第1讲向量代数与空间几何20140830

1、第1讲 向量代数和空间解析几何一. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积1 向量(矢量):既有大小又有方向的量,如速度、位移等,常表示为等.向量通常用有向线段表示:有向线段的长度表示向量的大小(又称为向量的模,记为),有向线段的方向表示向量的方向.2 向量的线性运算加（减）法:三角形法则平行四连形法则数乘: 3 向量的数量积(点积、内积)数量积(点积、内积)：，向量的模向量与向量的夹角满足：4 向量的向量积(叉积、外积)向量积的模,方向垂直于和,且,符合右手法则.几何意义:(1) 的模是以和为邻边的平等四边形面积;(2) 与一切既平行于又平行于的平面垂直.5 向量的混

2、合积混合积 为与的夹角几何意义:平行六面体的体积向量共面6 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦向量运算的坐标表示设,为实数,则有加（减）法：数乘：两个非零向量与平行的充要条件是(当分母为零时,分子也为零)向量的模: 单位向量：方向角:非零向量与三个坐标轴正方向的夹角,记为.方向余弦:, ,且满足例 已知两点,求向量的三个方向角的方向余弦.设, 数量积： 向量积：混合积：二 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程曲面方程在空间直角坐标系中,如果曲面和三元方程满足下列条件:(1)曲面上任一点的坐标都满足(2)不在上的点的坐标都不满足,即满足的点都在上,称是曲面的方程,曲

3、面是方程的图形.曲线的方程空间曲面,空间曲线的一般方程为: 特别地,曲面与三个坐标面的交线方程为,例如: 表示球心在原点,半径为2的球面与平面的交线,是一个在平面上的圆.1 平面法线:垂直于平面的直线法向量:垂直于平面的任一非零向量平面的点法式方程设平面经过点,是它的一个法向量,是平面上任一点,则有即 例1 已知平面过两点和,求经过点且与直线垂直的平面方程.解: 平面的法向量平面的方程为即:例2 已知不共线的三点,和,求过这三点的平面方程.解法1: ,平面的法向量:平面方程为即:解法2:设为平面上的任一点,则共面,即 ,即从而得平面的三点式方程过已知三点,和的平面方程为平面的一般方程 在平面的

4、点法式方程中,记,则得平面的一般方程: 平面的法向量为 (1)若,方程为,表示过原点的平面.(2)若,方程为,表示平行于轴的平面. 若,方程为,表示平行于轴的平面. 若,方程为,表示平行于轴的平面.(3)若,方程为,表示过轴的平面. 若,方程为,表示过轴的平面. 若,方程为,表示过轴的平面.(4)若,方程为,表示平行于坐标面的平面. 其它类似.例3 求经过轴及点的平面方程.解:设所求平面方程为,代入点,整理得.例4 设平面方程为,求过原点且与该平面平行的平面方程.解:所求平面法向量为且过点 所求平面方程为:平面的截距式方程例5 设平面与轴,轴,轴分别交于三点,和,其中均不为零,求该平面的方程.

5、解:设平面的一般方程为,代入三点得,所求方程为称之为平面的截距式方程. 称为平面在轴上的截距.2 直线直线的一般方程,其中和不成比例.直线的参数方程及点向式方程(或对称式方程)设直线过点且平行于非零向量称为的方向向量,称为的方向数,设为直线上的任一点,则,即,整理得参数方程;点向式方程若分母为零,则分子也为零.直线的两点式方程例1 求过点和的直线方程.解: 所求直线的方程为例2 已知直线的一般方程为,求其点向式方程和参数方程.解:两平面的法向量为, 取直线上一点 点向式方程:即 参数方程:5 点、平面、直线的位置关系点到平面的距离 是空间一点,平面方程 点到平面的距离为例1 求两个平行平面与之

6、间的距离.解:在平面上任取一点,则点到直线的距离 直线方程为,为空间一点,则在直线上且直线的方向向量过作向量,使,则例2 求点到直线的距离.解: ,两平面的夹角设两平面,则其法向量的夹角(不取钝角)即为两平面的夹角 例3 设平面过原点及点,且与平面相互垂直,求此平面方程.解:设所求平面的方程为 因为平面与相互垂直,所以 又平面过原点及点,所以 解得,代入整理得.两直线的夹角设直线与的方向向量为与,两直线的夹角即其方向向量的夹角(不取钝角).例4 两条直线的参数方程为,验证与是异面直线(不平行,不相交),并求与的夹角.解: ,显然与不平行.若与相交,则必有,但此方程组无解,故与不相交,所以与是异

7、面直线.平面与直线的夹角即平面的法向量与直线的方向向量的夹角直线与平面垂直直线与平面平行设直线与平面的夹角为,平面的法向量与直线的方向向量的夹角为,则例5 已知直线和平面,求与的夹角.解: 平面的法向量 平面束 平面束:过空间直线的无穷多个平面. 设直线的方程为 过的平面束方程为 即例6 求过平面和的交线,且在轴,轴上有相同截距的平面方程.解:设过此交线的平面束方程为即化为截距式:由题意,解得,代入得所求平面方程为例7 设直线,试求在平面上的投影直线的方程.3 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形（1）球面 求以点为球心,以为半径的球面方程.

8、解:设为球面上任意一点，由题意有两边平方得:该方程即为所求的球面方程.特别当球心在原点时，即，球面方程为是球面的上半部分方程.是球面的下半部分方程.练习:方程表示怎样的曲面?（2）柱面 设为确定的直线,为确定的曲线,动直线与相交但不重合, 始终平行于沿曲线运动形成的曲面,称为柱面. 称为母线, 称为准线. 母线平行于轴的柱面:,准线: 母线平行于轴的柱面:,准线: 母线平行于轴的柱面:,准线: 如:圆柱面:;椭圆柱面: ;抛物柱面: （3）旋转曲面 平面上曲线绕定直线旋转而成的曲面称为旋转曲面. 称为对称轴, 称为母线. 旋转椭球面: 平面图形或绕轴旋转而得 旋转抛物面:, 平面图形或绕轴旋转而得例：写出空间曲线绕轴旋转而成的曲面方程。（4）锥面 为空间曲线,为外一点,由与上所有点的连线形成的曲面,称为锥面. 椭圆锥面: 圆锥面:7空间曲线的参数方程、一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程 空间曲线的参数方程:例 一动点开始位于面的点,它以角速度绕轴旋转,并始终与轴的距离为,同时又以线速率沿轴正方向上升,试建立其轨迹曲线的方程.解: ,令,得,称为螺旋线.三.二次曲面(截痕法)1.椭球面: 叫做椭球面的半轴.2.抛物面: 椭圆抛物面.四空间几何图形 设为一空间曲线，为一平面，称以为准线，垂直于的柱面为曲线对平面的投影柱面。 投影柱面与的交线为在