教学大纲 - 线性代数-

1、线性代数B课程编码:310002课程英文名称:Linear Algebra课程类别:公共限选课学分:2学分;总学时:32学时;理论课学时:32学时;开课对象:全校理工科、部分文科专业开课学期:2教材:线性代数参考书:【1】.居余马、胡金德等:线性代数,北京;清华大学出版社,1995。1,第一版,1997-3,第五次印刷;【2】.胡金德:线性代数复习指导,北京:国家行政学院出版社, 1999-.4,第一版,1999-4,第一次印刷;先修课程:一、课程的性质、目的与任务线性代数是研究有限维向量空间和线性变换的数学分支,它的思想、方法和结论在众多科学技术领域都有着广泛的应用,而且它的集成化思维方式符

2、合现代科学思维方式的发展趋势,对训练和提高学生在抽象思维、逻辑推理、数学表达等方面的能力也非常有益。随着现代科学技术日新月异的发展,尤其是计算机技术的飞速发展和广泛应用,线性代数知识已成为本科大学生所必备的素养之一。因此,线性代数是全校各专业学生的一门必修课程。根据对本科大学生的基本要求和实际状况,以及本课程的教学时数,本课程主要学习行列式、矩阵、向量空间三个数学工具,解决线性方程组、二次型两个应用问题。通过学习,应使学生理解和初步掌握行列式、矩阵的基本概念、主要性质和基本运算,初步理解向量空间的概念、向量的线性关系、线性变换、了解欧氏空间的线性结构和度量结构,基本完整地掌握线性方程组的求解方

3、法和理论,初步掌握二次型的标准化和正定性判定。同时,结合这些基本内容,简略地介绍一些应用背景和最常用的计算机应用软件。这些知识和技能,将为工科各专业的后续课程以及未来的进一步学习和应用打下必要的基础。本大纲主要阐述对一般本科学生的基本要求。那些学有余力并有志于考研究生的学生,应在学好基本内容的基础上,参照考研大纲作适当的补充提高。二、课程的内容与基本要求本规定中把课程内容大致地分为理论和计算两个方面。对每一方面的要求程度分为四个层次,分别表述如下:1.初步知道:对有关的概念、性质、定理、理伦,有所知其然;对有关的公式、法则、方法等也有所知,会作较简单的计算。这是最低要求。2.一般了解、会(能:

4、这是对大多数学生、大多数内容的一般要求。具体要求是:概念正确、清晰,性质和定理的条件、结论清楚无误,了解其证明的大致思路及相关的推论。明白计算的法则和公式,会顺利而正确地进行有关计算,了解并会运用相应的运算律。3.较好理解、掌握:准确理解概念的含义及其主要内涵,理解相关概念之间的逻辑关系,理解有关定理的内容(及其推论,能证明之并在有关的讨论中运用之。掌握有关的算法和公式,能进行流畅和规范的计算。同时,对主要的计算,知道相应的计算机应用软件。学得较好的学生在多数主要内容上应达到此要求。4.好深刻理解、熟练掌握:对有关的概念能深刻理解、举一反三,形成较完整的概念逻辑链;对有关的理论能较完整地把握,

5、并能较顺畅地进行有关的论证;对有关的公式和计算法则能较熟练地掌握,能进行一些有一定灵活性的计算。知道并至少会用一种计算机软件实现上述计算。有志于考研究生的学生在多数主要内容上应达到此要求。5.教学内容与基本要求:第一章行列式教学内容:1.n阶行列式的定义和性质2.行列式计算的主要方法3.Cramcr法则及其推论基本要求:一、逆序:知道逆序和排列的奇偶性,知道对换改变奇偶性。二、行列式的定义:知道行列式的广义对角线及其符号,了解行列式的定义。会根据定义计算某些简单的行列式(如上、下三角形、主、次对角形等。三、行列式的性质:掌握行列式的六条主要性质的结论,知道其证明,会运用这些性质进行行列式的简化

6、。四、Laplace展开:理解代数余子式的概念,掌握行列式按行(列展开从而降阶的方法,理解Laplace定理。五、行列式的计算:对于确定阶数(5阶的行列式,会通过化简为三角形求值,或化简后展开、降阶;对于不定阶数的行列式(n阶,会根据其特点运用递推法或数学归纳法(如Van de Mond行列式。六、Cramer法则:理解Cramer法则的两个条件和两个结论,了解其证明,会用来解非退化的线性方程组。掌握其关于齐次方程组的推论。第二章矩阵教学内容:1.矩阵概念的引入,一些常用的特殊矩阵2.矩阵的代数运算:加法、数乘、乘法、转置、方阵取行列式、方阵求逆运算法则、运算律、有关的说明、定理等3.分块矩阵

7、:矩阵运算在分块时的法则4.初等变换与初等阵基本要求:一、矩阵的概念:1.知道向量的线性变换及其与线性方程组的关系,会由此引出矩阵。2.理解矩阵的概念(包括矩阵的元素、阶数,掌握矩阵的表示法。3.了解一些常用的特殊矩阵,如行(列矩阵、零矩阵、方阵、上(下三角阵、主(次对角阵、数量阵、单位阵等。二、矩阵的代数运算:1.理解矩阵相等的概念。2.熟练掌握矩阵的加法、数乘运算及其运算律,理解矩阵线性运算的概念。3.熟练掌握矩阵的乘法运算及其运算律;理解矩阵的阶数在运算中的作用:理解矩阵一般不可交换和不可消去的原理;理解线性变换和线性方程组的矩阵形式;掌握方阵的幂运算,知道方阵的多项式。4.熟练掌握矩阵

8、的转置及其运算律;理解对称阵的定义及其性质。5.熟练掌握取方阵的行列式的运算及其运算律;理解伴随阵的概念。6.熟练掌握方阵可逆的定义及其充要条件;掌握用伴随阵求逆阵的方法;熟练掌握可逆阵的性质及求逆的运算律;掌握逆阵的可消去性、方阵的负整数次幂,掌握用逆阵解线性方程组和简单矩阵方程的方法。三、分块矩阵:1.了解分块矩阵的概念。2.会进行分块矩阵的加法、数乘、转置等运算;掌握分块矩阵的乘法。3.了解分块对角阵,掌握分块对角阵的六种代数运算。知道分块三角阵。四、矩阵的初等变换:1.理解矩阵的行(列初等变换及矩阵的等价性概念;熟练掌握矩阵的行初等变换及其三种等价形态(行阶梯形、行最简形、标准形。2.

9、理解初等阵的定义及其性质;理解初等阵与初等变换的关系;理解可逆阵的初等分解定理及其推论。3.熟练掌握用初等变换求逆阵和解非退化方程组的方法。第三章向量的线性相关性与秩教学内容;1.n维向量及其线性运算、线性表示、线性相关2.一组向量的线性关系:线性相关性的概念、判定、主要性质和定理3.两个向量组之间的线性表示与等价;向量组的极大无关组与秩4.矩阵的秩:定义、判定;基本要求:一、n维向量:借助几何直观,理解n维向量的概念;熟练掌握向量的线性运算;理解线性组合、线性表示等概念。二、向量的线性关系:1.理解一组向量线性相关、线性无关的定义和充要条件:熟练掌握判别一组向量线性相关性的基本方法;会用定义

10、和充要条件进行简单的论证。2.理解关于表示唯一性的定理;理解两个扩充定理及其推论;理解无关向量的个数不超过向量维数的原理;三、向量组的秩:1.理解两个向量组之间的线性表示关系及表示矩阵的概念:理解两个向量组等价的定义,知道向量组等价与矩阵等价的区别与联系。2.理解向量组的极大无关组的定义和性质,了解极大无关组之间等价并等量的原理:理解向量组的秩的定义。四、矩阵的秩:1.理解矩阵的秩的定义;了解“三秩一致性”原理。2.理解初等变换的保秩性:熟练掌握用初等变换求秩的方法;掌握用行列式求秩的方法。3.掌握用矩阵的初等变换求向量组的秩和极大无关组的方法。4.知道矩阵的秩与矩阵运算的关系。第四章线性方程

11、组教学内容:1.线性方程组的分类及其判定2.用行初等变换解线性方程组的一般过程3.线性方程组的解集的结构及有关理论基本要求:一、方程组的分类:1.掌握线性方程组的三种形式及其相互转化。2.理解三类线性方程组的分类原理及其判定方法:会对含参数系数的方程组进行分类讨论。二、用行初等变换解方程:1.熟练掌握用方程组的增广矩阵(或系数矩阵,对于齐次方程组作行初等变换解方程组的一般方法(对于三类方程组,分别在初等变换的不同阶段引出结论。2.会用流程图表述上述的一般过程;理解这一过程与高斯消去法的关系。三、解集的结构:1.齐次方程的解空间:了解齐次方程的解空间的概念;理解其维数定理;熟练掌握基础解系和通解

12、的求法;会用这一理论作一些简单的论证。2.非齐次方程的解集:熟练掌握非齐次方程组的通解的结构,知道它的秩。第五章向量空间教学内容:1. 了解向量空间的基本概念2.向量的正交性与正交阵基本要求:一、线性空间(狭义:了解一个非空向量集构成线性空间的定义(完备性、规范性;理解线性空间的基、维数、坐标等概念;理解线性子空间的概念;理解一组向量的生成子空间的概念。二、正交阵与正交变换:1.正交性:知道向量的内积、范数、夹角等概念;了解向量正交的概念;了解正交规范组的概念。2.正交变换:了解正交阵的定义及其性质;了解正交变换的概念及其性质第六章特征值问题与矩阵变换教学内容:1.方阵的特征值和特征向量2.方

13、阵的相似变换及对角化基本要求： 一、方阵的特征值问题： 1理解方阵特征值的定义及其主要性质；熟练掌握特征值和特征 向量的求法； 2知道方阵的运算对特征值和特征向量的影响。 二、方阵的对角化问题： 1相似变换：理解方阵相似变换的定义；了解相似变换的主要性 质。 2对角化：了解方阵对角化的定义；知道方阵可对角化的充要条 件；会用对角化计算方阵的幂。 三、实对称阵及其对角化：了解实对称阵的定义及其性质；会用正交变 换将其对角化。 第七章 二次型 教学内容： 1二次型及其矩阵表示、二次型的标准形 2二次型的标准化与正定性 基本要求： 一、二次型问题： 1二次型及其矩阵：了解二次型的定义；了解二次型的矩阵形式。 2二次型的标准化：理解二