平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)

1、平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图,如果1l 2l 3l ,则BC EF AC DF =,AB DE AC DF =,AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论:如图,在三角形中,如果DE BC ,则AD AE DEAB AC BC=ABCDEEDC B A3. 平行的判定定理:如上图,如果有BCDEAC AE AB AD =,那么DE BC 。 专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】 如图,DE BC ,且DB AE =,若510AB AC =,求AE 的长。EDCBA【例

2、2】 如图,已知/AB EF CD ,若AB a =,CD b =,EF c =,求证:111cab=+.FE DCBA【巩固】如图,AB BD ,CD BD ,垂足分别为B 、D ,AC 和BD 相交于点E ,EF BD ,垂足为F .证明:111AB CD EF+=. FEDCBA【巩固】如图,找出ABD S 、BED S 、BCD S 之间的关系,并证明你的结论.FE DCBA【例3】 如图,在梯形ABCD 中,AB CD , 129AB CD =,过对角线交点O 作EF CD 交AD BC ,于E F ,求EF 的长。OFED CBA【巩固】(上海市数学竞赛题如图,在梯形ABCD 中,

3、AD BC ,AD a BC b E F =,分别是AD BC ,的中点,AF 交BE 于P ,CE 交DF 于Q ,求PQ 的长。QPFED CBA专题二、定理及推论与中点有关的问题【例4】(2007年北师大附中期末试题 (1如图(1,在ABC 中,M 是AC 的中点,E 是AB 上一点,且14AE AB =, 连接EM 并延长,交BC 的延长线于D ,则BCCD=_. (2如图(2,已知ABC 中,:1:3AE EB =,:2:1BD DC =,AD 与CE 相交于F ,则EF AFFC FD+ 的值为( A.52B.1C.32D.2(1MEDC BA(2F ED CBA【例5】 (200

4、1年河北省中考试题如图,在ABC 中,D 为BC 边的中点,E 为AC边上的任意一点,BE 交AD 于点O .(1当1A 2AE C =时,求AOAD的值;(2当11A 34AE C =、时,求AOAD的值; (3试猜想1A 1AE C n =+时AOAD的值,并证明你的猜想.【例6】 (2003年湖北恩施中考题如图,AD 是ABC 的中线,点E 在AD 上,F 是BE 延长线与AC 的交点.(1如果E 是AD 的中点,求证:12AF FC =; (2由(1知,当E 是AD 中点时,12AF AEFC ED=成立,若E 是AD 上任意一点(E 与A 、D 不重合,上述结论是否仍然成立,若成立请

5、写出证明,若不成立,请说明理由.F E DA【巩固】(天津市竞赛题如图,已知ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是ADED CAO上的一点,且BE AC =,延长BE 交AC 于F 。求证:AF EF =。FEDCBA【例7】 (宁德市中考题如图,ABC 中,D 为BC 边的中点,延长AD 至E , 延长AB 交CE 的延长线于P 。若2AD DE =,求证:3AP AB =。PEDCBA【巩固】(济南市中考题;安徽省中考题如图, ABC 中,BC a =,若11D E ,分 别是AB AC ,的中点,则1112D E a =;若22D E 、分别是11D B E C 、的中点,则221

6、3224a D E a a =+= ; 若33D E 、分别是22D B E C 、的中点,则33137248D E a a a =+= ;若n n D E 、分别是-1-1n n D B E C 、的中点,则n n D E =_.专题三、利用平行线转化比例E n D n E 3D 3E 2D 2E 1D 1CBA【例8】 如图，在四边形 ABCD 中， AC 与 BD 相交于点 O ，直线 l 平行于 BD ，且 与 AB 、 DC 、 BC 、 AD 及 AC 的延长线分别相交于点 M 、 N 、 R 、 S 和 P . 求证： PM × PN = PR × PS A

7、B D l R S O C N P M 【巩固】已知，如图，四边形 ABCD ，两组对边延长后交于 E 、 F ，对角线 BDEF ， AC 的延长线交 EF 于 G 求证： EG = GF A B C E D G F 【例9】 已知： P 为 DABC 的中位线 MN 上任意一点， BP 、 CP 的延长线分别交对 边 AC 、 AB 于 D 、 E ，求证： AD AE + =1 DC EB A E M P B D N C 【例10】 在 DABC 中，底边 BC 上的两点 E 、 F 把 BC 三等分， BM 是 AC 上的中 线， AE 、 AF 分别交 BM 于 G 、 H 两点，求

8、证： BG : GH : HM = 5 : 3 : 2 6 A M G B E H F C 【例11】 如图， M 、 N 为 DABC 边 BC 上的两点，且满足 BM = MN = NC ，一条 平行于 AC 的直线分别交 AB 、 AM 和 AN 的延长线于点 D 、 E 和 F . 求证： EF = 3DE . A D E B M F N C 【例12】 已知：如图，在梯形 ABCD 中， AB / / CD ， M 是 AB 的中点，分别连 接 AC 、 BD 、 MD 、 MC ，且 AC 与 MD 交于点 E ， DB 与 MC 交于 F . （1）求证： EF / / CD （

9、2）若 AB = a , CD = b ，求 EF 的长. A E M F B D C 【巩固】 （山东省初中数学竞赛题）如图，在梯形 ABCD 中， AD BC ， AD = 3 ，BC = 9 ，AB = 6 , CD = 4 ，若 EF BC ，且梯形 AEFD 与梯形 EBCF 的周长相 等，求 EF 的长。 7 A D E B F C 【例13】 （山东省竞赛题）如图， ABCD 的对角线相交于点 O ，在 AB 的延 长线上任取一点 E ，连接 OE 交 BC 于点 F ，若 AB = a ，AD = c ，BE = b ,求 BF 的值。 D O F A B E C 【例14】 已知等腰直角 DABC 中， E 、 D 分别为直角边 BC 、 AC 上的点，且 CE = CD ，过 E 、 D 分别作 AE 的垂线，交斜边 AB 于 L ， K 求证： BL = LK C E D B L K A 家庭作业 【习题1】 如已知 DE AB ， OA2 = OC × OE ，求证： AD BC . 8 C D O A B E 【习题2】 在 DABC 中， BD = CE ， DE 的延长线交 BC 的延长线于 P ，