四年级下数学思维训练教程

1、四年级下期第一讲加减混合运算的简算例 1 计算：(1) 320587496749(2) 914362875287解：(1) 观察发现, 加数 8749 与减数 6749 的末三位数字相同, 如果让这两个数先抵消一下, 计算就会简便。因为加数大减数小, 抵消后的数还是加数, 所以 320587496749 3205(87496749) 32052000 5205(2) 观察发现, 减数 6287 与加数 5287 的末三位数字相同, 如果让这两个数先抵消一下, 计算就会简便。因为减数大加数小, 抵消后的数还是减数, 所以 914362875287 9143(62875287) 61431000从

2、上面两题可以发现：加减混合运算, 为了使计算简便而需要添上括号时, 如果在加号后面添上括号, 括号里面的数不必改变运算符号；如果在减号后面添上括号, 括号里面的数必须改变运算符号, 由加变成减, 由减变成加。简单地说就是, 在添上括号时：加号后面添括号, 原来加减不变号； 减号后面添括号, 原来加减要变号。有时, 为了使计算简便, 需要去掉括号, 这条规则可以反过来用。简单地说就是, 在去掉括号时：括号前面是加号, 原来加减不变号；括号前面是减号, 原来加减要变号。例 2 计算：(1) 1524(34761584) (2) 7369(43691055) 解：(1) 1524(34761583)

3、 152434761583 50001583 3417(2) 7369(43691055) 736943691055 30001055 4055上面的例题，再一次印证了认真观察、善于思考的重要性，希望同学们能有意识、有目的地养成这种好习惯。练习一1. 在里填运算符号, 在横线上填数。 (1) 564496196564( ) (2) 397748548397( ) (3) 843567967843( ) (4) 638293593638( )2. 用简便方法计算下面各题。 (1) 904356781678(2) 586744923492 (3) 613854768476 (4) 32642259

4、42593. 在里填运算符号, 在横线上填数。 (1) 374(526312)374 (2) 824(324158)824 (3) 579(279108)579 (4) 384(495216)384 (5) 607(514293)607 4. 用简便方法计算下面各题。 (1) 9473(64732815) (2) 3642(53071642) (3) 6382(41432618) (4) 4068(29321657)(5) 9364(53642989) (6) 1625(42682375)第二讲乘除混合运算的简算例 1计算：(1) 312567 (2)9600254解：(1) 算式的意义是把

5、312 先扩大 56 倍再缩小 7 倍。如果把扩大和缩小的倍数抵消一下, 就相当于把 312 直接扩大 5678 倍。 312567312(567)31282496(2)算式的意义是把 9600 先缩小 25 倍, 再缩小 4 倍。如果把缩小的过程合并成一次, 相当于缩小 254 倍, 因为 254100, 一个数缩小 100 倍, 只需从末尾去掉两个 0, 计算就非常简便。 96002549600(254)960010096从上面两题可以发现, 乘除混合运算, 为了使计算简便而需要添上括号时, 如果在乘号后面添上括号, 括号里面的数不必改变运算符号；如果在除号后面添上括号, 括号里面的数必须

6、改变运算符号, 由乘变除, 由除变乘。简单地说就是, 在添上括号时：乘号后面添括号, 原来乘除不变号；除号后面添括号, 原来乘除要变号。有时, 为了使计算简便, 需要去掉括号, 这条规则可以反过来用。简单地说就是, 在去掉括号时：括号前面是乘号, 原来乘除不变号；括号前面是除号, 原来乘除要变号。例 2 计算。(1) 25(12075) (2) 512(3215) 解：(1) 25(12075) 251207530007540 (2) 512(3215)51232151615240同学们一定会发现, 乘除混合运算添上或去掉括号的规则, 与加减混合运算的情况非常相似。只要稍作改变就可以一起记住。

7、例 3用简便方法计算下面各题。(1) 6826917 (3) 125168解：(1) 算式的意义可以理解为,把 68 先扩大 269 倍再缩小 17 倍。经验告诉我们: 把一个数先扩大再缩小或者先缩小再扩大,结果是一样的。但是,一般地说,把一个数先缩小再扩大要比先扩大再缩小好算一些。于是 6826917681726942691076 (2) 这道题虽然是把 125 先缩小再扩大, 符合计算方便的要求, 但是 12516 有余数, 往下无法进行。所以只好先扩大再缩小。于是 125168012580161000016625 于是, 我们得到一个非常有用的结论：乘、除连在一起, 乘数和除数可以带着运

8、算符号交换位置。练习二带“*”的是选作题。1. 在里填运算符号, 在横线上填数。 (1) 564369564( ) (2) 427637427( ) (3) 32084320( ) (4) 24863248( )2. 用简便方法计算下面各题。 (1) 423186 (2) 301549 (3) 840212 (4) 6564183. 在里填运算符号, 在横线上填数。 (1) 16(254)16 (2) 96(162)96 (3) 79(798)79 (4) 25(437)25 4. 用简便方法计算下面各题。 (1) 256(6415)(2) 125(3225) (3) 780(2618)(4)

9、 375(4075) (5) 936(3613)(6) 625(1687)5. 用简便方法计算下面各题。5139917 27002527 28567900364 9108613 7800922696002524 2255675 8007290111002537 8007290 111002537* 6. 计算 1(23)(34)(45)(56)(67)(78)。第三讲 求等差数的和例 1 计算123234345456567678。解：观察发现，相邻两个加数的差相等, 都是 111。这就启发我们，如果根据加法交换律和加法结合律, 先求出第一个加数与倒数第一个加数的和, 第二个加数与倒数第二个加数

10、的和, 第三个加数与倒数第三个加数的和, 那么 3 个和都相等。这样一来, 就可以用乘法代替加法, 使计算简便。 123234345456567678 (123678)(234567)(345456) 8013 2403 例 2 计算 1045105010551060106510701075。解：观察发现, 相邻两个加数的差相等, 都是 5, 一共有 7 个加数。中间的第四个加数 1060, 不仅是第三个加数与第五个加数的平均数, 也是第二个加数与第六个加数的平均数, 也是第一个加数与第七个加数的平均数。换句话说, 所有 7 个加数的和等于第四个加数的 7 倍。于是, 可以用乘法代替加法, 使

11、计算简便。 1045105010551060106510701075 10607 7420总结以上两种情况, 几个数相加, 当相邻两个加数的差相等时, 就可以用乘法代替加法, 使计算简便： (1) 如果加数的个数是双数, 可以用首尾两个加数相加的和乘以加数个数的一半； (2) 如果加数的个数是单数, 可以用中间那个加数乘以加数的个数。试试看：(1) 1471013161922?(2) 310320330340350360370380390?练习三1.用简便方法计算下面各题。(1) 1357911131517(2) 992993994995996997998999(3) 196019701980

12、199020002010(4) 111222333444555666777888999(5) 987876765654543432321 2. 下面是一个“乘法三角形”, 第一行表示: 一一得一；第二行表示: 一二得二,二二得四； 认真观察发现规律, 把每一横行、从右上方到左下方每一斜行各数的和, 填在相应的括号里。 1 ( ) 2 4 ( ) 369 ( ) 4 8 12 16 ( ) 5 10 15 20 25 ( ) 6 12 18 24 30 36 ( ) 7 14 21 28 35 42 48 ( ) 8 16 24 32 40 48 56 64 ( ) 9 18 27 36 45

13、54 63 72 81 ( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( ) 3. 游乐园有一座 13 层宝塔, 每层檐角上都挂了一些风铃。从上到下分别是 6 只、12 只、18 只、72 只、78 只。这座宝塔一共有多少只风铃?4. 小华看一本故事书。第一天看了 10 页, 从第二天起越看越快，每天都比前一天多看 2 页, 结果, 只用 5 天就把这本书看完了。这本故事书有多少页?* 5. 小明放学路过一条小巷, 走着走着，他想检验一下自己的口算能力, 于是，把一连 10 家的门牌号码(从小到大)加了起来, 得 105。你知道他是从几号开始加起的吗?第四讲解决问题(一)例 1光华纺

14、织厂, 女职工的人数比男职工的 3 倍多 102 人, 比男职工的 4 倍少 75 人, 这个厂有男女职工各多少人?解：这里是把男职工的人数当作一倍量, 画出线段图 男职工人数 102人 75人 女职工人数 男职工的3倍 男职工的4倍 可以看出 10275177(人)就是男职工人数，女职工有 1773102633 (人)，或，177475633(人)。例 2 一个养羊专业户, 饲养山羊 65 只, 养的绵羊比山羊多 130 只, 绵羊的只数是山羊的多少倍?解法一：先求出绵羊的只数, 再与山羊的只数比较。把山羊的只数作为一倍, 绵羊的只数里包含多少个山羊的只数, 绵羊就是山羊的多少倍。 (651

15、30)65195653解法二：先求出绵羊比山羊多的那一部分是山羊的多少倍, 再加上与山羊同样多的那一倍, 就是绵羊的只数是山羊的多少倍。 130651213练习四1. 选择算式填在括号里。(1) 业余体校有篮球 23 个, 排球比篮球的 2 倍多 5 个, 排球比篮球多多少个?( )(2) 业余体校有篮球 23 个, 排球比篮球的 3 倍多 5 个, 再买多少个排球, 排球就是篮球的 4 倍? ( )(3) 业余体校有篮球 23 个, 排球比篮球的 3 倍少 5 个, 排球比篮球的 2 倍多多少个? ( )(4) 业余体校有篮球 23 个, 排球比篮球的 3 倍少 2 个, 又买来 5 个排球

16、, 排球比篮球的 3 倍多多少个? ( ) ( 235 235 53 53 52 52 )2. 同学们到游泳馆学游泳。已知游泳池里男同学的人数比女同学的 3 倍多 24 人, 比女同学的 4 倍少 8 人。游泳池里有男、女同学各多少人? 3. 一艘木船 4 小时航行 76 千米, 一艘气垫船 2 小时航行 114 千米, 气垫船的速度是木船的几倍?4. 时鲜果品店运来一批水果, 其中, 香蕉 120 千克, 橘子的重量是香蕉的 3 倍。香蕉卖出了一些以后, 橘子的重量变成了香蕉的 5 倍。卖出香蕉多少千克? 5. 公园里养了 9 只大猴子, 比小猴子的只数少 27 只, 小猴子的只数是大猴子的

17、多少倍? (用两种方法解)6. 新华小学组织四年级同学，对学校附近居民拥有家电的情况进行了一次调查, 结果如下：252 户有彩电, 36 户没有彩电；72 户没有洗衣机, 比有洗衣机的少 144 户。(1) 有彩电的户数比没有彩电的户数多多少倍?(2) 有洗衣机的户数是没有洗衣机的户数的多少倍?第五讲解决问题(二)例 1一台黑白电视机 468 元, 彩色电视机的价钱比黑白电视机的 5 倍还贵 180 元。买一台黑白电视机比买彩色电视机便宜多少元?解法一：先求出一台彩色电视机的价钱，再拿黑白电视机的价钱和彩色电视机相比较。468518046823401804682052(元)解法二：画出线段图

18、468元 黑白电视机的价钱 180元 彩色电视机的价钱 从图上可以看出：彩色电视机的价钱比黑白电视机贵的部分, 相当于黑白电视机价钱的 514 倍多 180 元。因此, 不必求出彩色电视机的价钱, 也能求出黑白电视机比彩色电视便宜多少元。 468(51)18046841802052(元)例 2新华书店四月份售出儿童读物 12800 本, 比三月份多售出 2200 本。五月份售出的等于三、四两个月售出总和的一半, 五月份售出多少本?解法一：先求出三月份售出多少本，三、四两个月一共售出多少本，再求五月份售出多少本。(12800220012800)223400211700(本)解法二：用线段图表示出

19、三、四月份售书本数之间的数量关系 12800 本 四月份售书本数 三月份售书本数 2200本 从图上可以看出：三、四月份售出的总数比四月份的 2 倍少 2200 本。因此, 不必求出三月份售出多少本, 可以先直接求出三、四月份售出的总数, 再求出五月份售出多少本。 (1280022200)223400211700(本)练习五1. 畜牧场养了两种羊, 黑羊 1048 只, 白羊的只数比黑羊的 3 倍少 59 只。白羊比黑羊多多少只? (用两种方法解)2. 服装厂去年上半年生产童装 1054 箱, 下半年生产的童装比上半年的 2 倍还多 98 箱, 下半年比上半年多生产多少箱?3. 果园里有桃树

20、204 棵, 梨树的棵数比桃树的 3 倍少 57 棵, 两种果数共有多少棵? 4. 学校图书室有科技书 430 本, 故事书的本数是科技书的 3 倍, 但是比连环画还少 79 本。连环画比科技书多多少本?5. 水果店上午卖出桔子 15 筐, 下午卖出的比上午的 2 倍少 4 筐。每筐桔子 25 千克, 每千克售价 2 元, 一共卖了多少钱?6. 和平路小学有学生 1250 人, 幸福路小学的学生人数比和平路小学多 548 人, 健康路小学的学生人数等于这两所小学总人数的一半, 健康路小学有学生多少人? (用两种方法解)第六讲 鸡免同笼问题例 1 笼子里关着鸡和兔子一共 36 只, 一共 100

21、 只脚, 鸡和兔子各多少只?解：这就是有名的“鸡兔同笼问题”, 解答这类问题，通常采用“假设法”。解法一：假设全都是鸡, 应该有23672(只)脚, 比实际少了1007228(只)脚。用一只兔子换一只鸡, 可以增加422(只)脚。增加28只脚，需要换28214(只)兔子，也就是说实际有12只兔子, 其余的361422(只)是鸡。解法二：假设全都是兔子, 应该有436144(只)脚, 比实际多了14410044(只)脚。用一只鸡换一只兔子, 可以减少422(只)脚。减少44只脚，需要换44222(只)鸡，也就是说实际有22只鸡, 其余的362214(只)是兔子。 在我国古代，解这类鸡兔同笼问题，

22、采用一种非常特殊的方法，它的特别之处在于，脚不用“只”而用“双”做单位。古人是这样想的：免子有2双脚, 鸡有1双脚，1只兔子比1只鸡多1双脚。现在共有50双脚, 比头数多14, 说明有14只兔子, 其余的361422(只)自然是鸡。这种方法真是妙不可言。瞧，咱们的老祖宗有多聪明！例 2一次考试共有10道题, 评分标准是：答对一题得3分；答错一题扣2分；不能不答。小明得了15分, 他一共答对了几道题?解：可以这样想：假设10道题全都答对了, 应该得31030(分), 答错一题不仅不能得分还要扣分, 等于少得325(分),小明少得了301515(分), 说明答错了1553(道), 答对了 1037

23、(道)。练 习 六1笼子里共有鸡和兔子51只，共有脚172只，鸡和兔子各多少只？2. 广场上停了 16 辆自行车和三轮车, 两种车共有 38 个轮子, 有几辆自行车, 几两三轮车?3. 张老师带同学们到游乐场去玩, 买了20张门票，一共用了76元。门票有两种,甲种票每张5元, 乙种票每张3元, 两种票各买了多少张?4. 搬运站给客户运250箱玻璃, 商定每箱运费20元, 如果损坏一箱, 不仅不付运费, 还要赔偿100元。结果共得运费4400元, 损坏了几箱? 5. 一次知识竞赛, 共20题, 答对一题得10分, 答错一题扣5分, 不答不得分也不扣分。小英得了155分, 她答对了几题? 答错了几

24、题?* 6. 松鼠妈妈采松子, 晴天每天采20个, 雨天每天采12个, 它一共采了112个松子, 平均每天采14个, 这些天当中有几天下雨?第七讲 找规律例 1 先找出规律，然后在括号里填上适当的数。(1) 2，5, 11, 23, 47，( )，（ ）；(2) 13，16, 18, 31, 23, 46，( )，( )；(3) 8, 15，11, 13，15, 10，20，6，( )，( )；(4) 8, 3，9, 4，10, 5，( )，( )。解：(1) 观察发现：后项前项21。应该填 472195，9521191。(2) 观察发现：单数项依次加 5，应该填 23528；双数项依次加 1

25、5，461561。(3) 观察发现：单数项依次加 3、4、5，应该填 20626；双数项依次减 2、3、4，应该填651。(4) 观察发现：逐项依次减 5，加 6，应该填 5611, 1156，例 2 下面的数是由自然数 1、2、3、排列而成的，第 10 行最左边的数是多少？最右边的数是多少？ 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 解：这道题实际上是求数列 1,2，5,10,17，和数列 1,4，9,16,25，的第 10 个数分别是多少。 在数列 1,2，5,10,17，中，相邻两个数的差依次为 1,

26、3，5,7，第 10 个数是 113579111315171(117)9282。 在数列 1,4,9,16,25，中，第几个数等于几自乘的积，第 10 个数是 1010100。练 习 七带“”的是往届全国小学数学奥林匹克竞赛题。1找出下面各数列的规律，并按所找到的规律在括号里填上合适的数。 (1) 25, 3，22, 3，19, 3，( )，( )； (2) 8, 1，10, 2，12, 3，( )，( )； (3) 12, 14, 17, 21, 26，( )，( )； (4) 1, 3，9, 27, 81，( )，( )； (5) 1, 2，5, 4，9, 6，13, 8，( )，( )；

27、(6) 8，15, 29, 57，( )，( )；(7) 2, 3，5, 9，17，( )，( )；(8) 2, 3，8, 8，14, 13, 20，( )，( )。2找出下面数表的规律，然后再接下去写两行，并把每行各数的和填在右边的括号里。 1 ( ) 1 1 ( ) 1 2 1 ( ) 1 3 3 1 ( ) 1 4 6 4 1 ( ) ( ) ( ) 3找出下面算式的规律，再计算 123199920001999321( ) 1214 123219 123432116 12345432125 4找出下面算式的规律，再求出 13599( ) 11 134 1359 1357165一只母鸡生蛋

28、很有规律，总是连着两天每天生一个蛋，然后就要歇一天。已知“五一”节这天没有生蛋，那么五月份一共生了( )个蛋。 6. 下面三个方框内的数有相同的规律, 请你找出它们的规律, 先确定 B、C, 再确定 A, 那么 A 是多少？ 9 1 20 2 A 32 3 3 4 B C第八讲 数正方形例 1 图中有多少个正方形？ 解：图中有许多大大小小的正方形。为了在数的时候做到既不重复又不遗漏，最好先分类，再一类一类地数。(1)由两个小三角形组成的最小的正方形有8个；(2)由4个小三角形组成的稍大一些的正方形有4个；(3)由4个小正方形组成的更大一些的正方形有3个；(4)由16个小三角形组成的最大的正方形

29、只有1个。所以，图中共有843116(个)正方形。例 2图中有多少个正方形? 解：图中的小正方形共有4行，每行有4个。这些小正方形可以组成许多更大的正方形，仍然按照从小到大的顺序来数：(1)小正方形有44个；(2)由4个小正方形组成的正方形有33个；(3)由9个小正方形组成的正方形有22个；(4)由16个小正方形组成的正方形有1个。共有1694130(个)。由此猜想：假如中的小正方形共有5行，每行5个，是不是总共有5544332211个正方形呢？小正方形共有6行，每行6个，是不是总共有665544332211个正方形呢？要是7行，每行7个呢？请你验证一下好吗？你是否发现了这样一个规律：如果图中

30、的小正方形共有n行，每行有n个，计算正方形的总数，可以从nn开始，然后每个因数都逐次减1，直到11为止，再把这些积相加。例 3图中有多少个正方形？解：图中的小正方形共有4行，每行7个。这些正方形可以分为4类：11的、22的、33的、44的。分别有：(1)11的正方形有4728(个)；(2)22的正方形有3618(个)；(3)33的正方形有2510(个)；(4)44的正方形有144(个)。共有47362514281810470(个)。这就再次触发我们的猜想：如果图中的小正方形共有m行，每行n个，计算正方形的总数，是不是可以从mn开始，然后每个因数都逐次减1，直到有一个因数出现1为止，再把这些积相

31、加就行了呢？请你给m、n设一些不同的数，验证一下好吗？练习八1. 下面3个图形中各有多少个正方形？2左下图中有多少个正方形？3右上图中有多少个正方形？4右图是一个黑白相间的88国际象棋盘，其中有许多正方形，在这些正方形中,黑白格子各占一半的正方形有多少个？第九讲乘法分配律的妙用 运用乘法分配律有时会使复杂的计算变得非常简单。乘法分配律的运用巧妙、灵活, 处处闪耀着智慧的光芒。例 1计算72126？解：我们以前做过 72125 这样的题目, 是把 72 变成 98, 然后让 8 和 125 相乘。这就启发我们, 可以把 126 先变成 1251。于是 7212672(1251)721257289

32、125729(8125)7291000729000729072。 当然，上面写的是全部思考过程，其中许多步骤都是可以省略的。例 2计算 9999991999？解：算式中 999999 是求 999 个 999 的和, 观察发现, 还有 1 个 999 隐藏在后面的加数 1999 里面。于是 99999919999999999991000999(9991)100099910001000(9991)1000100010001000000。例 3计算49161748？解：运用乘法分配律的条件是：两个积必须有一个相同的因数。这里的两个积中, 49 和 17 不可能成为相同的因数, 只有寄希望于 16

33、和 48。观察发现, 48163, 其中有一个因数是16，这正是我们所要找的。于是49161748491617(163)4916(173)16 49165116(4951)16100161600。练习九1. 用乘法分配律使下面的计算变得简便。 (1)1721081728 7326737573 (2)12588 40425 (3)4825 4826 4824 (4)56125 56126 561242. 用简便方法计算下面各题。(1) 4(252625174) (2) 264972644(3) 37152145 (4) 94182172(5) 72241528928 (6) 119111111(

34、7) 235278623523513 (8) 9911111119 3. 计算：19961997199719961996199619971997_。第十讲除法各部分的关系在四则运算中，除法的计算最为复杂，并且，除法还与分数的关系非常密切，因此，为了给以后学习分数打好基础，弄清除法各部分之间的关系就显得十分必要。被除数、除数、商和余数之间存在以下关系：在没有余数的除法中，被除数商除数。在有余数的除法中，被除数商除数余数。例 1两个数相除, 商 8 余 16, 被除数、除数、商和余数的和是 463。被除数和除数各是多少?解：先从 463 里面减去商 8 和余数 16, 得 463816439, 4

35、39 就是被除数与除数的和。而“被除数除数商余数”, 也就是说, 被除数等于“除数的 8 倍”与“余数”的和, 所以, 如果从 439 里面再减去一次余数 16, 剩下的 43916423 里面就只有“除数的 8 倍”和“除数”, 也就是除数的 819 倍, 于是, 除数是 423947。被除数是 84716392。答：被除数是 392，除数是 47。例 2 两个数相除，商9余4。如果被除数、除数都扩大3倍，那么被除数、除数、商、余数之和等于2583。原来的被除数、除数各是多少？解：被除数、除数都扩大3倍以后，商不变仍然是9，而余数相应地也扩大了3倍，变成4312，所以，扩大后的被除数、除数之

36、和是25839122562，于是，原来的被除数、除数之和是25623854。因为原来的商是9，余数是4，说明原来的被除数比除数的9倍多4，所以，原来的除数是(8544)(91)85，被除数是85485769。答：被除数是 796，除数是 85。因为除法和乘法是互逆关系，所以，有些由乘法产生的问题也要用除法来解决。例 3 小马在计算两个整数相乘时，错把一个因数个位上的 5 看成了8，算出的积是 5632；小虎错把同一个因数十位上的 8 看成了 6，算出的积是 4160。这道题正确的积应该是多少？解：对于同一个因数，小虎比小马少算了(8060)(85)23，因此积少算了 563241601472，

37、说明那个正确的因数是 14722364。所以小马把另一个因数错当成 56326488，可见，另一个因数是 85，这道题正确的积应该是 64855440。答：这道题正确的积应该是 5440。练习十1一个数除以最大的三位数, 商比除数多 1, 余数比除数少 1，这个数是多少？2一个整数除法算式的商是 236, 余数是 47, 被除数最小是多少?3. 两个数相除, 商 9 余 24, 被除数、除数、商和余数的和是 787。被除数是多少?4. 一个数除以 10，商比被除数小 567 没有余数。这个数是多少？* 5. 小明在计算一道加法式题时, 没有认真审题，把加号当成除号了, 结果，除得的商和余数都是

38、 18。如果这道题的正确得数是 531, 那么这两个加数各是多少? 6. 两数相除，商 4 余 8，被除数、除数、商数、余数四数等于 415，则被除数是多少？第十一讲三角形与角(一)例1我们伟大祖国的国旗是五星红旗。在中国少年先锋队队旗上也有一颗耀眼的五角星。如果不用量角器，你能算出五角星的一个角是多少度吗？解：观察发现，五角星的中心是一个正五边形。我们知道，一个n边形可以分成n2个三角形，而无论什么样的三角形，内角和都是180，所以，n边形的内角和等于180(n2)度。通常，把边和角分别相等的多边形叫做正多边形。因为正n边形的内角和等于180(n2)度，所以，它的一个内角等于180(n2)n

39、度。五角星的中心是一个正五边形，于是它的一个内角是180(52)5108度。五角星的每个角都是一个等腰三角形的顶角，而这个等腰三角形的一个底角是18010872，所以五角星的一个角是18072236。例2 如图，12，34，ACD120，AEB()。解：通常，把ACD这样的角称为三角形的外角。因为ACD与ACB的和等于180，而三角形ABC的三个内角的和也等于180，所以ACDBACABC，也就是是说，三角形的一个外角，等于不相邻的两个内角的和。这是三角形中一个非常重要的数量关系。因此，BACABCACD120。又因为已知12，34，所以，1324，即，1与3的和等于BAC与ABC的和的一半，

40、是120260。在三角形AEB中，AEB13180，所以，AEB180(13)18060120。练习十一1菱形(图1)的内角和是多少度？常见的六角形螺丝帽(图2)的一个角是多少度？正十边形的一个角是多少度？ (图1) (图2) 2. 左下图中1、2、3 一共是多少度? 1 2 5 2 1 3 4 33右上图中1、2、3、4、5一共是多少度?4如图，BAC20, BDE60, DEC25, 求ACE。 A B C D E5. 图中ADE90,A45, C25, AFB？ A D E B F C6如图，如果12，34，5100，那么A？第十二讲 三角形与角(二) 例 1 下图是一个五角星形。连接

41、A、B、C、D、E, 得到一个正五边形,这个正五边形中，一共有多少个三角形? 其中锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形各有多少个? 解：(1)与ABE 相同的有 5 个； (2)与ABG 相同的有 5 个； (3)与AGF 相同的有 5 个； (4)与ABF 相同的有 5 个； (5)与AGE 相同的有 5 个； (6)与ACD 相同的有 5 个； (7)与BIE 相同的有 5 个。总共有 5735(个)三角形。其中：(1)与ABE、ABG、BIE 相同的 15 个是钝角三角形；(2)与AGF、ABF、AGE、ACD 相同的 20 个是锐角三角形。在这 35 个三角形中, 除了与 ABF、AGE 相同的 10 个不是等腰三角形以外, 其余 25 个都是等腰三角形。答：图中一共有 35 个三角形，其中有 20 个锐角三角形，15 个钝角三角形，25 个等腰三角形?例 2图中ABCD是正方形，EBC是正三角形，EAD？A D E B C解：因为EBC是正三角形，所以EBC60，ABE90D6030。因为ABBE，ABE是等腰三角形，所以BEA(18030)