四 万有引力 人造卫星

1、四 万有引力 人造卫星 一、开普勒行星运动定律 1开普勒第一定律(又叫轨道定律)：所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳是在这些椭圆的一个焦点上 2开普勒第二定律(又叫面积定律)：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积 3开普勒第三定律(又叫周期定律)：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值部相等 以表示两个行星的公转周期，表示两个行星椭圆轨道的半长轴，则周期定律可表示为或，比值k是与行星无关而只与太阳有关的恒量【例题1】飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为L如果飞船要返回地面，可在轨道上的某一点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦

2、点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B点相切，如图431所示如果地球半径为，求飞船由A点到B点所需要的时间 分析 由于圆周运动可以看成半长轴与半短轴相等的特殊椭圆运动时其轨道半径的三次方跟周期的平方比值，等于飞船绕地球沿椭圆轨道运动时，其半长轴的三次方跟周期平方的比值飞船椭圆轨道的半长轴为，设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T，则有 而飞船从A点到B点所需的时间为【例题2】如果人造地球卫星（或飞船）沿半径为r的圆形轨道绕地球运动，现卫星要返回地面，可在A位置开动制动发动机，使卫星速度降低并转移到与地球相切于B点的椭圆轨道，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，如图所示。问在这之后，卫星经过多长时间

3、着陆？（已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g）解析：对近地小圆轨道有 mg = 即 GM=R2g 应用开普勒第三定律 = 对变速椭圆轨道 a = 对变速椭圆轨道应用式可求 T = 显然，着陆时间为： t = 答案：二、万有引力定律1公式：其中，叫万有引力恒量2适用条件：严格来说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身大小时公式也近似适用，但此时它们间距离r应为两物体质心间距离3注意：公式中F是两物体间的引力，F与两物体质量乘积成正比与两物体间距离的平方成反比，不要理解成F与两物体质量成正比、与距离成反比补偿法解决万有引力问题的方法：所谓补偿法，对某些物理题，当待求

4、的A直接求解困难时，可想法补上一个B，补偿的原则是使得A+B变得易于求解，而且补上去的B也容易求解那么，待求的A从两者的差值获得，问题就迎刃而解了这种方法解题常使一些难题的求解变得简单明了 【例题3】 如右图所示，阴影区域是质量为M、半径为R的球体挖去一个小圆球后的剩余部分所挖去的小圆球的球心O和大球体球心问的距离是R/2求球体剩余部分对球体外离球心。距离为2R、质量为m的质点P的引力 分析：万有引 力定律只适用于两个质点间的作用，只有对均匀球体，才可将其看作是质量全部集中在球心的一个质点至于本题中不规则的阴影区，那是不能当作一个质点来处理的故可用补偿法，将挖去的球补上 解析：将挖去的球补上，

5、则完整的大球对球外质点P的引力：半径为R/2的小球质量，补上的小球对质点P的引力：因而挖去小球的阴影部分对P质点的引力： 评析：如果题中的球穴挖在大球的正中央。如右图所示，根据同样道理可得剩余部分对球外质点的引力 上式表明，一个均质球壳对球外质点的引力跟把球壳的质量(7M/8)集中于球心时对质点的引力一样三、应用万有引力定律分析天体的运动1基本模型的建立环绕模型：把天体的运动看成是环绕某中心天体的匀速圆周运动，其所需的向心力由万有引力提供近球模型：处于星球表面或附近的物体受到的万有引力近似等于物体的重力“金三角关系”：所有天体（卫星）运动问题的求解尽在“金三角关系”之中说明：问题属于环绕模型时

6、，选用F引=F向关系；问题属于近球模型时，选用F引=G=F向关系本章的所有有关天体运动的计算公式都可以有这三角等量关系推出，无须记忆，解题时，先确定是哪个模型，然后选择相应的等量关系列方程，即可推出结果的表达式各类天体（包括卫星）问题星球表面或附近的重力加速的求解：星球表面重力加速度问题属于近球模型，故选用F引=G=F向关系列方程，如下例 【例题4】假设火星和地球都是球体，火星的质量和地球质量之比，火星的半径和地球半径之比，那么离火星表面高处的重力加速度和离地球表面高处的重力加速度之比等于多少?说明：根据上题的结论，在地球表面有：,此式称为黄金代换式，如果是别的球星，将式中的地球半径R换成别的

7、星球半径后，此式仍然成立！重力随离地面高度的变化而变化，当物体在高空中可忽略地球自转的作用，重力跟万有引力相等，在地面上，在h高度处 , 所以，随高度的增加，重力加速度减小，在计算时，这个因素不能忽略估算天体的质量和密度：测出卫星围绕天体作匀速圆周运动的半径r和周期T，即可进行估算。把卫星运动看成匀速圆周运动，则属于环绕模型，选用F引=F向列方程，即可求解！ 物理估算，一般是指依据一定的物理概念和规律，运用物理方法和近似计算方法，对所有物理量的数量级或物理量的取值范围，进行大致的推算 物理估算是一种重要的方法有的物理问题，在符合精确度的前提下可以用近似的方法简捷处理；有的物理问题 ，由于本身条

8、件的特 殊性，不需要也不可能进行精确的计算在这些情况下，估算就成为一种科学而又有实用价值的特殊方法 【例题5】 把地球绕太阳公转看作是匀速圆周运动，轨道平均半径约为1.5l08km，已知万有引力常量 G=6.67l011Nm2kg2则可估算出太阳的质量大约是多少kg? (结果取一位有效数字) 分析 题干给出地球轨道半径：r1.5 x1011m,虽没直接给出地球运转周期数值但日常知识告诉我们：地球绕太阳公转一周为365天故T= 365 243600s=3.15 x107s说明：分析时注意隐含条件，如此题的地球公转周期，注意求出的质量M是中心天体的质量！ 【例题6】 1789年英国著名物理学家卡文

9、迪许首先估算出了地球的平均密度根据你学过的知识，能否知道地球密度的大小 解：设地球质量为M，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，忽略地球自转的影响，根据万有引力定律得：将地球看成均匀球体： 由上两式得地球的平均密度：上式中：、g、R和G均为常数将它们的值代人可 得：=5.5103kg/m3，即地球的平均密度为5.5l03kgm3 说明：估算题中往往告诉的已知量很少或者什么量也不告诉，解题时就要求我们灵活地运用一些物理常数，如：重力加速度g、 圆周率、万有引力恒量 G等等 赤道上的物体与近地运行卫星 a放在赤道上的物体随地球自转时受两个力的作用：一个是地球对它的万有引力；另一个是地面对物体的

10、支持力这两个力的合力提供了物体做圆周运动的向心力，即，这里 物体的向心加速度，远小于地面上物体的重力加速度g=9.8m倍，故在近似计算中忽略自转影响，而认为地面上物体的重力和该物体受到的万有引力大小相等在两极：重力等于万有引力，重力加速度最大地面上的物体的重力随纬度的增大而增大故重力加速度g从赤道到两极逐渐增加【例题7】地球赤道上有一物体随地球一起自转做圆周运动，所受的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为功，角速度为1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度可忽略)所受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为2，地球同步卫星所受的向心力为F1，向心加速度为a3，线速度为v

11、3，角速度为3，地球表面重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则 ( ) 【例题8】 地球赤道上的物体重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球的转速应为原来的( )b绕天体运行的卫星，只受一个力即万有引力，卫星上物体处于完全失重状态，故卫星的向心加速度a等于卫星所在处的重力加速度g，对近地卫星来讲近地卫星的环绕速度即地球卫星的最小发射速度，叫做第一宇宙速度当卫星靠近地球表面运动时，其受到的万有引力可以近似等于其受到的重力（忽略地球自转），则卫星运动的向心力由其本身的重力提供，可以选用近球模型求解第一宇宙速度：mg,由于近地卫星轨道

12、半径近似等于地球半径，故式中的R为地球半径！卫星绕行速度、角速度、周期与半径的关系：a对卫星运动属于环绕模型，选用F引=F向等量关系列方程如下：，得 b三种宇宙速度(1)第一宇宙速度(环绕速度)：v=7.9kms；(地球卫星的最小发射速度)：mg,或,R为地球半径！(2)第二宇宙速度(脱离速度)：v=11.2kms；(卫星挣脱地球束缚的最小发射速度)(3)第三宇宙速度(逃逸速度)：v=16.7kms(卫星挣脱太阳束缚的最小发射速度)c卫星上的“超重”和“失重”： “超重”是卫星进入轨道前加速时，卫星上的物体“超重”，此情景与“升降机中物体超重相同“失重”是卫星进入轨道后正常运转时，卫星上的物体

13、完全“失重”(因为重力提供向心力)因此，在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力有关的均不能正常使用【例题9】人造卫星的天线偶然折断，那么：（ ）A天线将作自由落体运动，落向地球 B天线将作平抛运动，落向地球C天线将沿轨道切线方向飞出，远离地球 D天线将继续和卫星一起沿轨道运转【例题10】 2003年10月15日，我国神舟五号载人飞船成功发射这标志着我国的航天事业发展到了很高的水平为了使飞船顺利升空，飞船需要一个加速过程在加速过程中，宇航员处于超重状态人们把这种状态下宇航员对座椅的压力与静止在地球表面时所受重力的比值，称为耐受力值，用k表示在选拔宇航员时，要求他在此状态的耐受力值为4k12宇航员杨利

14、伟的k值为10神舟五号变轨后以7.8103ms的速度沿圆形轨道环绕地球运行已知地球半径R6.4103 km，地面重力加速度g10 ms2求： (1)当飞船沿竖直方向加速升空时，杨利伟承受了巨大的压力在他能够承受的最大压力的情况下，飞船的加速度是多大? (2)求飞船在上述圆形轨道上运行时距地面的高度h地球同步卫星： (1)所谓地球同步卫星，是相对于地面静止的和地球具有相同周期的卫星，T24小时 (2)同步卫星必位于赤道上方h 处，且h 是一定的证明如下：如图442，假设卫星在轨道B上跟着地球的自转同步地作匀速圆周运动，卫星运动的向心力来自地球对它的引力F 引，F引中除用来作向心力的F1外，还有另

15、一部分F2，由于F2的作用将使卫星运行轨道靠向赤道只有赤道上空，同步卫星才可能在稳定的轨道上运行 (3)环绕速度v=3.08(kms)在轨道半径一定的条件下，同步卫星的环绕速度也一定，且为 (4)变轨道发射发射同步卫星，一般不采用普通卫星的直接发射方法，而是采用变轨道发射(图443) 首先，利用第一级火箭将卫星送到180200km的高空，然后依靠惯性进入圆停泊轨道(A) 当到达赤道上空时，第二、三级火箭点火，卫星进入位于赤道平面内的椭圆转移轨道(B)，且轨道的远地点(D)为35800km 当到达远地点时，卫星启动发动机，然后改变方向进入同步轨道(C) 这种发射方法有两个优点：一是对火箭推力要求

16、较低；二是发射场的位置不局限在赤道上来，则地球的转速应为原来的( ) 【例题11】 发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1然后经点火，使其沿椭圆轨道2运动，最后再次点火，将卫星送人同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点(见下图)，当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是 ( ) A卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度 c卫星在轨道1上经过Q点的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度 D卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它的轨道3上经过P点时的加速度 分析 本题主要考查人造地球卫星的运动，尤其是考查

17、了同步卫星的发射过程，对考生理解物理模型有很高的要求 卫星在轨道1上经Q点时的加速度为地球引力产生的加速度，而在轨道2上经过Q点时，也只有地球引力产生加速度，故应相等同理，卫星在轨道2上经 P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度 答案BD卫星的变轨问题卫星绕天体稳定运行时万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力由，得由此可知，轨道半径r越大，卫星的速度越小当卫星由于某种原因速度F突然改变时，F和不再相等，因此就不能再根据来确定r的大小当时，卫星做近心运动；当时，卫星做离心运动【例题12】同步卫星在赤道上空同步轨道上定位以后，由于受到太阳、月球及其他天体的引力作用影响，会产生漂移运动而偏高

18、原来的位置，当偏离达到一定程度，就要发动卫星上的小发动机进行修正图442中A为离地面36000 km的同步轨道，B和C为两个已经偏离轨道但仍在赤道平面内运行的同步卫星，要使它们回到同步轨道上，应 ( AD ) A开动B的小发动机向前喷气，使B适当减速 B开动B的小发动机向后喷气，使B适当加速 C开动C的小发动机向前喷气，使C适当减速 D开动C的小发动机向后喷气，使C适当加速【例题13】 如下图所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是 ( ) Ab、c的线速度大小相等，且大于a的速度 Bb、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度 Cc加速可追上同一轨道

19、上的b，b减速可等候同一轨道上的c Da卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大 分析 因为b、c在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小均相等又b、c轨道半径大于a轨道半径，由知故A选项错；由加速度可知，故B选项错 当c加速时，c受的万有引力，故它将偏离原轨道做离心运动；当b减速时，b受到的万有引力它将偏离原轨道，而离圆心越来越近所以无论如何c也追不上bb也等不到c，故c选项错对这一选项，不能用来分析b、c轨道半径的变化情况 对a卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，在转动一段较短时间内可近似认为它的轨道半径未变，视作稳定运行，由知，r减小时v逐渐增大，故D选项正确 答案D四、综合例

20、题【例题1】 已知物体从地球上的逃逸速度(第二宇宙速度) ，其中分别是万有引力恒量、地球的质量和半径，已知，求下列问题 (1)逃逸速度大于真室中光速的天体叫做黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量M=1.98 l1030kg，求它的可能最大半径 (2)在目前天文观测范围内，物质的平均密度为，如果认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c，因此任何物体都不能脱离宇宙。问宇宙半径至少多大? 分析 从题目中给出的信息挖掘隐合条件，找到解本题的突破口：类比地球上的选逸速度公式，黑洞和宇宙的逃逸速度均可用统一公式计算，再根据黑洞和宇宙的逃逸速度等于、大于光速进行估算解(

21、1)由题目所提供的信息可知，任何天体均存在其所对应的逃逸速度，其中M、R为天体的质量和半径对于黑洞模型来说，其逃逸速度大于真空中的光速，即v2c，所以， 即质量为1.981030kg的黑洞的最大半径为2.93km(2)把宇宙视为一普通天体，则其质量为 其中R为宇宙的半径，为宇宙的密度，则宇宙所对应的逃逸速度为 由于宇宙密度使得其逃逸速度大于光速c，即v2c 则由式可得光年，即宇宙的半径至少为光年。 说明：本题是由信息给予挖掘隐含条件，再结合_所学学知识进行估算的问题，实际上由于估算题目给出的已知条件很少或者根本不给已知条件，因而题目中的隐含条件的挖掘成了解题的关键。题目中的隐含条件要从题目的信

22、息中寻求，或者从与此题目相关联的知识中寻求，或者从耳常生活的常识中寻求【例题2】地球赤道上有一物体随地球一起目转做圆周运明，所受向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度可忽略)所受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2角速度为2地球同步卫星所受的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3角速度为3；地球表面重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则（ ）【例题3】两颗靠得较近的天体称为双星宇宙中有某一对双星，质量分别为m1、m2，它们以两者连线上某点为圆心，各自做匀速圆周运动，已知两双星间距离为L如图48所示，不考

23、虑其他星球对它们的影响求：两颗星体的轨道半径和运动的周期分别为多少?解析 双星绕连线上的同一圆心做匀速圆周运动，它们所需的向心力由彼此间的万有引力提供设双星运转的轨道半径分别为r1、r2由于双星间距离不变(始终为L)，所以运动时二者与圆心始终在一条直线上，因而它们在空间的旋转方向相同，且绕行的角速度和周期T一定相等应用万有引力定律、牛顿定律、圆周运动的规律及几何关系不难得出正确答案【例题4】 一艘宇宙飞船飞近某一新发现的行星，并进入靠近该行星表面的圆形轨道绕行数圈后，着陆于该行星上，宇宙飞船上备有如下器材A精确秒表一只 B质量为m的物体一个 C弹簧秤一个 D天平一台(附砝码)已知宇宙员在绕行及

24、着陆后各作了一次测量，依据测量的数据，可求得该行星的质量M和半径R(已知万有引力常量为G) (1)两次测量所选用的仪器分别为 _、 _、_(用仪器的字母序号表示)(2)两次测量的数据，物理量分别是_、_(3)用测量的数据，求得星球的质量M= _，该星球的半径R _解析 宇宙飞船绕行星表面飞行时，万有引力提供做圆周运动的向心力行星表面物体的重力等于万有引力，需测定旋转的周期和某物体重力(1)飞船在行星表面飞行时，用秒表测出飞船运行的周期T，着陆后，用弹簧秤称量质量为m物体的重力F所用仪器为：A、B、C(2)两次需测量的物理量为：绕表面旋转的周期T；着陆后，物体的重力F(3)绕行星旋转时，万有引力

25、提供做圆周运动的向心力；【例题5】 已知以下信息： a本题中的已知量为：地球半径为R，地球表面的重力加速度为g； b如果以无穷远处为零势能面，则距地心为r，质量为m的物体势能为 (其中M为地球质量，G为引力常量) 利用上述信息解答以下问题： (1)某卫星质量为m，距地心距离为2R绕地球做匀速圆周运动，求其速率v0 ? (2)在(1)中所述卫星向后弹出质量为(7)m的物体后，围绕地球改做椭圆运动，已知弹射出的物体在原来轨道上做反方向的匀速圆周运动，求卫星弹射出物体后的瞬时速度v1？ (3)若上述卫星在远地点距地心距离为4R并且卫星沿椭圆轨道运动的机械能守恒，求卫星在远地点时的速度v2？ (4)试

26、推导出第二宇宙速度t，(挣脱地球的吸引，所具有的最小发射速度)的表达式 【例题6】假如一颗做匀速圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做匀速圆周运动，则( ) A根据公式可知，卫星运动的线速度将增大到原来的2倍 B根据公式可知，卫星所需的向心力将减小到原来的 c根据公式可知，地球提供的向心力将减小s到原来的 D根据上述B项和C项给出的公式，可知卫星运动的线速度将减小到原来的 分析 半径增大2倍，线速度也随之增大2倍的结论是在角速度不变的情况下才有的由可知当卫星的轨道半径增大时，其绕行的角速度将减小，所以不能得出卫星的线速度将随之增大的结论由可得卫星的线速度，由此式可知，当卫星的轨

27、道半，可径增大2倍时，卫星的线速度将减小，变为原来的所以选项A是错误的，选项D是正确的 由于在卫星半径变化的同时，卫星的线速度也发生了变化，所以不能直接由得出向心力减小到原来的12这一结论因是地球对卫星的万有引力提供了卫星所需的向心力，所以由来判断向心力的变化比较方便，由此式可知向心力将减小到原来的14B选项错误C选项正确所以本题的正确选项是CD 【例题7】地核的体积约为整个地球体积的16，地核的质量约为地球质量的34经估算，地核的平均密度为_(结果取两位有效数字，引力常量，地球半径) 剖析：题目中将地核的体积和质量分别与地球的体积和质量联系起来，本身就对解题思路作了明显的提示，即应先求地球的

28、密度再求地核的密度由于是估算，可以利用地球表面的重力加速度与地球质量、半径的关系进而确定地球的密度【例题8】一火箭内的实验平台上放有测试仪器，火箭启动后以加速度g2竖直加速上升，达到某高度时，测试仪器对平台的压力减为启动前的1718求此时火箭距地面的高度(取地球半径) 剖析：在分析物体受力时，要根据具体情况来确定万有引力的影响本题中，物体所受的万有引力和平台对其支持力的合力是改变物体运动状态的原因，研究方法与动力学分析问题的方法相同 分析仪器受力情况：启动前，仪器是在地面处，所受地球引力亦即重力，此时仪器处于平衡状态，则有【例题9】2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经9

29、8的经线在同一平面内若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98和北纬，已知地球半径R、地球白转周期T、地球表面重力加速度g(视为常量)和光速c试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间(要求用题给的已知量的符号表示) 剖析：由于微波在大气层中是以光速传播的，所以若能求得从同步卫星到嘉峪关的距离L，则由运动学知识就能得到从该同步卫星发出的微波信号传到位于嘉峪关的接收站所需的时间 怎么求这个距离L呢?首先应知道同步卫星是位于赤道上空的，其次应注意到题中说明，该同步卫星的定点位置是与东经98的经度线在同一平面内，而且嘉峪关位于东经98、北纬40，如图431所示这说明该同步卫星P、

30、嘉峪关Q和地心O在同一个平面内，构成一个三角形，且角度就是嘉峪关的纬度角，嘉峪关Q到地心O的距离QO就是地球半径R，卫星P到地心O的距离PO就是该卫星的轨道半径r这样由余弦定理就得到 地球同步卫星绕地球运动的周期应该等于地球的自转周期T若以m、M分别表示该卫星、地球的质量，则由万有引力定律和牛顿第二定律得到 由于G、M不是题中的已知量，所以应采用已知量来作代换由在地面附近质量为m的物体受到的重力mg就是该物体受到的地球作用于它的万有引力，则有 得 (解答万有引力问题时经常用到此代换式，一定要熟练掌握哟!) 由式得 【例题10】 天文学家根据天文观测宣布了下列研究成果：银河系中心 可能存在一个大“黑洞”，距“黑洞”6.01012m远的星体2.0106 ms的速度绕其旋转；接近“黑洞”的所有物质即使速度达到光速也会被“黑洞”吸入已知万有引力常数G6.67X10-11Nm2kg2，求： (1)该“黑洞”的质量； (2)该“黑洞”的最大半径 【例题11】中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大现有一中子星，观测到它的自转周期为T问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解计算时星体可视为均匀球体(引力常数G6.67X10-11Nm2kg2）【例题12】密封舱在离月球表面112 km的空中沿圆形轨道运动，周期是120.5 m