数学竞赛辅导资料利用数形结合法巧妙解题

1、数学竞赛辅导资料利用数形结合法巧妙解题对于有些代数题采用常规方法处理往往颇费周折,而利用“图形”则会取得事半功倍的效果。请看:例1. 已知a ,b ,c ,d 都是正数,并且ac bd a b c d -=+=+=0112222,。 求证:a d b c =,证明:作Rt ABC 和R t A B C ''',使斜边AB A B AC a BC b =''1,A C d ''=,B C c ''=(如图1。 图1由ac bd -=0得:ad bc =又C C ='90所以Rt ABC Rt A B C '&

2、#39;'又AB A B =''1所以Rt ABC Rt A B C '''即a d b c =,例2. A 、B 两地相距64千米,甲骑车比乙骑车每小时少行4千米。如果甲、乙两人分别从A 、B 两地相向而行,甲比乙先行40分钟,两人相遇时所行的路程正好相等。求甲、乙两人骑车的速度各是多少?解:如图2所示,AB 表示A 、B 两地相距64千米,AC AB 图2设AC =x ,表示甲的行驶速度,作BD AB设BD =x +4,表示乙的行驶速度,在AB 上,取A A x '=23,表示甲在40分钟所行的路程,A C ''AB

3、,且A C ''=x ,连结C D '与AB 交于E ,表示甲、乙各在A 、B 处同时相向而行并相遇于E 点,于是A E x BE '=-=322332,由Rt A C E Rt D BE '',得xx x 3223432-=+解得:x x 121216=-,(舍去于是x x =+=12416,即甲、乙两人骑车的速度分别为12千米/小时和16千米/小时。例3. 甲对乙说:“当我的岁数是你现在的岁数时,你才4岁。”乙对甲说:“当我的岁数是你现在的岁数时,你将61岁。”请你算一算甲、乙现在的各自岁数。 图3解:如图3,画两条直线分别表示甲、乙的年龄,

4、设乙现在的年龄为x 岁,从图形中可以很直观地看到。当甲为x 岁时,乙为4岁;当乙为x 岁时,甲为(x x +-=4 (24x -岁;当乙为(24x -岁时,甲为61岁。根据甲、乙的年龄差不变,可得(612424-=-x x x解得:x =23所以24232442x -=-=答:甲现在42岁,乙现在23岁。例4. 设a ,b ,c 都是正实数,求证:a c b c a b 2222+-+-证明:a b =时,显然成立。由于a ,b 的地位相同,不妨假设a b >,这时要证的不等式转化为a c b c a b 2222+-+-。 图4作ABC (如图4,CA =CB ,CD 为底边AB 上的

5、高,E 为CD 上的一点,使得CD a ED b AD DB c =,由勾股定理得:CA CB a c EB b c =+=+2222, 又C E C D ED a b =-=-在CBE 中,CB EB CE -< 即a c b c a b 2222+-+<-综上,命题得证。例5. 设a ,b ,c ,d 均为正数,满足ab cd =,且a 为最大。求证:a d b c +>+。证明:不妨取线段AC a =,在AC 上取一点B ,使AB d =,则BC a d =-,以BC 为直径作O ,如图5。 图5设b c ,作割线(或切线AD b =交O 于E ,作OF AD ,F 为垂足。 因为AB AC AE AD ··= 即ad b AE =·因为ad bc =,所以AE c = 又(A O A B B C d a d a d =+=+-