第三章插补20140112

1、1第三章 数控插补原理 3.1 概述 3.2 基准脉冲插补3.3 数据采样插补3.4 加减速控制23.1 概述 3.1.1 3.1.1 插补的基本概念插补的基本概念 插补技术是机床数控系统的核心技术之一。刀具的运动轨迹在微观上是由小线段构成的折线。定义：数控系统根据零件轮廓线型的有限信息，计算出刀具的一系列加工点、完成所谓的数据“密化”工作。用基本线形拟合其它轮廓曲线。要求：1.所需的原始数据少。2.插补精度高，没有累计误差，局部偏差不超差。3.进给速度基本恒定。4.硬件线路简单，软件插补算法简洁。 硬件插补器插补运算的装置或程序称为插补器插补运算的装置或程序称为插补器 硬件结合插补器 软件插

2、补器3.1.2 3.1.2 插补方法的分类插补方法的分类 直线直线圆弧圆弧抛物线抛物线渐开线渐开线样条曲线样条曲线插补功能插补功能1.基准脉冲插补基准脉冲插补 每次插补结束仅向各运动坐标轴输出一个控制脉冲，各坐标仅产生一个脉每次插补结束仅向各运动坐标轴输出一个控制脉冲，各坐标仅产生一个脉冲当量或行程的增量。脉冲序列的频率代表坐标运动的速度，而脉冲的数冲当量或行程的增量。脉冲序列的频率代表坐标运动的速度，而脉冲的数量代表运动位移的大小。量代表运动位移的大小。 基准脉冲插补方法有基准脉冲插补方法有：逐点比较法、数字积分法、脉冲乘法器等。：逐点比较法、数字积分法、脉冲乘法器等。应用：应用：采用步进电

3、机驱动数控系统。采用步进电机驱动数控系统。 2.数据采样插补数据采样插补 采用时间分割思想，根据编程的进给速度将轮廓曲线分割为每个插补周期采用时间分割思想，根据编程的进给速度将轮廓曲线分割为每个插补周期的进给直线段（又称轮廓步长），以此来逼近轮廓曲线。将轮廓步长分解的进给直线段（又称轮廓步长），以此来逼近轮廓曲线。将轮廓步长分解为各个坐标轴的进给量，作为指令发给伺服驱动装置。按伺服检测采样周为各个坐标轴的进给量，作为指令发给伺服驱动装置。按伺服检测采样周期采集实际位移，并反馈给插补器与指令比较，有误差运动，误差为零停期采集实际位移，并反馈给插补器与指令比较，有误差运动，误差为零停止，完成闭环控

4、制。止，完成闭环控制。数据采样插补方法有：数据采样插补方法有：直线函数法、扩展直线函数法、扩展DDA、二阶递归算法等。二阶递归算法等。 应用：应用：以直流或交流伺服电机驱动的闭环或半闭环数控系统以直流或交流伺服电机驱动的闭环或半闭环数控系统 稳定性指标稳定性指标插补运算需要迭代运算，有可能由于计算误差和舍入误差的累积而使总插补运算需要迭代运算，有可能由于计算误差和舍入误差的累积而使总误差不断增大，导致插补轨迹严重偏离指定轨迹。误差不断增大，导致插补轨迹严重偏离指定轨迹。 插补精度指标插补精度指标包括逼近误差、计算误差和圆整误差，其中逼近误差和计算误差与插补包括逼近误差、计算误差和圆整误差，其中

5、逼近误差和计算误差与插补算法密切相关。一般要求插补精度小于系统的最小运动分辨率或脉冲当算法密切相关。一般要求插补精度小于系统的最小运动分辨率或脉冲当量值。量值。 合成速度均匀性指标合成速度均匀性指标插补运算输出的各轴进给率，经运动合成的实际速度与指令速度的符合插补运算输出的各轴进给率，经运动合成的实际速度与指令速度的符合程度。若实际合成速度波动过大，就会影响零件的加工质量，尤其是表程度。若实际合成速度波动过大，就会影响零件的加工质量，尤其是表面质量。面质量。 算法的时间和空间复杂度算法的时间和空间复杂度算法的时间复杂度是指执行算法所需要的时间，空间复杂度是指算法需算法的时间复杂度是指执行算法所

6、需要的时间，空间复杂度是指算法需要耗费的内存空间。插补运算是实时性很强的运算，要求在较短的时间要耗费的内存空间。插补运算是实时性很强的运算，要求在较短的时间间隔内完成，因此插补算法要求简洁高效。间隔内完成，因此插补算法要求简洁高效。3.1.3 插补算法的评价指标插补算法的评价指标63.2 基准脉冲插补 3.2.1 逐点比较法逐点比较法 1.插补原理及特点 原理：每次仅向一个坐标轴输出一个进给脉冲，而每走一步都要通过偏差函数计算，判断偏差点的瞬时坐标同规定加工轨迹之间的偏差，然后决定下一步的进给方向。特点：运算直观，插补误差不大于一个脉冲当量，脉冲输出均匀，调节方便。步骤：1.偏差判别，2.进给

7、，3.偏差计算，4.终点判别 72.逐点比较法直线插补（1 1）偏差函数构造）偏差函数构造 对于第一象限直线OA上任一点(X,Y)若刀具加工点为Pi（Xi，Yi），则该点的偏差函数Fi可表示为 若Fi = 0，表示加工点位于直线上；若Fi 0，表示加工点位于直线上方；若Fi 0，表示加工点位于直线下方。0eeXYYXeieiiYXXYFYXF 0Pi (Xi,Yi)Ae (Xe,Ye)8（2 2）偏差函数字的递推计算）偏差函数字的递推计算 若Fi=0，规定向+X方向走一步若Fi0，规定+Y方向走一步，则有（3 3）终点判别）终点判别 直线插补的终点判别可采用三种方法。 1）判断插补或进给的总步

8、数； 2）分别判断各坐标轴的进给步数； 3）仅判断进给步数较多的坐标轴的进给步数。 eiieieiiiYFXYYXFXX) 1(111eiieieiiiXFXYYXFYY) 1(1119（4 4）逐点比较法直线插补举例）逐点比较法直线插补举例对于第一象限直线OA，终点坐标Xe=6 ,Ye=4，插补从直线起点O开始，故F0=0 。终点判别是判断进给总步数N=6+4=10，将其存入终点判别计数器中，每进给一步减1，若N=0，则停止插补。 步数步数判别判别坐标进给坐标进给偏差计算偏差计算终点判别终点判别0 0 F F0 0=0=0=10=101 1F=0F=0+ +X XF F1 1=F=F0 0-

9、y-ye e=0-4=-4=0-4=-4=10-1=9=10-1=92 2F0F0F0+ +X XF F3 3=F=F2 2-y-ye e=2-4=-2=2-4=-2=8-1=7=8-1=74 4F0F0F0+ +X XF F5 5=F=F4 4-y-ye e=4-4=0=4-4=0=6-1=5=6-1=56 6F=0F=0+ +X XF F6 6=F=F5 5-y-ye e=0-4=-4=0-4=-4=5-1=4=5-1=47 7F0F0F0+ +X XF F8 8=F=F7 7-y-ye e=2-4=-2=2-4=-2=3-1=2=3-1=29 9F0F0F0+ +X XF F1010=F

10、=F9 9-y-ye e=4-4=0=4-4=0=1-1=0=1-1=0OA98754321610YX103.逐点比较法圆弧插补 （1 1）偏差函数）偏差函数 任意加工点任意加工点P Pi i（X Xi i，Y Yi i），），偏差函数偏差函数F Fi i可表示为可表示为若若F Fi i = 0= 0，表示加工点位于圆上；表示加工点位于圆上；若若F Fi i 0 0，表示加工点位于圆外；表示加工点位于圆外；若若F Fi i 0 0，表示加工点位于圆内。表示加工点位于圆内。 222RYXFiiiA(xa , ya)Pi(xi , yi)XYB(xb , yb)ORRi11（2 2）偏差函数的递推

11、计算）偏差函数的递推计算 1 1） 逆圆插补逆圆插补 若若FF0 0，规定向规定向- -X X方向走一步方向走一步 若若F Fi i00，规定向规定向+ +Y Y方向走一步方向走一步 2 2） 顺圆插补顺圆插补 若若F Fi i00，规定向规定向- -Y Y方向走一步方向走一步 若若FiFi00，规定向规定向+ +y y方向走一步方向走一步（3 3）终点判别）终点判别 1 1）判断插补或进给的总步数：）判断插补或进给的总步数： 2 2）分别判断各坐标轴的进给步数；）分别判断各坐标轴的进给步数； 12) 1(122211iiiiiiiXFRYXFXX12) 1(122211iiiiiiiYFRY

12、XFYY12) 1(122211iiiiiiiYFRYXFYY12) 1(122211iiiiiiiXFRYXFXXbabaYYXXNbaxXXNbayYYN12（4 4）逐点比较法圆弧插补举例）逐点比较法圆弧插补举例 对于第一象限圆弧对于第一象限圆弧ABAB，起点起点A A（4 4，0 0），），终点终点B B（0 0，4 4） ABYX44步数偏差判别坐标进给 偏差计算坐标计算终点判别起点 F0=0 x0=4, y0=0=4+4=81F0=0-xF1=F0-2x0+1 =0-2*4+1=-7x1=4-1=3y1=0=8-1=72F10+yF2=F1+2y1+1 =-7+2*0+1=-6x2

13、=3y2=y1+1=1=7-1=63F20+yF3=F2+2y2+1=-3x3=3, y3=2=54F30-xF5=F4-2x4+1=-3x5=2, y5=3=36F50-xF7=F6-2x6+1=1x7=1, y7=4=18F70?沿x向走一步沿y向走一步n=0?结束n=n-1|eyFF|exFF初始化开始F0?沿+y向走一步沿-x向走一步n=0?结束n=n-100yyxxnee12,1,jjijiyFF12, 1ijijixFFNNNNYYYY144.逐点比较法的速度分析 式中：式中： L L 直线长度；直线长度；V V 刀具进给速度；刀具进给速度；N N 插补循环数；插补循环数；f f

14、插补脉冲的频率。插补脉冲的频率。所以：所以：加工圆弧时，刀具的进给速度与该点处的半径同加工圆弧时，刀具的进给速度与该点处的半径同Y Y轴的夹角有关，进轴的夹角有关，进给速度在给速度在(1(10.707)0.707)f f 间变化。间变化。 结论：刀具进给速度与插补时钟频率结论：刀具进给速度与插补时钟频率f f 和与和与X X轴夹角轴夹角 有关有关 fNVLsincosLLYXNeecossinfV5.逐点比较法的象限处理 （1 1）分别处理法）分别处理法 四个象限的直线插补，会有四个象限的直线插补，会有4 4组计算公式，对于组计算公式，对于4 4个象限的逆时针圆弧插个象限的逆时针圆弧插补和补和

15、4 4个象限的顺时针圆弧插补，会有个象限的顺时针圆弧插补，会有8 8组计算公式组计算公式（2 2）坐标变换法）坐标变换法 用第一象限逆圆插补的偏差函数进行第三象限逆圆和第二、四象限顺圆用第一象限逆圆插补的偏差函数进行第三象限逆圆和第二、四象限顺圆插补的偏差计算，用第一象限顺圆插补的偏差函数进行第三象限顺圆和插补的偏差计算，用第一象限顺圆插补的偏差函数进行第三象限顺圆和第二、四象限逆圆插补的偏差计算。第二、四象限逆圆插补的偏差计算。 顺圆逆圆3.2.2 3.2.2 数字积分法数字积分法 ( (DDADDA法法) )用数字积分的方法计算刀具沿各坐标轴的位移，数字积分法又称数字微分分析（DDA）法.

16、1.插补原理及其特点 刀具在刀具在X X、Y Y方向的位移方向的位移 积分的过程可以用微小量的累加近似积分的过程可以用微小量的累加近似为为 特点：特点：运算速度快，脉冲分配均匀，易于实现多坐标联动。运算速度快，脉冲分配均匀，易于实现多坐标联动。sincosVVVVYXdtVdtVXXcosdtVdtVYYsintVtVYtVtVXYXsincos17 2. DDA 法直线插补 （1 1）DDADDA法直线插补的积分表达式法直线插补的积分表达式 由于由于 则则 直线插补从始点走向终点的过程，可以看作是各坐标轴每经过一个单位时直线插补从始点走向终点的过程，可以看作是各坐标轴每经过一个单位时间间隔，

17、分别以增量间间隔，分别以增量kxkxe e及及kykye e同时累加的过程。同时累加的过程。令令 则则DDADDA直线插补的积分表达式直线插补的积分表达式 KYVXVLVeYeXeYeXKYVKXV,miemietYKYtXKX11XYA(Xe,Ye)VxVyV1tNK21miNemiNeYYXX112218N N为累加器的为累加器的位数位数，当累加数等于或大于当累加数等于或大于2 2N N时，便发生溢出，而余时，便发生溢出，而余数仍存放在累加器中数仍存放在累加器中积分值积分值= =溢出脉冲数溢出脉冲数+ +余数余数当两个积分累加器根据插补时钟同步累加时，用这些溢出脉冲数分当两个积分累加器根据

18、插补时钟同步累加时，用这些溢出脉冲数分别控制相应坐标轴的运动。别控制相应坐标轴的运动。 （2 2）终点判别）终点判别 累加次数、即插补循环数是否等于2N可作为DDA法直线插补终点判别的依据x被积函数寄存器kxex积分累加器y积分累加器y被积函数寄存器kye+x轴溢出脉冲y轴溢出脉冲tmiemietYKYtXKX1119 （3 3）DDADDA法直线插补举例法直线插补举例插补第一象限直线插补第一象限直线OEOE，起点为起点为O O（0 0，0 0），），终点为终点为E E（5 5，3 3）。）。取被积函数寄存器分别取被积函数寄存器分别为为J JVXVX、J JVYVY，余数寄存器分别为余数寄存器

19、分别为J JRXRX、J JRYRY，终终点计数器为点计数器为J JE E，均为三位二进制寄存器。均为三位二进制寄存器。 累加次累加次数数 X X积分器积分器 Y Y积分器积分器 终点计终点计数器数器J JE E 备备 注注 JVX(Xe)JRX溢出溢出 Jvy(Ye)JRy溢出溢出0101000011000000初始状态初始状态1101101011011001第一次迭代第一次迭代21010101011110010X溢出溢出31011110110011011Y溢出溢出41011001011100100X溢出溢出51010011011111101X溢出溢出61011100110101110Y溢出

20、溢出71010111011101111X溢出溢出810100010110001000X,Y溢出溢出tA(5,3)XYA(5,3)XY逐点比较法逐点比较法203. DDA法圆弧插补(1)DDA法圆弧插补的积分表达式 由由VVyVxPABRXYKXVYVRViYiXiXKYViYKXV 上式说明速度分量Vx、Vy是随着动点变化的 上式中，令则1tNK21圆弧插补时，是对切削点的即时坐标圆弧插补时，是对切削点的即时坐标Xi与与Yi的数值分别进行累加的数值分别进行累加mimiiNiymimiiNixxtKxdtVyytKydtVx11112121224.DDA法插补的速度分析直线直线圆弧圆弧其中：其中

21、：f-插补时钟频率插补时钟频率 -坐标轴的脉冲当量坐标轴的脉冲当量进给速度受到加工直线长度和圆弧半径的影响。进给速度受到加工直线长度和圆弧半径的影响。KLv LfvN21KRv RfvN21233.3 数据采样插补 3.3.13.3.1数据采样插补的基本原理数据采样插补的基本原理粗插补：采用时间分割思想，根据进给速度采用时间分割思想，根据进给速度F F和插补周期和插补周期T T，将廓型曲线分割将廓型曲线分割成一段段的轮廓步长成一段段的轮廓步长L L，L L= =FTFT，然后计算出每个插补周期的坐标增量。然后计算出每个插补周期的坐标增量。精插补：根据位置反馈采样周期的大小，由伺服系统完成。根据

22、位置反馈采样周期的大小，由伺服系统完成。 1.1.插补周期和采样周期插补周期和采样周期 插补周期插补周期是插补程序每两次计算各坐标轴增量进给指令间的时间。对系统的是插补程序每两次计算各坐标轴增量进给指令间的时间。对系统的轮廓轨迹精度有直接影响。轮廓轨迹精度有直接影响。 通常为毫秒级。通常为毫秒级。采样周期采样周期是位置闭环数字控制系统的采样时间。对系统的稳定性和轮廓轨迹是位置闭环数字控制系统的采样时间。对系统的稳定性和轮廓轨迹精度均有影响。精度均有影响。 1 1）. .插补周期大于插补运算时间与完成其它实时任务时间之和。插补周期大于插补运算时间与完成其它实时任务时间之和。2 2）. .插补周期

23、为采样周期的整数倍。插补周期为采样周期的整数倍。 24 2 2. .数据采样插补的误差分析数据采样插补的误差分析（1）直线插补轮廓步长与被加工直线重合，不会造成轨迹误差。 （2）圆弧插补 a.采用弦线对圆弧进行逼近时 b.采用内外差分弦对圆弧进行逼近时 （内外差分弦使内外半径的误差er相等 ）rFTrler8822rFTrler161622结论：1.当轮廓步长相等时，内外差分弦的半径误差是内接弦的一半 2.圆弧插补时的半径误差er与圆弧半径r成反比，而与插补周期T和进给速度F的平方成正比。当er给定时，可根据圆弧半径r选择插补周期T和进给速度F。 2222lerrr2222lererrr253

24、.3.2 3.3.2 数据采样法直线插补数据采样法直线插补 插补计算过程插补计算过程 （1 1）插补预处理）插补预处理在实时插补前，根据输入加工信息，将一些只需一次性在实时插补前，根据输入加工信息，将一些只需一次性计算的任务在插补前完成。这里，插补预处理工作主要为曲线长度和余弦计算的任务在插补前完成。这里，插补预处理工作主要为曲线长度和余弦函数的计算。函数的计算。 A(Xe,Ye)YXe2e2eiiixyxTFcoslxe2e2eiiiyyxTFcosly（2）实时插补计算）实时插补计算 实时计算出各插补周期中的插补实时计算出各插补周期中的插补点（动点）坐标值。点（动点）坐标值。i1iixxx

25、i1iiyyy1.扩展DDA法数据采样插补 一个插补周期一个插补周期T T内，轮廓步长内，轮廓步长l l的坐标分量的坐标分量X Xi i和和Y Yi i其中其中:新加工点新加工点A Ai+1i+1的坐标位置的坐标位置 特点：计算简单，速度快，精度高。特点：计算简单，速度快，精度高。 3.3.3 3.3.3 数据采样法圆弧插补数据采样法圆弧插补iiiiiiKyxKyKxyKx212111iiiiiiiiiiiiKyxKyyyyKxyKxxxx2121111127 2 2. .递归函数计算法（递归函数计算法（RFBRFB）递归函数采样插补是通过对轨迹曲线参数方程的递归计算实现插补的。1 1）一阶递

26、归插补）一阶递归插补 iiiiRYRXsincosii 1cossin)sin(sincos)cos(1111iiiiiiiiYXRYYXRX将三角函数sin、cos用幂级数展开进行二阶近似2121cos22KKsin带入上式，得iiiiiiiiKYXKYYKXYKXX212111XYOP0(X0,Y0)Pi(Xi,Yi)Pi+1(Xi+1,Yi+1)Pi+2(Xi+2,Yi+2)282) 二阶递归插补二阶递归插补 若插补点Pi+1已知，则对于下一插补点Pi+2有则 将一阶插补递推公式带入上式，则有 二阶递归插补需要用其它插补法计算出第二个已知的插补点Pi+1，同时考虑到误差的累积影响，参与计

27、算的已知插补点应计算得尽量精确。 12iicossinsincos112112iiiiiiYXYYXXKXYXYYKYXYXXiiiiiiiiii1121122cos22sin23.3.3.3.4 4 高速高精采样插补技术高速高精采样插补技术1.高速高精数控加工对插补频率的要求 rFTrler8822由曲线插补逼近公式可知：插补周期是影响数控系统控制精度和速度的关键因素。 2.高速高精插补的实现方法 硬件方面：以高档次的计算机硬件为基础软件方面：建立参数化模型，以绝对方式计算每个插补点，消除累积误差3.3.3.3.5 5 高速高精采样插补技术高速高精采样插补技术1.1.三次三次B样条曲线插补样

28、条曲线插补 三次B样条曲线的参数表达式为0112233)(AuAuAuAuC式中，A3，A2，A1，A0为系数矢量，0 u 1。)4)(6/1 ()33)(6/1 ()363)(6/1 ()33)(6/1 (210212123213iiiiiiiiiiiiDDDADDADDDADDDDA D0, D1Dn为控制点序列YY计算uj+1，uj+1 = uj +uj +1计算当前插补点坐标P(uj+1)j = j+1u0=0, j=0uj+1 1？in-2？结 束i = i +1NN开 始输入D0, D1, Dn，F，Ti=0取i i+3四个顶点三次B样条曲线插补计算流程图 D0D1D2D3D5D7D4D6PjPj+1Pj-1C(u)P02. NURBS曲线插补曲线插补 国际标准化组织（ISO）颁布的工业产品数据交换标准（STEP）把非均匀有理B样条曲线（NURBS: Non-Uniform Rational B-Splines）作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法。 原因：（1）NURBS