心 仪向是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分

28、析两个变量的变化趋势21.如图，正方形ABC前四边形ACE所在的平面互相垂直，CEL AC EF AC AB£E = EE = I .（1）求证：CF_L平面BDE（2）求二面角A-BE-D的大小。冗【答案】（1）见证明；（2）-（或3阴6【解析】【分析】（1）连接FG可证得四边形 CEF的菱形，故得CF_LEG.再根据平面ABCD平面ACEF导到E 口，平面ACEF从而CFLBD.由线面垂直的判定定理可得结论成立.（2）建立空间直角坐标系，求出平面BDE和平面ABE的法向量，求出两向量的夹角的余弦值并结合图形可得所求角的大小.【详解】（1）连接FGEFCG,EF = CG = LC

29、E = 1 ,四边形CEF劭菱形，:EG .ABCM正方形，.-.BD1AC,又平面 ABCD平面 ACEF平面 ABCD 平面 ACEF=AC BD=平面 ABCD. BD 1 平面 ACEF . CF仁平面ACEFCF 1BD.又 EDA EG = G, BDc 平面 BDE, BGu 平面 BDE. CF J.平面 BDE(1)二.正方形 ABCDF口四边形 ACEF所在的平面互相垂直，且 CELAG CEL平面 ABCD以C为原点，CB为x轴，CD为：y轴，CE为工轴，建立如图所示的空间直角坐标系C - xyz ,则C（0,0Q）.aE20）,B（O也0）,E（0,0）.D（也0,0*（1,亭）,.一 sbecf 2 2J2 J2由（1）可得是平面BDE的一个法向量.cf 2 2设平面ABE的一个法向量为 二=(X,y，JAB 11令八=1 ,得由图形可得二面角 A-BE-D为锐角，二面角A-BE-D的大小为:(或配与. 6【点睛】利用向量求空间角是高考的热点，几乎每年必考，主要是突出向量的工具性作用.解 题时要注意以下两点：一是建立坐标系时要明确指出坐标原点和坐标轴，否则会出现建系不 规范的错误.二是将向量的夹角转化成空间角时，要注意根据角的概念和图形特征进行转化.222.已知椭圆方程为x