新人教版八年级数学下册勾股定理知识点和典型例习题

1、新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题3一、基础知识点: 1.勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c += 勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理

2、的思路是 图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下:方法一:4EFGH S S S +=正方形正方形ABCD ,2214(2ab b a c +-=,化简可证.方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =+=+ 大正方形面积为222(2S a b a a b b =+=+ 所以222a b c +=方法三:1(2S a b a b =+梯形,2112S 222ADE ABE S S ab c =+=+梯形,

3、化简得证3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形4.勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC 中,90C =,则22c a b =+,22b c a =-,22a c b =-知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题 5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角

4、形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若cb a H GFEDCBAbacbac cabcab a bcc baED CBA222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形;定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a

5、,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形 6.勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 用含字母的代数式表示n 组勾股数: 221,2,1n n n -+(2,n n 为正整数;2221,22,221n n n n n +(n 为正整数2222,2,m n mn m n -+(,m n

6、>m ,n 为正整数7.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线,构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解. 8.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 9.勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理

7、及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决.常见图形:ABC30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。 二、经典例题精讲题型一:直接考查勾股定理 例1.在ABC 中,90C =.已知6AC =,8BC =.求AB 的长已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接应用勾股定理222a b c +=解:221

8、0AB AC BC =+=C BDA 228BC AB AC =-= 题型二:利用勾股定理测量长度例题1 如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?解析:这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后,.已知斜边长和一条直角边长,求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理!根据勾股定理AC 2+BC 2=AB 2, 即AC 2+92=152,所以AC 2=144,所以AC=12.例题2 如图(8,水池中离岸边D 点1.5米的C 处,直立长着一根芦苇,出水部分B C 的长是0.5米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B 恰好落到D 点,并求水池的深

9、度AC.解析:同例题1一样,先将实物模型转化为数学模型,如图2. 由题意可知ACD 中,ACD=90°,在Rt ACD 中,只知道CD=1.5,这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。标准解题步骤如下(仅供参考: 解:如图2,根据勾股定理,AC 2+CD 2=AD 2设水深AC= x 米,那么AD=AB=AC+CB=x +0.5 x 2+1.52=( x +0.52解之得x =2. 故水深为2米.题型三:勾股定理和逆定理并用 例题3 如图3,正方形ABCD 中,E 是BC 边上的中点,F 是AB 上一点,且AB FB 41=那么DEF 是直角三角形吗?为什么? 解析:这道题把很多条

10、件都隐藏了,乍一看有点摸不着头脑。仔细读题会意可以发现规律,没有任何条件,我们也可以开创条件,由AB FB 41=可以设AB =4a ,那么BE=CE=2 a ,AF=3 a ,BF= a ,那么在Rt AFD 、Rt BEF 和 Rt CDE 中,分别利用勾股定理求出DF,EF 和DE 的长,反过来再利用勾股定理逆定理去判断DEF 是否是直角三角形。详细解题步骤如下:解:设正方形ABCD的边长为4a,则BE=CE=2a,AF=3a,BF=a在RtCDE中,DE2=CD2+CE2=(4a2+(2a2=20 a2同理EF2=5a2, DF2=25a2在DEF中,EF2+ DE2=5a2+ 20a

11、2=25a2=DF2DEF是直角三角形,且DEF=90°.注:本题利用了四次勾股定理,是掌握勾股定理的必练习题。题型四:利用勾股定理求线段长度例题4 如图4,已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E,将ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长. 解析:解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。详细解题过程如下:解:根据题意得RtADERtAEFAFE=90°, AF=10cm, EF=DE设CE=x cm,则DE=EF=CD-CE=8-x在RtABF中由勾股定理得:AB2+BF2=AF2,即82+BF2=102,BF=6cmCF=

12、BC-BF=10-6=4(cm在RtECF中由勾股定理可得:EF2=CE2+CF2,即(8-x 2=x2+4264-16x+x2=2+16x=3(cm,即CE=3 cm注:本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。题型五:利用勾股定理逆定理判断垂直 例题5 如图5,王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和CD边,他测得AD=80cm,AB=60cm,BD=100cm,AD边与AB边垂直吗?怎样去验证AD边与CD边是否垂直?解析:由于实物一般比较大,长度不容易用直尺来方便测量。我们通常截取部分长度来验证。如图4,矩形ABCD 表示桌面形状,在AB 上截取AM=12cm,在AD 上截取

13、AN=9cm(想想为什么要设为这两个长度?,连结MN ,测量MN 的长度。如果MN=15,则AM 2+AN 2=MN 2,所以AD 边与AB 边垂直;如果MN=a 15,则92+122=81+144=225, a 2225,即92+122 a 2,所以A 不是直角。利用勾股定理解决实际问题 例题6 有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高4.5米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开,一个身高1.5米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开?解析:首先要弄清楚人走过去,是头先距离灯5米还是脚先距离灯5米,可想而知应该是头先距离灯5米。转化为数学模型,如图6 所示,A 点表示控制灯,BM

14、 表示人的高度,BC MN,BC AN 当头(B 点距离A 有5米时,求BC 的长度。已知AN=4.5米,所以AC=3米,由勾股定理,可计算BC=4米.即使要走到离门4米的时候灯刚好打开。题型六:旋转问题:例1、如图,ABC 是直角三角形,BC 是斜边,将ABP 绕点A 逆时针旋转后,能与AC P 重合,若AP=3,求PP 的长。变式1:如图,P 是等边三角形ABC 内一点,PA=2,PB=23,PC=4,求ABC 的边长. 分析:利用旋转变换,将BPA 绕点B 逆时针选择60°,将三条线段集中到同一个三角形中, 根据它们的数量关系,由勾股定理可知这是一个直角三角形.变式2、如图,A

15、BC 为等腰直角三角形,BAC=90°,E 、F 是BC 上的点,且EAF=45°, 试探究222BE CF EF 、间的关系,并说明理由.题型七:关于翻折问题例1、如图,矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ,BC=6cm ,E 为BC 上一点,将矩形纸片沿AE 折叠,点B 恰好落在CD 边上的点G 处,求BE 的长.变式:如图,AD 是ABC 的中线,ADC=45°,把ADC 沿直线AD 翻折,点C 落在点C 的位置,BC=4,求BC 的长. 题型八:关于勾股定理在实际中的应用:例 1、如图，公路 MN 和公路 PQ 在 P 点处交汇，点 A 处有一所中学，A

16、P=160 米，点 A 到公路 MN 的距离为 80 米，假使拖拉机行驶时，周围 100 米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是 18 千米/ 小时，那么学校受到影响的时间为多少？ 题型九：关于最短性问题 例 5、如右图 119，壁虎在一座底面半径为 2 米，高为 4 米的油罐的下底边沿 A 处， 它发现在自己的正上方油罐上边缘的 B 处有一只害虫， 便决定捕捉这只害虫， 为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从 背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一

17、顿美餐请问 壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（ 取 3.14，结果保留 1 位小数，可以用 计算器计算）变式：如图为一棱长为 3cm 的正方体，把所有面都分为 9 个小正方 形，其边长都是 1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm，则它从下地面 A 点沿表面爬行至右侧面的 B 点， 最少要花几秒钟？ 三、课后训练： 一、填空题 1如图(1，在高 2 米，坡角为 30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需_米 D C D B E O 第 3 题图 图(1 2种盛饮料的圆柱形杯（如图） ，测得内部底面半径为 2.5 ，高为 12 ，吸管放进杯里，杯口外面至少要露 出 4.6 ，问吸管要做 。

18、 3已知：如图，ABC 中，C = 90° ，点 O 为ABC 的三条角平分线的交点，ODBC，OEAC，OFAB， 点 D 、 E 、 F 分别是垂足，且 BC = 8cm ， CA = 6cm ，则点 O 到三边 AB ， AC 和 BC 的距离分别等 于 cm 4在一棵树的 10 米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘的 A 处。另一只爬到树顶 D 后 直接跃到 A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_米。 A 20 5.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为 20dm、3dm、 3 2 2dm，A 和 B 是这个台阶两个相

19、对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到 B 点最短路程是_. 二、选择题 B 1已知一个 Rt的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（ ） A、25 B、14 C、7 D、7 或 25 2Rt一直角边的长为 11，另两边为自然数，则 Rt的周长为（ ） A、121 B、120 C、132 D、不能确定 3如果 Rt两直角边的比为 512，则斜边上的高与斜边的比为（ ） A、6013 B、512 C、1213 D、60169 4已知 RtABC 中，C=90°，若 a+b=14cm，c=10cm，则 RtABC 的面积是（ ） 2 2 2

20、2 A、24cm B、36cm C、48cm D、60cm 5等腰三角形底边上的高为 8，周长为 32，则三角形的面积为（ ） A、56 B、48 C、40 D、32 C A 第 4 题图 A F B 6 6某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米 E D A 售价 a 元，则购买这种草皮至少需要（ ） A、450a 元 B、225a 元 C、150a 元 D、300a 元 20m 150° 30m B 第 7 题图 第 6 题图 F C 7已知，如图长方形 ABCD 中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点 B 与点

21、 D 重合，折痕为 EF，则ABE 的面积为（ ） 2 2 2 2 A、6cm B、8cm C、10cm D、12cm B 8在ABC 中，AB=15，AC=13，高 AD=12，则ABC 的周长为 C A42 B32 C42 或 32 D37 或 33 9. 如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为 1，则ABC 是 （ ） A （A）直角三角形 (B锐角三角形 (C钝角三角形 (D以上答案都不对 三、计算 1、如图，A、B 是笔直公路 l 同侧的两个村庄，且两个村庄到直路的距离分别是 300m 和 500m，两村庄之间的距 2 2 离为 d(已知 d =400000m ，现要在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小。问最小是多少？ B A l 2、如图 1-3-11，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 10cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角 顶点 P 落在 AD 边上（不与 A、D 重合） ，在 AD 上