线段射线直线与比较线段的长短

1、第四章 第12节 线段、射线、直线与比较线段的长短一、知识脉络图二、知识点拨1. 线段的认识（1）线段的意义：是直的，长度有限的；有两个端点，能度量，能比较大小。（2）线段的基本性质：两点之间的所有连线中，线段（line segment）最短。（3）线段的表示法： 如图所示，用线段AB或线段BA表示，其中A与B分别表示这条线段的两个端点（又称线段的端点），这种表示法说明线段的两个端点的“地位”是平等的，与字母的排列顺序无关；线段AB可以记作a，即线段可以用一个小写字母来表示，它也可以表示为b或其他小写字母。（4）两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离（distance）。（5）关于两点之间的

2、距离需要注意：距离是指线段的长度，是一个数值，而不是线段本身；线段的长度可用刻度尺度量，也可以借助圆规来度量；两点之间即使看不到线段，也存在距离。两点间的距离是连结两点的线段的长度，两点间距离的概念描述的是数量，而不是图形。同时根据性质“在连结两点的所有线中，线段最短”可知，两点间距离具有“最短”的特性。2. 射线的认识（1）射线的意义：把线段向一方无限延伸所形成的图形就是射线，射线只能向一方无限延伸，不可度量，不能比较大小，只有一个端点。（2）射线的表示法：如图所示，图中的射线只能表示为射线OP，而不能表示为射线PO。因为射线只有一个端点，如该射线的端点是O，点P只是射线上的某一点，点P向左

3、或向右移一些，并不改变射线本身，所以表示射线的两个大写字母是有排列顺序的，端点写在前，射线上的另外一点写在后面，请同学们务必记住这一点。射线只有一种表示法。（3）说明两条射线是同一条射线，必须具备两个条件，即端点相同和延伸方向相同。易错纠正：射线是向一方无限延伸的，画射线OP时，要画出向P点的一方延伸的情况。3. 直线的认识（1）直线的意义：将线段向两端无限延伸就得到直线，直线可向两端无限延伸，不可度量，不能比较大小，无端点。（2）直线的表示法：如图所示，直线的表示法有两种：一是在直线上任意取两点，用表示这两点的大写字母表示这条直线，这两个字母没有顺序，即这两个字母的“地位”是平等的。二是用任

4、意一个小写字母来表示，但不要忘记在图中标出该字母。如上图中的直线可以表示为直线MN或直线NM，也可以表示为直线l。在表示线段、射线、直线时，都要在字母前注明“线段”“射线”“直线”，即先写出几何图形的名称，再写上字母。（3）理解“经过两点有一条直线，并且只有一条直线”这一结论时要注意：结论包含两层含义，一是说经过两点肯定有一条直线；二是说经过两点只有一条直线；直线的这一性质在现实生活中有着广泛应用。例如：要将一根细木条固定在墙上，只需要2枚钉子；工人要把许多电线杆排列在一条直线上，只要定出两根电线杆的位置（即两个点），就能定出一行电线杆所在直线的位置。易错纠正：直线是向两端无限延伸的，画直线时

5、，要画出向两端延伸的情况。知识点1：线段、射线、直线的表示例题 根据下列语句画出相应的图形：（1）点A在直线k上，且直线j经过点A。（2）直线a过点M，点N在直线a外，过点N的直线b与直线a相交于点P。（3）A、B、C三点依次在同一条直线上，点D在直线AB外，画出直线CD，射线BD，线段AD。思路导航：先弄清点与直线的位置关系，分清点、直线、射线、线段的表示方法，再动手按要求画图，图形只要符合语句就可以，不必拘泥于特定的形式。答案：如下图：（1）（2）（3）点评：画图时一定要亲自动手，这有助于培养图感及提高动手能力。知识点2：线段、射线、直线的性质例题1 （1）建筑工人在砌墙时，常先在两端墙角

6、各定一个标志杆，在两个标志杆之间拉紧一根线，沿着线就能砌出直墙，其中的道理是 。（2） 河道裁弯取直工程，可以减少泥沙淤积，使河道通畅，还可以缩短流程，其中的几何道理是什么？ 思路导航：（1）两个标志杆与细线连接处是两个点，两点确定一条直线。（2）两点之间线段最短。答案：（1）线与标志杆连接处是一个点，这样线的两端就是两个点，拉紧线就可成一条线段（直线的一部分），其中的道理就是：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。（2）在连结两点的所有线中，线段最短的，两点间距离又具有“最短”的特性。点评：本题是用所学的数学知识解释生活中的现象，这类题型在今后的考查中还会经常遇到。例题2 已知平面上的4个点

7、A、B、C、D，过其中两个点画直线可以画出几条？（1） （2） （3）思路导航：因为条件中没有说明给出的4个点是否在同一直线上，所以应分情况讨论。答案：（1）当A、B、C、D 4个点在同一直线上时，可以画出一条直线，如图（1）。（2）当A、B、C、D 4个点中有3个点在同一直线上时，可以画出四条直线，如图（2）。（3）当A、B、C、D 4个点中任意3个点都不在同一直线上时，可以画出六条直线，如图（3）。点评：如图（3）所示可以看出，对于任意三点都不共线的四个点A、 B、 C、 D，过其中任何一点都有三条直线经过，4×312（条）；但是，因为直线AB与BA， AC与CA， AD与DA分

8、别是指同一条直线，故每条直线都重复一次，所以，实际能画出的直线共有4×3÷26（条），上面所述的内容可以推广，即如果平面上有n个点，其中任何三个点都不在同一直线上，那么，过这n个点，一共可以画出（n为正整数）条直线知识点3：线段大小的比较如图所示，比较线段AB与AC、 AD与AE、 AD与AC的大小。思路导航：比较两条线段的大小，有两种方法：一种是利用刻度尺分别量出两条线段的长度， 再根据长度的大小来确定两条线段的大小；另一种是利用直尺和圆规把两条线段放在同一直线上，使两条线段的其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点的同侧，根据另一个端点与重合端点的距离的大小来确定两条线

9、段的大小。答案：方法一：用刻度尺量得各线段的长度，比较得：ABAC， ADAE， ADAC。方法二：用圆规截取后比较可得：ABAC， ADAE， ADAC。点评：这两种方法是比较两条线段大小最基本的方法，应掌握这两种基本方法。知识点4：本讲例题1 判断题：（1）两点之间线段最短；（2）画出A、B两点之间的距离；（3）连接两点的直线的长度叫做两点间的距离；（4）连接两点的线段的长度叫做两点间的距离；（5）若ACBC，则点C是线段AB的中点。思路导航：根据两点之间的连线中，线段最短及两点间的距离的概念解答。答案：（1）正确，实际是指在两点之间的连线中，线段最短；（2）错误，两点之间的距离是指两点之

10、间线段的长度，长度是一个数值，是画不出来的，能画出来的是两点之间的线段；（3）错误，直线是向两段无限延伸的，没有长度；（4）正确；（5）错误，线段的中点必须在线段上，而题目中并没有给出点C在线段AB上的信息，即点C可能在线段AB上，也有可能在线段AB外。点评：对概念理解透彻是正确解题的前提。例题2 如图所示，在射线AM上，依次截取ABBCCDDEEF，则下列说法中错误的是（ ）A. 点B是线段AC的中点 B. ACDFC. BF2AC D. 点C是线段AF的中点思路导航：若把每一小段看成一个单位，则ABBC1，B点是线段AC的中点是正确的；AC2，DF2，所以ACDF是正确的；BF4，AC2，

11、所以BF2AC是正确的；AC2，FC3，AC与FC不相等，所以点C是线段AF的中点是错误的，因此本题选D。答案：D点评：通过本题加深对线段中点概念的双重性的理解；应记住把每一小段看成一个单位长度的方法。例题3 在一条直线型流水线上，在A1、A2、A3、A4、A5处依次有5个机器人在工作（如图），现欲设一个零件供应点，问应设于何处，可使5个机器人与供应点距离的总和最小。思路导航：先求和，再作比较。答案：5个机器人在工作的情况下，供应点设在A3处最合适，这时总距离为A1A5A2A4。如果不设于A3，而设于P点，则总距离为A1A5A2A4A3PA1A5A2A4。所以应设于A3处。点评：（1）由于供应

12、点设在A处的距离总和为A1524，设在点P处的距离总和为A1A5A2A4A3，这比前者大出A3的距离，当A3时两者相等，即A3与P重合；（2）取其他位置为供应点，得到的距离总和同样大于A15A24。A. B. C. D. 思路导航：线段的性质：两点之间线段最短。根据题意，认真分析题干，进而用数学知识解释生活中的现象。答案：现象可以用“两点可以确定一条直线”来解释；现象可以用“两点之间，线段最短”来解释。故选D。（答题时间：60分钟）一、选择题1. 如图，已知线段AB10cm，点C是AB上任意一点，点M、N分别是AC和CB的中点，则MN的长度为（ ） A. 6cmB. 5 cmC. 4 cm D

13、. 3 cm2. 下列说法中，正确的有（1）过两点有且只有一条线段 （2）连结两点的线段叫做两点间的距离 （3）两点之间，线段最短 （4）ABBC，则点B是线段AC的中点（5）射线比直线短A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个3. 如图，点C在线段AB上，D是AC的中点，E是BC的中点，若ED6，则AB的长为（ ）A. 6 B. 8C. 12 D. 164. 下列说法中，延长直线AB到C；延长射线OC到D；反向延长射线OC到D；延长线段AB到C。正确的是 （ ）A. B. C. D. 5. 下列语句正确的是（ ）A. 画直线AB10厘米B. 画直线l的垂直平分线C. 画射线OB3厘米D

14、. 延长线段AB到点C，使得BCAB6. 经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是（ ）A. 一条或三条 B. 三条 C. 两条 D. 一条7. 下列说法正确的是（ ）A. 射线比直线短 B. 两点确定一条直线 C. 经过三点只能作一条直线 D. 两点间的长度叫两点间的距离8. 要在墙上固定一根木条，小明说只需要两枚钉子，这其中用到的数学道理是（ ）A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 线段只有一个中点 D. 两条直线相交，只有一个交点9. 如图所示，从A地到达B地，最短的路线是（ ）A. ACEB B. AFEB C. ADEB D. ACGEB二、填空题 1. 如图，点

15、C、D是线段AB上的两点，若AC4，CD5，DB3，则图中所有线段的和是_。2. 已知点C是线段AB的中点，AB的长度为10cm，则AC的长度为_cm。3. 已知A、B、C是直线上的三个点，则下图中有_条线段，有_条射线，有_条直线。4. 延长线段MN到P，使NPMN，则N是线段MP的_点，MN_MP，MP_NP5. 如图，C、D是线段AB上的两个点，CD8cm，M是AC的中点，N是DB的中点，MN12cm，那么线段AB的长等于_cm 6. 在同一平面内但不在同一直线上的3个点，过任意个点作一条直线，则可作直线的条数为_条。三、解答题1. 已知C为线段AB的中点，D是线段AC的中点（1）画出相

16、应的图形，并求出图中线段的条数；（2）若图中所有线段的长度和为26，求线段AC的长度。2. 如图，线段AB8cm，C是线段AB上一点，AC3.2cm，M是AB的中点，N是AC的中点，求线段MN的长。3. 知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面。下面请你就两个情景作出评判。情景一：从教学楼到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题。情景二：A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由：你赞同以上哪种做法？你认为应用数学知识为人类

17、服务时应注意什么？5. 周角、平角、直角之间存在以下关系：1周角2平角4直角360º（四）角的度量及其换算角的大小可以通过叠合、度量法来比较，用角的度量单位度、分、秒来表示，它们之间的换算关系是60进位制的：1º60'，1'60"（五）角的平分线（六）角的特殊关系（七）注意事项只与开口的大小有关2. 在表示角时，前面必须加上角的符号“”3. 角的平分线有着重要的应用，既能正用，也能反用4. 并不是所有的角都有余角、补角，同角的余角比补角小90°四. 典例剖析，能用AOB、O、1三种方法表示同一个角的图形是（ ）析解：O是用一个单独的大写字

18、母表示角，它只能表示独立的一个角，而A、B、C中以O为顶点的角不止一个，所以选项A、B、C均不正确，而在选项D中，显然O与1、AOB表示同一个角，故选D图12中有几个角？是哪几个角？分析：由一点引n条射线所组成的角的个数共有个，此题从O出发有4条射线，n4，此时解：图中有6个角，分别为AOB、AOC、AOD、BOC、BOD、COD例3. 计算：（1）32°1916°5316 ； （2）180°126°4312；分析：进行加法运算时，先算秒，再算分，最后算度， 够60时，把60化为1，够60时，把60化为 1°进行减法运算时，不够减，借1

19、6;化为60 解：（1）1953721°12，所以32°1916°531649°1216 （2）180°126°4312179°5960126°431253°1648如图13，用不同颜色的马赛克片覆盖一个圆形的台面，估计15°圆心角的扇形部分大约需要34片马赛克片，已知每箱装有125片马赛克片，那么应该购买约（ ）马赛克片才能铺满整个台面析解：本题是一道设计新颖的试题，根据题目的已知，要计算大约需要多少马赛克片，则要计算出圆形中有几个15°角的扇形因为圆周角是360°，所以用

20、360°除以15°即可解决问题 360°÷15°24，24×34÷1256.528所以大约用6箱多，所以选B如图14，在一张某地区的地图上，原标有学校、公园和广场三个位置，由于被墨水污染，广场的具体位置已看不清了根据记忆，广场位置在学校的北偏东60°的方向，在公园的北偏西45°的方向根据上述信息，请找出广场的具体位置分析：本题是一道和方向角有关的题目根据题意，可知广场在学校的北偏东60°的方向画图时，应以学校所在地为测点，在此处画出上北下南，左西右东的方向，以正北方向的射线为始边，顺时针旋转60

21、°，则广场的位置就在这条射线上，同理，在公园的位置作一条北偏西45°的射线，这两条射线的交点，即为广场的位置解：所画的图形如图15所示. 分析：解：（2008，）已知，则的余角的度数是（ ）A. B. C. D. 析解：的余角应等于答案选A如图16，要把一个角钢（1）弯成120°的钢架（2），则在角钢（1）上截去的缺口是_度析解：图（1）中的角钢可以看作一个平角，截去缺口后的图（2）中的角变成120°，缩小的度数就是截去的缺口的度数180°120°60°析解：（2008，福州市）如图18，已知直线相交于点，平分，则的度数是（

22、 ）A. B. C. D. 析解：由平分，可得，由与是对顶角，可得答案选C如图19，已知，求的度数分析：我们可以利用来巧设未知数设，则11x解：设，那么因为，所以因为，所以解得，所以 如图20中，OB是AOC的平分线，OD是COE的平分线已知AOE128°，求BOD的度数 分析：将BOD的度数转化为求的和，而的度数是无法求出来的，可利用角的平分线定义再将分别转化为和，而AOC和EOC恰好组成AOE解：因为OB、OD是AOC、COE的平分线，所以，1. 如在求角的度数时，将未知的角的度数转化为已知的角的度数2 .遇到计算角的问题，仅仅从角的和差倍分关系出发，有时很难奏效，若利用设未知数

23、后构造方程的方法，则往往可化难为易3. 当题目所给条件不明确时，根据条件呈现的所有情况进行分类，可以达到解题的目的这在解决角的计算问题时经常碰到4. 在思想过程中确定研究对象的相同点和不同点如在学习“互补”以后，可与“互余”这个概念相比较学习；在角的运算中，公共角在不同情况下的使用，我们也可以来进行一个比较与归纳，这对同学们的学习应当都是有很多好处的5. 要重视解题后的研究和探索：要对例题、习题提出新问题，探索新题目，从不同角度观察、分析问题，拓宽思维，完善解题方法，培养能力，收到举一反三、事半功倍之效【模拟试题】（答题时间：90分钟）一、细心选一选（每题2分，共20分）1. 下列说法正确的是

24、（ ）A. 平角就是一条直线 B. 平角的两条边在同一条直线上C. 周角就是一条射线 D. 周角的终边与始边重合，所以周角的度数是0°2. 一条射线绕它的端点旋转一周的过程中，你可能得到所学过的角有（ ） A. 6种 B. 5种 C. 4种 D. 3种 3. 如图1，从点O出发的5条射线，可以组成的角的个数是（ ）A. 4 B. 6 C. 8 D. 104. 如图2射线OA表示的方向是（ ） A. 西南方向 B. 东南方向 C. 西偏南10° D. 南偏西10°5. 如图3，已知AOCBOD78°，BOC35°，则AOD的度数是（ ） A. 8

25、6° B. 156° C. 121° D. 113°6. 已知AOC135°，OB为AOC内部的一条射线，且BOC90°，以OB为一条边，以OA为角平分线的角的另一边是（ ）A. BOC的平分线 B. 射线OC C. 射线OC的反向延长线 D. 射线OC的延长线7. ° 8.9. °、°°°、°°°°°°°10. 如果n，且有余角也有补角，则有（ ） A. B. C. D. 二、仔细填一填：（每题2分，共20分）11.12. 如图4所示，OM平分AOB，ON平分BOC，已知AOBBOC，那么可以确定AOM _CON（填“”、“”或“”13. 如图4所示，OM平分AOB，ON平分BOC，已知AOC100°，那么，MON_度14. 现在时间是9点20分，此时钟面上的时针与分针的夹角是_度15. 如图5，直线AB、CD相交于O，COE是直角，157°，则2_度16. 如图6，OB平分AOC，OC平分BOD，且BOC20°，则AOD 度AOB45°，BOC30°，则AOC_度18.