考研数学高等数学强化资料-空间几何(数学一)

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2、（旋转曲面、柱面、投影）的方程【重难点】1、平面和直线的方程2、旋转曲面和柱面的方程 知识点回顾一空间直角坐标系与向量1.空间直角坐标系1）以空间中某一点为原点作三条相互垂直的坐标轴，三条坐标轴都以作为原点，将它们分称作轴、轴、轴，三个坐标轴的方向要符合右手法则，这样就建立了空间直角坐标系，点称之为坐标原点.2）在空间直角坐标系内，一般用三元方程（或）表示曲面，而空间曲线则被看作两个曲面的交线，其标准方程为.2.向量1）既有大小又有方向的量称为向量，通常用表示.若向量，则点的坐标就称为向量的坐标，且有（其中分别为沿轴、轴、轴正向的单位向量），通常记作.2）向量的长度称为向量的模，记作.模为1的

3、向量称为单位向量，模为0的向量称为零向量.3）向量与三个坐标向量的夹角称为向量的方向角，方向角的余弦称为向量的方向余弦.如果，则有.3.向量的运算设，则加法：；数乘：；数量积（点积、内积）： ；向量积（叉积、外积）：；混合积：；4.运算法则;，;5.向量之间的关系设;两个向量垂直的充要条件：；两个向量平行的充要条件：；两个向量共线的充要条件：存在不全为0的实数使得；三个向量共面的充要条件：存在不全为0的实数使得（也等价于）；两个向量的夹角：.二直线与平面1平面1）平面的法向量：所在直线与平面垂直的向量称为平面的法向量.2）平面方程的四种形式：点法式方程：已知平面上一点及其法向量，则平面方程为.

4、一般式方程：.三点式方程：设是平面上不共线的三个点，则过这三个点的平面方程为.截距式方程： .2直线1）直线的方向向量：与直线平行的向量称为直线的方向向量.2）直线方程的四种形式：一般式方程：已知空间有两个相交平面和，则它们可以确定一条直线，其方程为：.标准式方程：已知直线上一点及其方向向量，则直线的标准式方程是 .两点式方程：设是直线上两点，则过这两点的直线方程为.参数式方程：已知直线上一点及其方向向量，则直线的参数式方程为.三直线与平面的位置关系1两个平面的位置关系设有两个平面则有 .2两条直线的位置关系设有两条直线,则有 .3直线与平面的位置关系设有直线和平面,则有 .4点到直线的距离点

5、到直线的距离为.5点到平面的距离点到平面的距离为.四简单曲面1旋转曲面1）概念 以一条曲线绕一条定直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴.2）常见的旋转曲面求法（1）设是平面上一条曲线，其方程为内.将绕轴旋转得到的旋转曲面方程是（2）由参数方程绕轴旋转得到的旋转曲面方程为其中，设存在单值的反函数，,为的值域.2柱面设是一条空间曲线，是一条直线，直线沿移动所得到的曲面叫柱面.其中称为柱面的准线，称为柱面的母线.1）若准线方程是，如果母线平行于轴，则柱面方程为，如果母线方向为，则柱面方程为.2）若准线方程是，如果母线方向为，则柱面方程是.3）若准线方程是，如

6、果母线方向为，则先在准线上任取一点，则过点的母线方程为，其中为母线上任意一点的活动坐标，消去方程组中的就可以得到所需的柱面方程.3投影1）定义经过空间曲线的每一点都有平面的一条垂线，所有的这些垂线构成一个柱面，称为到平面的投影柱面.投影柱面与平面的交线称之为到平面的投影曲线.2）投影曲线的求法（1）求出通过空间且垂直于的投影柱面方程，则投影曲线为.（2）空间曲线在坐标平面上投影曲线的求法：a.从方程组中消去，得到一个母线平行于轴的柱面；b.将与联立，得到投影曲线的方程为.类似地可以求在坐标面、上的投影曲线. 考点精讲一向量的关系与运算【例1】：设，求答案：【例2】：设向量与向量共线，且，求向量

7、答案：【例3】：求与向量和都垂直的单位向量.答案：【例4】：设与，与垂直，计算答案：二空间直线与平面【例5】：求经过点并与两条直线 与都垂直的直线方程.答案：【例6】：求与两条直线和都平行且过原点的平面方程.答案：【例7】：求通过直线且与平面垂直的平面方程.答案：【例8】：求过点，垂直于直线，平行于平面的直线方程.答案：三曲线与曲面1旋转曲面【例9】：求下列旋转曲面方程.1），分别绕轴和轴.2），分别绕轴和轴.3）直线绕轴旋转一周所成的旋转曲面方程.4）两点的直角坐标分别为，求线段绕轴旋转一周所成的旋转曲面.答案：1) 绕轴和绕轴2) 绕轴和绕轴3）4）2柱面【例10】：设准线方程为，母线的方向向量为.求这个柱面方程.答案：【例11】：设准线方程为，母线平行于直线.求这个柱面方程.答案：3投影【例12】：设曲线方程为，求它在三个坐标面上的投影.答案：面上的投影曲线为面上的投影曲线为面上的投影曲线为【例13】：求直线在平面上的投影的方程，并求绕轴旋转一周所成的曲面的方