建立空间直角坐标系,解立体几何题

1、建立空间直角坐标系，解立体几何高考题立体几何重点、热点：求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二 面角、证明平行关系和垂直关系等.常用公式：1、求线段的长度：AB 1ABx2y2z2x2x12y2y1 2z2z1 2|PM n|2、求P点到平面 的距离：PN ：，（N为垂足，M为斜足，n为平面 的法向量） |n|,n为的法向量）3、求直线1与平面所成的角：|sin | LPM n| ,（ pm i, m |PM| |n| AB CD|4、求两异面直线 AB与CD的夹角：COS -=|AB| |CD|*dr1nl n215、求二面角的平面角：|cos |

2、=,（ n1 , n2为二面角的两个面的法向量）|»|电|S射影6、求二面角的平面角cos ,（射影面积法）S7、求法向量：找；求：设 a,b为平面 内的任意两个向量，n （x, y,1）为 的法向量,a n 0则由方程组 -,可求得法向量n .b n 0高中新教材9(B)引入了空间向量坐标运算这一内容，使得空间立体几何的平行、 垂直、角、距离等问题避免了传统方法中进行大量繁琐的定性分析，只需建立空间直角坐标系进行定量分析，使问题得到了大大的简化。而用向量坐标运算的关键是建立 一个适当的空间直角坐标系。一、直接建系。当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建

3、例1. (2002年全国高考题)如图，正方形ABCD ABEFB勺边长都是1,而且平面ABCD ABE曰:相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN =a0 a 威)。(1)求MN勺长；(2)当a为何值时，MN勺长最小；(3)当MNS小时，求面MNAt面MN所成二面角a的大小。解：(1)以B为坐标原点，分别以BA、BE、BC为x、y、z轴建立如图所示的空I可直角坐标系 B-xyz ,由 CM=BN=a M( a , 0, 1 a ),N ( a , a , 0)2222MN =(0 , a ,21)MN | 八ga1)2(等)2V 22(a -)2 1(0 a 12 ) 22(2

4、)由(1) I MN =J(a 导 1L,.21MN所以，当a二上时,2即M、N分别移动到AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为 2(3)取MN勺中点P,连结AP、BP,因为 AM=AN BM=BN 所以AP,MN BP!MN / APB即为二面角a的平面角。MN的长最小时 M(L 0, 1),N (1, 1, 0)2222 1由中点坐标公式P(-,2PA=(-,-,241一,413cos /PA丽=(-2，PA PBPB1面MNAf面MN断成二面角a的大小为兀-arccos -3例2.(1991年全国高考题)如图，已知ABCD1边长为4的正方形，E、F分别是 AB、AD的中点，GCL面A

5、BCD且GC=2求点B到平面EFG的距离。解：建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz ,由题意 C (0, 0, 0), G (0, 0, 2), E (2, 4, 0), F (4, 2, 0), B (0, 4, 0). GE= (2, 4,-2), GF = (4, 2,-2), BE= (2, 0, 0)设平面EFG的法向量为n = (x, y, z),则n，GE , n ± GF ,2x 4y 2z 0得 4x 2y 2z 0 ,令 z=1,得 x=1 , y=1 , 33即=(L 1, 1),33GC在n方向上的射影的长度为BE= 2 1111-,-),又 A (1,

6、0, 0), B (0, 0, 0)44(1)解:/、/、/、/ /、1N C，0，1)，.，0，2)，B(°，1，2)"(0，0，2)，M(a，例3. (2000年二省一市高考题)在直三棱柱 ABC- A1B1G中CA=CB=1 / BCA=90,棱 A A1=2, M、N分别是 A1B1、A1 A 的中点。求 BN 的长； (2) 求 cos BA1,CB1; (3)求证：AB,GM建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz,则C (0, 0, 0), B (0, 1, 0), ;)(1)BN =(1, -1 , 1),故 BN =73 ；(2) CB1 = (0, 1,

7、2), BA = (1,-1 , 2)二 cosBA,CB;BA1BA1CB1CB；14 =2/30、6 J510(3) A1B= (-1 , 1,-2),一 11 c、C1M 二(二，二，0)221 1 ,A1B ? C1M = -1 X+1X +(-2) X 0=01122A 1B± C1M、利用图形中的对称关系建系有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对 称关系（如：正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等），我们可以利用图形的对称性建立 空间直角坐标系来解题。例4. （2001年二省一市高考题）如图，以底面边长为2a的正四棱锥V-ABC面 中心。为坐标原点建

8、立空间直角坐标系 O-xyz,其中Ox/ BG Oy AB, E为VC的中点， 高OV为h 。(1)求 cos BE,DE ;（2）记面BCV为a ,面DVCB ,若/ BE/二面角a-VC-B的平面角，求/ BED解：（1）由题意B (a, aD (-a , -a , °)E (-a . BE= (- 3a2DE = (a, 3a 222a-)h)0), a h)22cos BE, DE2 BE DEBEDE3a2 3a2 h2= 丁 丁 T 5a2h25a2h2.24 24=6a2 h210 a2 h2(2) V (0, 0, h), C (-a, a, 0) . VC = (-

9、a , a, - h )又/ BE皿二面角a -VC- B的平面角BE ± VC , DE ± VC22一 =a2=0222 h2 a =2 3a2即 BE - VC =a-222代入 cos BE,DE6a2 h2 _ 122-=-二10 a h 31即 / BED=： -arccos 一3三、利用面面垂直的性质建系。有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面， 我们可以利用面面垂直的性质定理， 作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间直角坐标系。例5. (2000年全国高考题)如图，正三棱柱ABC- ABC的底面边长为a,侧棱长为,2 a

10、o(1)建立适当的坐标系，并写出 A、B、A、G的坐标；(2)求ACi与侧面AB BiAi所成的角。解：(1)如图，以点A为坐标原点，以AB所在直线为y轴，以AA所在直线为 z轴，以经过原点且与 ABBA垂直的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系。由已知得：A (0, 0, 0), B (0, a, 0), Ai (0, 0, 72 a), C (-立 a, - , V2 a)（2）取AB的中点M,于是有M （0,72 a),连 AM、MC有Mc1=(- ：a，0，0)，且 AB= (0, a, 0), AA1 = (0, 0, 2a a)由于 MC11 . AB =0, MC； AA1

11、=0,故 MC，平面 AB BA。 A Ci与AM所成的角就是AC与侧面AB BA所成的角。AC1 = (- a , , V2 a), AM = (0, , */2 a),2222Q 2AC； AM =0+a-+2a2 = -a-, 44AC1 =3a- a4 2a2 3 ,f a 2 3aAM =t 2a =4 42-a23cos AC；, AM = 4=1 3a 3a 22菽与而所成的角，即AC与侧面AB BA1所成的角为30°。例6. （2002年上海高考题）如图，三棱柱 OAB- OA1B,平面OBEO,平面OAB / OOB=60 / AOB=9。且 OB= O（=2, O

12、A='3。求：（1）二面角O-AB-。的大小；（2）异面直线A1B与A Q所成角的大小。（结果用反三角函数值表示）解：（1）如图，取OB的中点D,连接OD,则OD±OBv平面OBBOL平面OAB O1DX面 OAB过D作AB的垂线，垂足为E,连结OE,则OELOB /DEO为二面角O-AB-O的平面角。由题设得OD=J3OA . 21sin / OBA=:=OA2 OB2721DE=DBsin/OBAH7v 在 Rt A ODE 中，tan/DE O= <7/DE O=arctan，7 ,即二面角 O - AB- O 的大小为 arctan <7 0（2）以。为原点，分别以OA、OB所在直线为x、y轴，过点。且与平面AO® 直的直线为z轴，建立空间直角坐标系。则 O （0, 0, 0）, O （0, 1,於）,A （超,0, 0）, Ai （<3, 1,屈）,B （0