理论力学第十七章 机械振动基础 教学PPT

1、机械振动基础机械振动基础机械振动基础机械振动基础单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动概概 述述振振动动实实例例振动是指运动在其稳定位置附近所作的周期性往振动是指运动在其稳定位置附近所作的周期性往复运动。复运动。概述概述振动振动 是指运动在其稳定位置附近所作的周期性往复运动。是指运动在其稳定位置附近所作的周期性往复运动。 线性振动线性振动的运动微分方程都是线性的。实际系统往往要经的运动微分方程都是线性的。实际系统往往要经过近似处理才能化成线性的。过近似处理才能化成线性的。在质点受到扰动而脱离其平衡位置

2、后，会受到一个恒指向在质点受到扰动而脱离其平衡位置后，会受到一个恒指向这平衡位置而促使质点返回的力，这种力称为这平衡位置而促使质点返回的力，这种力称为恢复力恢复力。 当恢复力的大小和质点到平衡位置的距离成正比时，则称当恢复力的大小和质点到平衡位置的距离成正比时，则称为为线性恢复力线性恢复力。 质点振动时还可能受阻力作用，这里只考虑与速度一次方质点振动时还可能受阻力作用，这里只考虑与速度一次方成正比的成正比的线性阻力线性阻力。基本概念基本概念 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 km自由振动自由振动是质点仅在恢复力作用下进行的振动。是质点仅在恢复力作用下进行的振动。简单的模型为下面所示

3、的质量一弹簧系统。简单的模型为下面所示的质量一弹簧系统。单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 振动问题简化为力学模型振动问题简化为力学模型Okx单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动kmxkm振动问题简化为力学模型振动问题简化为力学模型单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 质点受到初始扰动后，将得到初位移和初速度，此后质点在弹簧力质点受到初始扰动后，将得到初位移和初速度，此后质点在弹簧力维持下的运动，即为自由振动。维持下的运动，即为自由振动。 自由振动是质点仅在恢复力作用下进行的振动。简单的模型如图自由振动是质点仅在恢复力作用下进行的振动。简单的模型如图(a)所示的质量一

4、弹簧系统。所示的质量一弹簧系统。l0OM(a)(b)xFMOx单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 取坐标轴取坐标轴Ox，原点，原点O是质点是质点M的平衡位置。如图（的平衡位置。如图（a ）所示。当）所示。当M的的坐标是坐标是x时，弹簧作用于时，弹簧作用于M的力的力F的大小表示成的大小表示成xkF 因因F 恒指向平衡位置恒指向平衡位置O，故它可写成，故它可写成xkFx于是，质点于是，质点M的运动微分方程写成的运动微分方程写成xkxm 或或0 xmkx 式中式中c称为弹簧的刚度系数，简称刚度。称为弹簧的刚度系数，简称刚度。l0OM(a)(b)xFMOx自由振动的微分方程及其解自由振动的微

5、分方程及其解引入参量引入参量mk20则上式可写成标准形式则上式可写成标准形式 这就是在线性恢复力单独作用下，质点受初扰动后的无阻尼自由振这就是在线性恢复力单独作用下，质点受初扰动后的无阻尼自由振动微分方程，它是动微分方程，它是二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程。其通解为其通解为把上式对时间求导数，得把上式对时间求导数，得020 xx tCtCx0201sincostCtCxv002001cossin 自由振动的微分方程及其解自由振动的微分方程及其解当当 t=0时，质点的初坐标和初速度时，质点的初坐标和初速度令令t=0且且 和和 ，就可以确定积分常数，就可以确定积分常数0 xx

6、 0 xx 01xC 和和002xC这样，质点无阻尼自由振动规律和速度变化规律分别是这样，质点无阻尼自由振动规律和速度变化规律分别是,0 xx 0 xvtxtxx00000sincostxtxx00000cossintCtCx0201sincostCtCxv002001cossin l0OM(a)(b)xFMOx自由振动的微分方程及其解自由振动的微分方程及其解这样，质点无阻尼自由振动规律和速度变化规律分别是这样，质点无阻尼自由振动规律和速度变化规律分别是通常把上二式写成通常把上二式写成)sin(0tAx)cos(00tAx 利用三角变换，可以确定利用三角变换，可以确定,)(20020 xxA0

7、00tanxxtxtxx00000sincostxtxx00000cossin自由振动的微分方程及其解自由振动的微分方程及其解可见，质点无阻尼自由振动是简谐振动，其运动如图所示。可见，质点无阻尼自由振动是简谐振动，其运动如图所示。TAAOtx)sin(0tAx,)(20020 xxA000tanxxtxtxx00000sincos自由振动的微分方程及其解自由振动的微分方程及其解（1）振幅和相角）振幅和相角 由式由式（a）可见质点相对于振动中可见质点相对于振动中心（平衡位置）的最大偏离心（平衡位置）的最大偏离 Axmax20020)(xx称为称为振幅振幅。（。（0t+）称为）称为相角相角，而，而

8、称为称为初相角初相角。由式由式 （b）可见，振幅和初相角都和运动的初始可见，振幅和初相角都和运动的初始扰动扰动 ( ) 有关。有关。00 , xx)sin(0tAx（a）,)(20020 xxA000tanxx（b）TAAOtx自由振动的基本参数自由振动的基本参数（2）周期和频率）周期和频率每重复一次运动状态所需的时间间隔，每重复一次运动状态所需的时间间隔，称为称为周期周期，并用，并用T 表示。表示。每隔一个周期每隔一个周期T，相角应改变，相角应改变 0T=2。因此，周期可以表示成。因此，周期可以表示成周期一般以周期一般以s计。计。kmT220 周期仅和系统本身的固有参数（质量周期仅和系统本身

9、的固有参数（质量m与刚度）有关，而和运动的初与刚度）有关，而和运动的初始条件无关。始条件无关。 周期周期TAAOtx自由振动的基本参数自由振动的基本参数210Tf每每2秒内振动的次数称为秒内振动的次数称为圆频率圆频率，表示为，表示为mkf 20 单位时间内振动的次数，称为单位时间内振动的次数，称为频率频率，记作记作 f。 0 只和系统的固有的性质有关，而和运动的初始条件无关系。因此，只和系统的固有的性质有关，而和运动的初始条件无关系。因此，0称为系统的称为系统的固有频率固有频率或或自然频率自然频率。 频率频率TAAOtx自由振动的基本参数自由振动的基本参数 用用s代表当物块在重力代表当物块在重

10、力G 和弹簧力和弹簧力F0的作用下在平衡位置静止时弹簧所具的作用下在平衡位置静止时弹簧所具有的变形，即有的变形，即静变形静变形（如图（如图a）。）。)(xkmgxms 以平衡位置以平衡位置O作为原点，令轴作为原点，令轴Ox铅直铅直向下，则当物块在任意位置向下，则当物块在任意位置x时，弹簧力时，弹簧力F在轴在轴x上的投影上的投影 Fx=-k(s+x)（如图（如图b）。）。skmg（1）显然，由平衡条件显然，由平衡条件 G F0=0 有有可得物块的运动微分方程可得物块的运动微分方程MGF0l0s（a）MxxOGF（b）铅直悬挂质量一弹簧系统铅直悬挂质量一弹簧系统xkxm 或或 020 xx 其中其

11、中 ，可见，可见，M 仍在平衡位置附近作无阻尼自由仍在平衡位置附近作无阻尼自由振动。振动。mk20利用弹簧自由悬挂时的静伸长利用弹簧自由悬挂时的静伸长s，来求出系统的固有频率，来求出系统的固有频率，有有,0 kmggmksg0考虑到关系式考虑到关系式 ，上式写成，上式写成skmg 与水平质量一弹簧系统比较，铅直悬挂质量一弹簧系与水平质量一弹簧系统比较，铅直悬挂质量一弹簧系统质点上只有增加了一个常力，这力只引起平衡位置的改变，统质点上只有增加了一个常力，这力只引起平衡位置的改变，而不影响振动的规律（如而不影响振动的规律（如周期、频率、相位周期、频率、相位）。）。即即)(xkmgxms MxxOG

12、F铅直悬挂质量一弹簧系统铅直悬挂质量一弹簧系统 如图所示为一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度为如图所示为一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度为kn ，圆盘对杆轴的转动惯量为圆盘对杆轴的转动惯量为J。扭振系统扭振系统nkJ 圆盘绕杆轴转动微分方程为圆盘绕杆轴转动微分方程为或或0nJk JkTnn2振动周期振动周期knO 如图所示为一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度为如图所示为一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度为kn ，圆盘对杆轴的转动惯量为圆盘对杆轴的转动惯量为J。扭振系统扭振系统求单摆求单摆(数学摆数学摆)的运动规律。的运动规律。Om0l例例1 OvM0lmgF解解: :任意瞬时任意瞬时, ,质

13、点的加速度在切向和法向的质点的加速度在切向和法向的投影为投影为写出质点的自然形式的运动微分方程写出质点的自然形式的运动微分方程)2( cos) 1 (sin2mgFmlmgml 22n22)dd(,dd ltlaltla例例1化简化简(1)即得单摆的运动微分方程即得单摆的运动微分方程0 sinlg OvM0lmgF微小摆动中，微小摆动中， 值始终很小，可以认为值始终很小，可以认为 sin ，则则0lg tlgcos0考虑初始条件：考虑初始条件：t = 0,00。得单摆的运动规律。得单摆的运动规律,21 lgf频率glT2 周期与幅角和初始条件无关。与幅角和初始条件无关。例例1 利用静变形求并联

14、弹簧和串联弹簧两种情形的直线振动系统利用静变形求并联弹簧和串联弹簧两种情形的直线振动系统的固有频率的固有频率。k1k2W2121kkkkkk1k2Wk=k1+k2WW例例2 ssskkkkW)(2121mkkmk21021211.1. 并联情形。并联情形。固有频率固有频率上式说明并联弹簧的等效刚度系数为上式说明并联弹簧的等效刚度系数为k1k2Ws解：解： 设弹簧刚度系数分别为设弹簧刚度系数分别为k1和和k2 ，在在W重力作用下作铅直平动，静变形重力作用下作铅直平动，静变形为为s ，有，有skW 选择弹簧刚度系数为选择弹簧刚度系数为k的弹簧代替并联的两弹簧的弹簧代替并联的两弹簧 ，使它在相等的变

15、形，使它在相等的变形下，产生与并联的两弹簧相等的恢复力，有下，产生与并联的两弹簧相等的恢复力，有sskkkW)(2121kkk例例2 设弹簧刚度系数分别为设弹簧刚度系数分别为k1和和k2 ，在在W重力作用下，两弹簧的总静变重力作用下，两弹簧的总静变形形s等于单个弹簧的静变形之和，等于单个弹簧的静变形之和，有有,2211kW kWss2. 2. 串联情形。串联情形。s2s1sk1k2W1 s+2 s由于弹簧是串连的，每个弹簧受的力由于弹簧是串连的，每个弹簧受的力W相等，于是相等，于是 选择弹簧刚度系数为选择弹簧刚度系数为k的弹簧代替串联的两弹簧的弹簧代替串联的两弹簧 ，使它的静变形，使它的静变形

16、s等等于串联的两弹簧静变形之和于串联的两弹簧静变形之和1 s+2 s。k sW kWs例例22211,kW kWss)(212121kkmkkk212121111kkkkkkks2s1s固有频率固有频率串联弹簧的等效刚度系数为串联弹簧的等效刚度系数为得得, kWs,21kWkWkW,11121kkk弹簧串联后的刚度系数减小，柔度系数增大。弹簧串联后的刚度系数减小，柔度系数增大。c1c2W1 s+2 s sW例例2k1Ok21212k1Ok2思考思考mv提升重物系统中，钢丝绳的横截提升重物系统中，钢丝绳的横截面积面积S2.89104 m2，材料的弹，材料的弹性模量性模量E200 GPa。重物的质

17、量重物的质量m6000 kg，以匀速以匀速v0.25 ms1下降。当重物下降到下降。当重物下降到l25 m时，时，钢丝绳上端突然被卡住，求重物钢丝绳上端突然被卡住，求重物的振动规律。的振动规律。l例例3 钢丝绳重物系统可以简化为弹簧物块钢丝绳重物系统可以简化为弹簧物块系统，弹簧的刚度为系统，弹簧的刚度为16mN10312. 2 lESkmk静平衡位置Ox 设钢丝绳被卡住的瞬时设钢丝绳被卡住的瞬时t0，这时重物的位这时重物的位置为初始平衡位置；以重物在铅垂方向的位移置为初始平衡位置；以重物在铅垂方向的位移x作为广义坐标，则系统的振动方程为作为广义坐标，则系统的振动方程为0 xkxm 解：解：方程

18、的解为方程的解为mkt Ax00,sin例例3利用初始条件利用初始条件vvx (0)(0)求得求得0vAmk静平衡位置Ox00 xxm 方程的解为方程的解为mkt Ax00,sin例例3如图为一摆振系统，杆重不计，球质量为如图为一摆振系统，杆重不计，球质量为 m ，摆对轴，摆对轴O的的转动惯量为转动惯量为J。弹簧刚度系数为。弹簧刚度系数为k，杆于水平位置平衡，杆于水平位置平衡，尺寸如图。求此系统微小振动的运动微分方程及振动频尺寸如图。求此系统微小振动的运动微分方程及振动频率。率。dlkFmgOm 例例4 D3蛤蟆夯2.mpg 例例4 解：解： 摆于水平位置处，弹簧已有压缩量摆于水平位置处，弹簧

19、已有压缩量0，由，由平衡方程平衡方程MO(Fi)=0，有，有)(0a dkmgl以平衡位置为原点，摆在任一小角度以平衡位置为原点，摆在任一小角度处，弹处，弹簧压缩量为簧压缩量为0+ d。摆绕轴的转动微分方程为摆绕轴的转动微分方程为ddkmgltJ)(dd022将式将式(a)代入上式，得代入上式，得222dddktJdlkFmgOm例例4 222ddkdtJ上式移项，可化为标准形式的无阻尼自由上式移项，可化为标准形式的无阻尼自由振动微分方程振动微分方程)b( 0dd222Jkdt则此摆振系统的固有频率为则此摆振系统的固有频率为Jdk0dlkFmgOm 例例4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的

20、衰减振动 本节将讨论质点在有阻尼时的自由振动，但只限于与速度一次方成本节将讨论质点在有阻尼时的自由振动，但只限于与速度一次方成正比的介质阻力，这种阻力称为正比的介质阻力，这种阻力称为线性阻力线性阻力（或（或粘滞阻力粘滞阻力）。）。 如图示系统在介质里运动中，质点如图示系统在介质里运动中，质点M将受到介质阻力的作用。将受到介质阻力的作用。vFcd其中，其中，c称为称为粘滞阻力系数粘滞阻力系数（以（以 为单位），为单位），表示质点在单位速度时，所受的阻力值，表示质点在单位速度时，所受的阻力值，其大小与介质和物体的形状等因素有关，其大小与介质和物体的形状等因素有关，可由实验测定。式中负号表示阻力与速

21、度可由实验测定。式中负号表示阻力与速度的方向恒相反。的方向恒相反。skgMMxxkGFdvFOl0 + s 在微振动情况下，速度不大，可以认在微振动情况下，速度不大，可以认为阻力为阻力Fd与速度与速度v 的一次方成正比，即有的一次方成正比，即有单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 取物块的平衡位置作为坐标原点取物块的平衡位置作为坐标原点O，轴，轴Ox沿直线向下。当物块在位沿直线向下。当物块在位置置O时，弹簧拉力时，弹簧拉力F0= ks,与表观重力与表观重力G（已扣除浮力）相互平衡，即有（已扣除浮力）相互平衡，即有skG物块运动时，物块运动时， ， xcRx)(xkFsxxcxkGxms

22、 )(考虑到，考虑到， 上式简化成上式简化成skG0 xkxcxm 代入参量代入参量,20mkmc2则上式写成则上式写成质点的运动微分方程写成质点的运动微分方程写成0220 xxx (称为称为阻尼系数阻尼系数)（1）MMxxkGFdvFOl0 + s单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 这就是在这就是在线性恢复力和线性阻力作用下质点运动微分方程的标线性恢复力和线性阻力作用下质点运动微分方程的标准形式准形式。式中。式中称为称为阻尼系数阻尼系数。 此式是二阶常数线性齐次方程，这个方程具有形式如此式是二阶常数线性齐次方程，这个方程具有形式如 ezt 的解，的解，把把 ezt 代入，得到特征方

23、程，即代入，得到特征方程，即z值与比值值与比值/ 0有关。有三种不同的情形：有关。有三种不同的情形：02202zz（1） 0 称为大阻尼。称为大阻尼。2022, 1z特征方程的解为特征方程的解为0220 xxx 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动当当 0 时，特征方程具有一对共轭复根时，特征方程具有一对共轭复根2202,1iz 引入参量引入参量 ，则式，则式(1)的通解可以写成的通解可以写成220d我们将只讨论我们将只讨论小阻尼小阻尼 0情形情形。tititztzeBeBeBeBxd)(2)(121d21)(dd21tititeBeBe式中，式中，B1和和B2是积分常量，由运动的初始

24、条件来决定。是积分常量，由运动的初始条件来决定。0220 xxx (1)02202zz特征方程特征方程2022, 1z单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动sincosiei令令B1+B2=C1，i(B1B2)=C2，则上述通解可改写成，则上述通解可改写成)sincos(d2d1tCtCext式中，新的积分常量式中，新的积分常量C1和和C2仍可以由运动的初始条件来决定。仍可以由运动的初始条件来决定。根据欧拉公式根据欧拉公式把上式对时间把上式对时间t求导数，得质点速度的一般表达式求导数，得质点速度的一般表达式)sincos(d2d1tCtCext)cossin(d2d1dtCtCet)(d

25、d21tititeBeBex单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动,10Cx 2d10CCx从而解得从而解得,01xC d002xxC于是，质点的运动方程写成于是，质点的运动方程写成或者通过三角函数的变换，把上式写成或者通过三角函数的变换，把上式写成运动的初始条件：当运动的初始条件：当t=0时，时， ；将它们代入上式，得到；将它们代入上式，得到0 xx 0 xx txextd0cos()sindd00txx(2)sin(dtAext (3)sincos(d2d1tCtCext)sincos(d2d1tCtCext)cossin(d2d1dtCtCet单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰

26、减振动2d0020)(xxxA000dtanxxx1. 由式由式(2)或式或式(3)可以看到，由于小阻尼的可以看到，由于小阻尼的影响，物块不再进行振幅不变的简谐运动。影响，物块不再进行振幅不变的简谐运动。式中式中结果分析讨论结果分析讨论txextd0cos()sindd00txx(2)sin(dtAext(3)teAT1A2A1A3单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 2. 因子因子sin(t+)表明物块仍周期性表明物块仍周期性地通过平衡位置地通过平衡位置O而交替地向点而交替地向点O的两的两侧偏离。侧偏离。 这样的运动称为衰减振动，但习惯这样的运动称为衰减振动，但习惯上仍把上仍把 称为

27、它的称为它的周期周期，而，而 Aet称为它的称为它的振幅振幅。与无阻尼自由振动。与无阻尼自由振动相比较，衰减振动也称为相比较，衰减振动也称为有阻尼自由振有阻尼自由振动动。dd2T)sin(dtAext(3) 3。 因子因子Aet表示这些偏离的可能最表示这些偏离的可能最大值，但它是随时间而不断减小的，最大值，但它是随时间而不断减小的，最后趋近于零。后趋近于零。teAT1A2A1A3单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动220dd22T上式可改写成上式可改写成212021200d)(1)(12TT式中，式中，T是无阻尼自由振动周期。是无阻尼自由振动周期。因为衰减振动中因为衰减振动中 0，可见

28、，由于小阻尼的存在，使振动的周期，可见，由于小阻尼的存在，使振动的周期 Td相对于无阻尼时的周期相对于无阻尼时的周期 T 来说有所增长。来说有所增长。,20mkmc2teAT1A2A1A3阻尼对周期阻尼对周期Td的影响的影响例如，当例如，当 时，时，05. 00,00125. 1)05. 0(2112dTTT 可见，当阻尼系数可见，当阻尼系数 比比 0 小得多时，阻尼对周期的影响并不小得多时，阻尼对周期的影响并不显著，在初步计算中甚至可以直接用显著，在初步计算中甚至可以直接用 T 代替代替 Td 。20d)(211TT 1。当。当 0 时，周期时，周期 Td 无限地增长，无限地增长，(Td),

29、从而运动失去往复性。从而运动失去往复性。2。而当。而当 很小时，即很小时，即 0 时，时，Td可近似地表可近似地表示为示为仅增加仅增加0.12 5 %.212021200d)(1)(12TTteAT1A2A1A3,20mkmc2阻尼对周期阻尼对周期Td的影响的影响在任意瞬时在任意瞬时t1，振幅是，振幅是 由于阻尼的存在，振幅由于阻尼的存在，振幅 Ae-t 随时在减小。为随时在减小。为了说明振幅衰减的快慢，可作如下分析了说明振幅衰减的快慢，可作如下分析11tAeA时间逐次增加半周期时间逐次增加半周期 ，则瞬时振幅将分别是，则瞬时振幅将分别是d21T212)2(2dd1d1TTt TteAeAeA

30、eA22)22(3dd1TTteAAeA因此，有比值因此，有比值 2312AAAA2dTe=常数常数即，每隔半个周期的振幅按等比级数递减。即，每隔半个周期的振幅按等比级数递减。)sin(dtAext(3)teAT1A2A1A3阻尼对振幅阻尼对振幅Ae-t的影响的影响 减缩率（或对数减缩率）表示每经过半个周期后振幅的衰减程度。减缩率（或对数减缩率）表示每经过半个周期后振幅的衰减程度。由于振幅是按等比级数递减的，即使阻尼很小，振幅的衰减也是迅速由于振幅是按等比级数递减的，即使阻尼很小，振幅的衰减也是迅速的。的。即，每经过半个周期，振幅就缩减即，每经过半个周期，振幅就缩减15%。经过。经过10个周期

31、，振幅将变成个周期，振幅将变成原来振幅的原来振幅的(0.855)20=0.043，只有原来的，只有原来的4.3%。 通过以上讨论可见，小阻尼通过以上讨论可见，小阻尼（ 0）对周期的影响很小，可以忽对周期的影响很小，可以忽略不计，而对振幅的影响却是非常显著的。当略不计，而对振幅的影响却是非常显著的。当 0 时，运动将失去往复时，运动将失去往复性。性。 公比公比 称为称为减缩率减缩率。2dTe2lnd2dT eT称为称为对数减缩率对数减缩率。仍以仍以 = 0.050 为例，这时减缩率是为例，这时减缩率是85502d.eT1. 小阻尼小阻尼 ( 1)情形情形, 1202, 1vz临界阻尼临界阻尼(v

32、1)情形情形,21 zzt-etCCx210220 xxx 2022, 1z0v2.大阻尼大阻尼( 0)情形与临界阻尼情形与临界阻尼( 0)情形情形令令v1v1xOt 这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数衰减。这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数衰减。阻尼对振幅阻尼对振幅Ae-t的影响的影响kMAB图示为一种液体减振器装置的简化模图示为一种液体减振器装置的简化模型。悬挂在弹簧下端的物块型。悬挂在弹簧下端的物块M与圆筒与圆筒A内的活塞内的活塞B相固连，简内充满粘性液体。相固连，简内充满粘性液体。活塞上钻有许多圆孔，当物块活塞上钻有许多圆孔，当物块M上下上下振动时，液体从孔中往

33、复流过，给活振动时，液体从孔中往复流过，给活塞一正比于速度的阻力。设物块连同塞一正比于速度的阻力。设物块连同活塞的质量活塞的质量 m=1 kg，弹簧的刚度系数弹簧的刚度系数k=3 920 Nm。已知物块开始运动后经。已知物块开始运动后经过过10个周期，振幅减到初值的个周期，振幅减到初值的1 40。求阻尼系数求阻尼系数和阻力系数和阻力系数c。 例例5 解：解：由题意知，物块由题意知，物块M的运动是衰减运动。阻尼系数的运动是衰减运动。阻尼系数可通过减缩率来求出。已知经过可通过减缩率来求出。已知经过10周期，振幅减缩到初周期，振幅减缩到初始的始的140，即有，即有401)(202d Te220dd2

34、2T220d2T1)(20故有故有取自然对数，求得对数减缩率取自然对数，求得对数减缩率另一方面，考虑到另一方面，考虑到401ln2012lnd2dTeT=0.184 4kMAB例例5因而阻尼系数为因而阻尼系数为 (2) 1)(20 07.171)1844. 0142. 3(20srad6 .62139200 mksrad67. 307.176 .6207.170 即即以以值代入式（值代入式（2），求得），求得但固有频率但固有频率于是，求得阻尼系数为于是，求得阻尼系数为c=2 m=213.67=7.34 kgs(1)(1)220d2T1)(20kMAB例例5 其实，当其实，当 0 时，在式时，在

35、式（1）和式和式（2）的的根式中，与根式中，与 (0 )2 相比较可以忽略相比较可以忽略1，用这种用这种近似计算求得的结果是足够精确的。近似计算求得的结果是足够精确的。1844. 0220dTT,0587. 01844. 00srad68. 36 .620587. 0056. 00 在本例中在本例中 0，可以取可以取Td近似地等于近似地等于T。于是有于是有因而因而(2) 1)(20 ) 1 (1)(20 kMAB例例5单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动OABO1O2CllM振动筛振动筛夯土机夯土机强迫振动实例强迫振动实例钢板钢板振动台振动台强迫振动实例强迫振动实例 假定振动物块假定振

36、动物块 M 还受到扰力还受到扰力F的作用的作用 FH=Hsint，其中，其中 H 称为力幅，称为力幅，表示扰力的最大值；表示扰力的最大值； 称为扰力变化的频率。称为扰力变化的频率。H 和和 都可以认为仅决定都可以认为仅决定于扰力的来源而与物块的运动无关。于扰力的来源而与物块的运动无关。 取物块取物块M的平衡位置作为原点的平衡位置作为原点O，轴，轴Ox铅直向下。在任意瞬时铅直向下。在任意瞬时t，物块，物块M的运动的运动微分方程写成微分方程写成tHxcxkGxmssin)( MMxxkGFdvFOl0 +sFH有阻尼强迫振动有阻尼强迫振动tHxcxkGxmssin)( 考虑到平衡关系考虑到平衡关系

37、 ，仍引用，仍引用 ，并引入新的参，并引入新的参数数 ，则上式化为，则上式化为skG,20mkmc2mHh 这就是这就是质点强迫振动的微分方程的标准形式质点强迫振动的微分方程的标准形式，它，它是非齐次的二阶常系是非齐次的二阶常系数线性微分方程数线性微分方程。thxxxsin220 (*)21xxx方程的通解由两部分组成，即方程的通解由两部分组成，即其中其中x1是与方程（是与方程（*）相对应的齐次方程）相对应的齐次方程的通解。的通解。0220 xxx )sin(d1tAext有阻尼强迫振动有阻尼强迫振动21xxx特解特解x2可以写成可以写成)sin(2tBx把特解把特解x2及其导数及其导数),c

38、os(2tBx )sin(22tBx )sin()cos(2)sin(202tBtBtBthsin代入微分方程方程的标准形式得代入微分方程方程的标准形式得方程的通解由两部分组成，即方程的通解由两部分组成，即thxxxsin220 有阻尼强迫振动有阻尼强迫振动cos)(220hB 2222204)(hB2202tan从而可以解得从而可以解得故得在小阻尼故得在小阻尼 1 ，即扰力频率即扰力频率 p 远大于固有频率远大于固有频率k时，时， 表示强表示强迫振动的振幅几乎等于零（高频强迫振动）。迫振动的振幅几乎等于零（高频强迫振动）。, 020022020).2()1 (1BB222)2()1 (1vz

39、z引入无量纲参数引入无量纲参数0z0vzv来不及振动来不及振动有阻尼强迫振动有阻尼强迫振动,20,20hB 可见，这时强迫振动的振幅可见，这时强迫振动的振幅 B 和阻尼系数成反比。特别是如和阻尼系数成反比。特别是如0,则则B（共振）。（共振）。（3）当）当 z=1，即，即 =0时，由式时，由式可得可得2222204)(hB222)2()1 (1vzzzv0z0v有阻尼强迫振动有阻尼强迫振动当当 1-2v2 0 时，时， z = 0 给出给出的极小值。而的极小值。而 给出给出的极大值，的极大值，这时强迫振动的振幅也达到最大值，即所谓这时强迫振动的振幅也达到最大值，即所谓峰值峰值。对应的扰力频率称

40、。对应的扰力频率称为为峰值频率峰值频率，用，用m代表，则由式代表，则由式(a)得得221vz（4）放大系数）放大系数具有极大值。具有极大值。22020m221v222)z 2()1 ()(zzf取函数取函数求导数求导数)21 (48)1 (4d)( d2222zzzzztzf)321 (4d)( d2222ztzf由极值条件由极值条件，得，得0d)( dtzf221 , 0zz（a）222)2()1 (1vzz0z0v有阻尼强迫振动有阻尼强迫振动在式在式3)中，令中，令=m，可得，可得强迫振动的振幅峰值强迫振动的振幅峰值，以，以Bm代表，有代表，有如果阻尼很小，如果阻尼很小，0，则由式（，则由式（2）和式（）和式（4）可得）可得2222204)(hB(3)220m2hB(4)(5)020020m)(2121v0z0v0200220m2)(122hhhB峰值频率峰值频率(2)22020m221v有阻尼强迫振动有阻尼强迫振动可