基本不等式求最值方法

1、精品资料欢迎下载基本不等式知识点：2 21. 若a,b R，则a2 b2 _2ab 若a,b R，则abb（当且仅当_ 2a =b 时取“=”）2. 若 a,b R*，则_ ab2（2）若 a, b R*，则 a b _ 2 _ ab（当且仅当 a = b 时取“=”）若a，'R*，则宁2（当且仅当a = b时取“=”）精品资料欢迎下载13.若x 0，则x一_2（当且仅当x = 1时取“=”） x1若x ： 0，则x2 （当且仅当x = -1时取“=”）x若X工0，贝y X22即x +丄22或x+丄兰-2 （当且仅当a = b时取“=”）xxx4.若 ab:>0 ,则>2b

2、 a（当且仅当a = b时取“=”）若ab 0 ,则a+丿b a眾即一ab肛b或-aa+ b-翼当且仅当a = b时取“=”） b a5.若 a, b w2R，则(a+b)2<a +b2 22（当且仅当a = b时取“=”） 当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积大”（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有 广泛的应用应用：求最值解题技巧1(2) y = x + 一x1例：求下列函数的值域：（1） y = 3x 2 + 22

3、x技巧一：凑项5彳例1已知x，求函数y=4x 2 1 的最大值。44x5变式：已知x-，求函数y =2x1的最小值。22x 3技巧二：凑系数例2：当时，求y =x(8_2x)的最大值。、3变式：设0 ；： x ，求函数y = 4x(3 - 2x)的最大值。2技巧三：分离换元2x +7x+10例3 :求y(x -1)的值域。x +1变式：当x 1时，求y2x2 -2x 1x -1的最小值.技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数X2 +5调性。 例：求函数y = x 5的值域。Jx2 +4f(X)= X +旦的单x技巧六：整体代换(“1 ”的应用)19例：已知x 0, y

4、0，且1，求x y的最小值。x y1 1变式：正数x,y满足x 2y = 1，求一 一的最小值x y设a 0,b0.若.、3是3a与3b的等比中项，贝【J 一 -的最小值为a b2技巧七例：已知x, y为正实数，且x 2 +专=一求x 1 + y2的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式同时还应化简1 + y 2中前面的系数为O分别看成两个因式:3 4 即 x- 1 + y技巧八：已知a, b为正实数,2b + ab+ a = 30,求函数y=的最小值.是通过消元，转化为一元函数问分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径,题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种

5、途径是可行的；二是直接用基本不等 式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考 虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。技巧九、取平方 例：求函数 目二.'刁？汀亦2X（2 2数列检测练习1. 已知等差数列-*的前n项和为Sn,若 'L'等于（）A. 18 B. 36 C. 54D. 722. 已知正项等比数列数列an , bn=log a an,则数列bn是（）A、等比数列B、等差数列C、既是等差数列又是等比数列D、以上都不对3. 在等差数列a：中，3 （a + ） +2 （a +a二+a= ） =24，则此数列的前13 项

6、之和为（）A. 156 B. 13 C. 12D. 26精品资料欢迎下载4. 在等比数列a.中，已知 謂卯=8，则a?a8等于(A. 16B.C. 125. 一个等比数列an的前n项和为48,前2n项和为60,则前3n项和为()A 63B 、108C 、75D 、83精品资料欢迎下载精品资料欢迎下载6.已知数列an的通项公式为an=且 S= 101 - 1,则 n 的值为().n 1、n(A) 98( B) 99(C) 100(D) 1017.在正项等比数列an中,a2i+a22+al= 1 ,贝H &+氏+an 的值为()3(A)2n(B)2n-1(C)2n+1(D)2n+1-28.

7、已知首项为正数的等差数列gj满足：a2010 + a2009 A 0 , a2010a2009 £ 0 ,则使其前n项和Sn0成立的最大自然数门是( ).A.4016 B.40179已知数列1,C. 4018 D. 4019，则其前n项的和等于精品资料欢迎下载精品资料欢迎下载10、等差数列®,bn的前n项和分别为“若著畠，则誉11.已知等比数列an满足an 0, n=1,2,川，且asan*22n( n _ 3)，则当n_1时,log 2 a1log 2alog 2 a2n j 二 12.设等比数列 an的前n项和为Sn，若 寺3,则 I：=13.设数列an的前n项和为Sn

8、,已知a1 =1, Sn4an 2设bn =an 1 -2an，证明数列bn是等比数列(II)求数列an的通项公式。114.已知数列laj的前n项和Sn - -an -()n2 (n为正整数)。2(i)令bn =2nan，求证数列是等差数列，并求数列fan?的通项公式;n +1(U)令 Cn = an，求C1 C2 - Cn 的值精品资料欢迎下载15. 已知数列务满足an =2务2n -1(N*,n 一 2)，且a81(1) 求数列的前三项a-i> a2、a3的值；(2) 是否存在一个实数，使得数列 an n 为等差数列？若存在，求出2n的值；若不存在，说明理由；求数列an通项公式。(3) 求数列an的前n项的和11116. 已知数列an的前n项和为Sn，且有Sn二n2n，数列bn满足22bn 2 -2bnbn =0(n N*)，