岩体变形加固理论及非平衡态弹塑性力学

1、第24卷 第20期岩石力学与工程学报 V ol.24 No.202005年10月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering Oct .,2005收稿日期:20050614;修回日期:20050718基金项目:国家自然科学基金资助项目(50279016;国家重点基础研究发展规划(973项目(2002cb412708岩体变形加固理论及非平衡态弹塑性力学杨 强,薛利军,王仁坤,赵文光(清华大学 水利水电工程系,北京 100084摘要:完善了基于不平衡力的变形加固理论,建立起严格的理论基础。指出对于给定的外荷载,结构的工作区域可能是弹性区、稳定

2、弹塑性区或非稳定弹塑性区,结构在非稳定弹塑性区需要加固力维持稳定。经典弹塑性理论只适用于弹性区和稳定弹塑性区,变形加固理论的理论基础是非平衡态弹塑性力学,它是经典弹塑性理论的增量延拓,适用于非稳定弹塑性区。结构在非稳定弹塑性区服从最小塑性余能原理,该原理要求在给定外荷载的情况下,结构自承力最大化而加固力最小化,该理论为新奥法施工技术提供了严格的理论依据。指出潘家铮最大最小原理就是最小塑性余能原理在结构极限状态的特例和推论。最后给出了变形加固理论在溪洛渡高拱坝建基面优化设计上的应用。关键词:岩石力学;不平衡力;弹塑性;加固力;最小余能原理中图分类号:TU 45 文献标识码:A 文章编号:1000

3、6915(200520370409REINFORCEMENT THEORY CONSIDERING DEFORMATION MECHANISM OF ROCK MASS AND NON-EQULIBRIEMELASTO-PLASTIC MECHANICSYANG Qiang ,XUE Li-jun ,WANG Ren-kun ,ZHAO Wen-guang(Department of Hydraulic and Hydropower Engineering ,Tsinghua University ,Beijing 100084,China Abstract :The reinforcemen

4、t theory considering deformation mechanism of rock mass is proposed and authors. The main ingredient of the theory is that the unbalanced forces of a deformable body in elasto-plastic elaborated. calculation are just the required reinforcement forces ,and the elasto-plastic calculation always tends

5、to minimize the unbalanced forces. It is revealed that the reinforcement theory is based on the so-called non-equilibrium elasto-plastic mechanics ,which leads to the minimum plastic complementary energy principle for the corresponding unstable structures. Case study on an arch dam shows that the di

6、stribution of unbalanced force is helpful to evaluate the structural stability and reinforcement.Key words :rock mechanics ;unbalanced force ;elasto-plasticity ;reinforcement ;minimum complementary energy principle1 引 言岩土工程设计中加固分析经常采用的刚体极限平衡法是一种成熟的算法,有明确的设计规范和配套的安全系数,对一给定的结构和安全系数,所需加固力是一定的。但刚体极限平衡法针

7、对的是结构濒临破坏的一个状态,实际上结构破坏是一个渐近破坏过程,不同的变形状态需要不同的加固力以维持稳定。如新奥法施工中,不同的洞室变形状态需第24卷第20期杨强等. 岩体变形加固理论及非平衡态弹塑性力学 3705 要的加固措施是不一样的,挡土墙压力也可说明这一问题。挡土墙压力可视为对土体的加固力,众所周知,主动土压力、被动土压力、静止土压力相差甚远,这种差异就来自变形状态的不同。加固设计的着眼点也是不一样的,除了一般考虑的稳定控制(施加最小加固力即可外,还包括塑性区控制、变形控制、开裂控制等要求,例如变形控制是三峡船闸高边坡加固设计的一个主要着眼点1。加固措施的数值模拟是岩土结构分析中的一个

8、难点,其中一个普遍存在的问题是过低估计了加固效果。文24提出了变形加固理论,指出了弹塑性有限元计算中的不平衡力的分布演化规律和加固力密切相关。弹塑性有限元分析的核心是将材料本构关系线性化,由此导致的误差反映在有限元结点水平上,就是外荷载的等效结点力和结构内力的等效结点力之间存在差值,即不平衡力。弹塑性有限元分析迭代过程实质上就是一个逐步消除不平衡力的过程,可以采用弹塑性分析中的不平衡力来指导加固设计:只要施加和不平衡力大小相等、方向相反的加固力,结构就是平衡、稳定的。在所有加固方案里,弹塑性分析确定的加固力是最小的。本文将进一步完善上述变形加固理论的理论基础。经典弹塑性力学的基本要求是应力只能

9、在屈服面以内或屈服面之上,材料在屈服面以外的力学行为是没有定义的,这意味着经典弹塑性理论只能处理稳定结构。结构需要加固力维持稳定,说明结构部分区域应力已超出屈服面。一般说来对于给定的外荷载,结构的工作区域可能是弹性区、稳定弹塑性区和非稳定弹塑性区。弹性区和稳定弹塑性区可由经典弹塑性力学处理,变形加固理论处理的是非稳定弹塑性区。本文首次提出变形加固理论的基础是非平衡态弹塑性力学,它是经典弹塑性力学的增量延拓,其理论核心是最小塑性余能密度原理,在结构上反映为最小塑性余能原理。变形加固理论最早是从弹塑性有限元分析中的收敛性研究提出的。本文因循这个思路,首先在弹塑性有限元计算的框架下提出这一理论并引出

10、最小塑性余能原理,随后给出一般意义上的论证,并建立了非平衡态弹塑性力学的本构关系和原则,最后给出了一个应用实例。2 变形加固理论的提出工程结构弹塑性有限元计算表现为一系列逼近真解的迭代过程。考察某一典型的迭代步,设某一高斯点在该迭代步的初始应力为且有(0f0,当前应力为1,如图1所示。应力场0,1都应满足平衡条件,即该应力场在结构内处处满足平衡微分方程,在边界上满足力的边界条件,在有限元分析中表示为FBB=VVeedd1TT(1 式中:F为外荷载向量,e表示对结构所有单元求和。如图1所示,在迭代过程中,一般总有部分高斯点应力超出屈服面,需要将其拉回屈服面,调整后的应力场要求满足屈服条件,即对所

11、有高斯点均要求:(f0 (2 图1 弹塑性应力调整示意图Fig.1 Sketch map of elasto plastic stress adjustment应力调整量也就是塑性应力增量=1p。显然对某一高斯点而言,如果0(1>f, 0p;如果(1f0,0p=。将+=1 p代入式(1得FQP=+(3其中,VedT=BP(4Ved pT=BQ(5 弹塑性计算目标(或收敛性目标是使不平衡力趋于0,即Q0。由式(2,(3可知,调整后的应力场既满足屈服条件也满足平衡条件。如果迭代不收敛,即Q0,表示结构不能承受外荷载F,结构是不稳定的。但是按照式(3,也可认为内力f ( 3706 岩石力学与工

12、程学报 2005年和Q F 相平衡,也就是说只要在结构上再施加一个外荷载Q ,结构就是稳定的,这个额外的外荷载Q 就是加固力。这就是以不平衡力作为加固力的基本思想。注意内力满足屈服条件,故应力场反映的是结构的自承应力,而P 为对应的自承结点力。所以,式(3可以理解为:结构自承力+加固力=外荷载。即在给定外荷载情况下,结构自承力和加固力是一个此消彼长的关系,需要一个原理确定结构自承力和加固力对外荷载的分担比例。在结构中p Q 分布为一个张量场,p Q 为一个向量场,不便于比较大小。可以定义一个标量的塑性余能范数V E ed 21p p =:C (6式中:C 为材料的四阶柔度张量,为结构位置的函数

13、,本文不考虑弹塑性耦合的情况,故认为各点的C 始终不变。由于C 的正定特性,E 的最小值只能为0;且如果0=E ,各点的p ,Q 必为0。对比式(4和(5,显然E 也是不平衡力或加固力的范数。经典弹塑性理论要求结构各点应力必须在屈服面之上或以内,即各点都要满足屈服条件,这意味着结构在外荷载作用下是稳定的。而本文讨论加固问题首先意味着结构在外荷载作用下是不稳定的,需要引入加固力以维持稳定。所以有必要对经典弹塑性理论进行延拓以容纳加固特点。受弹塑性迭代总是使范数不断减少的启发,本文提出一个最小塑性余能原理:对于给定的外荷载,在所有和其平衡的应力场中,结构真实应力场的塑性余能范数最小。以此而论,弹塑

14、性有限元计算的迭代过程就是E 的一个最小化过程。如果0min =E ,计算收敛,结构是稳定的,即最小塑性原理退化为经典弹塑性理论要求。一般说来,0min >E ,结构不是稳定的,需要加固力维持稳定,min E 就是所需加固力的范数,这部分内容是对经典弹塑性理论的延拓。需要说明的是,最小塑性余能原理在弹塑性计算中是得到充分体现的。因为对复杂的岩土结构一般计算很难完全收敛,一般均默认收敛范数小到一定程度时的解即为真解。这一命题的严格论证将在节5给出。最小塑性余能原理和文24中的应力转移的最小余能原理的含义是完全一致的,它们和弹性力学中的最小余能原理有些类似。弹塑性计算每一个迭代步的不平衡力都

15、相对于一个特定的变形状态的一组可行加固力。显然以塑性余能范数而论,min E 对应的加固力最小,这就是所谓的加固力上限原则24:在所有可行的加固方案中,真实解的加固力最小。换句话说,弹塑性计算就是一个寻求最小加固力的过程。最小塑性余能原理要求在结构自承能力不足时,结构会趋于一个最小加固力的状态(以塑性余能范数为测度,该状态也必然是结构自承力最大的状态,这就是新奥法施工中存在最优加固力的理论基础。趋于最小加固力的状态改变必然伴随塑性变形的发生发展,新奥法施工中为获得最优加固力的“适时支护”原则,其理论依据就在于此。结构趋于最小加固力状态的过程和弹塑性迭代过程一样可以视为加固力松驰过程。最小塑性余

16、能原理表明,结构首先将动员其自身的自承能力去抵抗外荷载,当外荷载达到极限承载力,结构的自承能力已发挥殆尽;继续增加外荷载,结构需要加固力才能维持稳定。当外荷载超过极限承载力时,自承能力和加固力可以有多种可能组合来共同分担外荷载,而真实结构将趋向于自承能力最大和加固力最小的组合。需要强调的是,结构进入非稳定弹塑性区后,加固力的增加和自承能力的提高不是11的关系;节5中将给出一个实例说明加固力的少许增加将诱发结构自承能力的大幅提高。其道理很简单:坝基、边坡、隧洞等大体积结构达到极限状态时,结构的很大区域仍为弹性区,其自承能力尚未充分发挥。变形加固理论的着眼点就是开发利用这部分弹性区的自承能力。适当

17、的加固可使塑性区范围加大,意味着有效抗力体范围加大,这实际上也是锚固的主要加固机理。3 经典弹塑性本构关系本文讨论关联的理想弹塑性材料,且不考虑弹塑性耦合。经典弹塑性力学的本构关系为率形式,即=+=p p e e pep e &&&&&&&&&&&&:D D D (7第24卷 第20期 杨 强等. 岩体变形加固理论及非平衡态弹塑性力学 3707 式中:1=C D 为弹性张量。弹塑性理论中正交流动法则为=f &&p (8 对理想弹塑性材料,要求(f 0。必须同时满足(f =0和一致性条

18、件0=f &,材料才处于加载状态。由一致性条件0=f&和式(8可推得加载时应满足的条件:0p=&&: (9 由Drucker 公设可以导出&&:p0,故仅由Drucker 公设无法确保式(9的成立,由此可见,理想弹塑性假定的意义。多支屈服面的情况下,对于某应力率&,如果过有n 个激活屈服面n f f f ,L 21,即01=f &,02=f &,L 0=n f&,正交流动法则应采用Koiter 形式:=ini i f 1p&& (10 显然,此时式(9依然成立。需要强调的是,若给定应力率&,

19、由上述本构关系无法唯一确定应变率&。逆本构关系则不然,即给定应变率&,由上述本构关系可唯一确定应力率&。若给定应变率&,正交流动法则式(8或(10可由下列最小化问题求得min 21=&&&&:C (11 本节内容更详细的诠释可参阅文5。4 非平衡态弹塑性本构关系非平衡态弹塑性力学处理应力状态处于屈服面以外的材料行为,其本构关系基本上就是上述经典弹塑性本构关系的增量化。只有增量化才能出现应力位于屈服面以外的情形,如图1所示,这和弹塑性数值方法的处理方法是一致的。不过弹塑性数值方法是作为弹塑性理论的近似方法,而在本文,这些增量关系作为

20、非平衡态弹塑性力学的本构关系,是作为事先给定的基本定义和出发点。式(7中的本构关系可精确地展开为增量形式,但正交流动法则式(8只能近似展开为增量形式:=fp (12 在本文确立的非平衡态弹塑性本构关系中,式(7的增量形式可直接作为本构关系的一部分,增量型正交流动法则式(12则不直接进入本构关系,取而代之的为最小塑性余能密度原理,该原理隐含了增量型正交流动法则。在非平衡态弹塑性力学里,本构关系的提法是给定应力增量0=确定应变增量=( 01:C ,如图1所示,该问题和经典弹塑性力学一样没有唯一解。逆本构关系是给定应变增量确定应力增量,有唯一解。注意初始应力0是给定的,这样本构关系的提法相当于给定确

21、定1,逆本构关系相当于给定1确定。注意确定的或给定的应力增量均需满足屈服条件,故对正、逆本构关系均要求(f 0和(0f 0。对于逆本构关系,若(1f 0,材料响应是弹性的,即1=,材料的加载条件为(1f >0。在加载条件下,由第一最小塑性余能密度原理确定:真实应力状态满足屈服条件且使塑性余能密度E 最小,即min 21p p =:C E (13式中:=1p 。如果在屈服面上,即(f =0,该极值问题对应于下述拉格朗日极值条件:f E +=,0(14 由此极值条件,并注意p p =:C ,即可导出增量型正交流动法则式(12。多支屈服面的情况下,如果1激活n 个屈服面n f f f ,L 2

22、1,即0(11>f ,0(12>f ,L 0(1>n f ,同时要求0(1=f ,0(2=f ,L 0(>n f ,从最小化问题式(13中即可导出Koiter形式的增量型正交流动法则:=ni iif 1p (15 最小化问题式(13意味着真实应力使E 取驻值,故有0p =:E (16该式可视为式(9的增量对偶,是关联流动和理想弹塑性的集中体现。对于本构关系提法,即(f 0时,给定确定1。如果(f <0,材料响应是弹性的,即=1;如果(f =0,材料有可能是加载的,加载问题没有唯一解,需要引入额外的限制条件。引入1的参考点01,该参考点可由结构分析给出。 3708

23、岩石力学与工程学报 2005年如果(f =0且0(01>f ,材料处于加载状态。本文定义(011f f >为逆屈服条件。注意1反映的不是应力状态,实质上反映的为应变增量=( 01:C 的一个参量,故逆屈服条件为对应变增量的限制。在加载条件下,1由第二最小塑性余能密度原理确定:真实的1满足逆屈服条件且使塑性余能密度最小。塑性余能密度仍由式(13确定。由该原理可知真实应力1使E 取驻值:01p 1=:E (17式中:和1分别表示关于和1的一阶变分。增量型正交流动法则式(12或(15同样可从该原理导出。第一和第二最小塑性余能密度原理可统称为最小塑性余能密度原理,如上所述,其实质为增量型正

24、交流动法则。增量型正交流动法则式(12为正交流动法则式(8的一阶近似。正是在这个意义上,非平衡态弹塑性力学可以看作是经典弹塑性力学在非稳定弹塑性区的一阶近似。最小塑性余能密度原理式(13可以认为是极值问题式(11的增量对偶。如上所述,该原理是所有重要关系的出发点,是非平衡态弹塑性力学最根本的理论基石。式(7的增量形式和最小塑性余能密度原理构成了非平衡态弹塑性力学的完备的本构关系。弹塑性理论和数值方法的根本区别就在于式(8和(12。在数值方法里,如采用为代表值确定/f ,称之为向前欧拉方法,如图1所示;如采用1为代表值,称之为Vermeer 方法;如采用为代表值,称之为最近点投影法6。由积分中值

25、定理可知,在和1之间存在一点使式(12精确成立。显然0=E 对应于最近点投影法,01=E 对应于Vermeer 方法。对于塑性余能密度E ,其几何意义为:取2/C 作为应力空间的度量张量,那么余能密度E 即为1,之间距离L 的平方:p p 21=:C E L (18如图1所示,对于一给定的应力点1,假设在屈服面上变动,那么1,之间的最短距离min L 即为应力点1到屈服面0=f 的距离,该距离可以认为是1偏离稳定的距离。在基于一级二次矩法的可靠度理论中,0=f 相当于结构极限状态方程,min L 相当于可靠度指标,而min L 对应的即为设计验算点。5 最小塑性余能原理的证明和讨论本节基于非平

26、衡态弹塑性本构关系讨论结构在非稳定弹塑性区的力学行为。考虑一个体积为V 的实体结构,其塑性余能范数为=VV E E d (19塑性余能密度E 由式(13确定,要求应力场1,分别满足平衡和屈服条件,注意(1f 0时,0=E 。最小塑性余能原理要求真实应力场1,使E 最小,故有下述变分条件:=0(0(0(0(2112>>E E E E (20其中,=V V V E E V E E d (d (11 (21 由式(19和(20可知,式(20中的一阶变分条件成立。注意到:=V V V E V E d (d (11212:C C (22由于C 的正定特性,式(20中的二阶变分条件成立。故最小

27、塑性余能原理是建立在非平衡态弹塑性本构关系基础上的。反过来,由于和1的任意性,最小塑性余能原理或式(20必然要求下式在结构内处处成立:=001E E (23 故非平衡态弹塑性本构关系为最小塑性余能原理成立的充分必要条件。由此可知,最小塑性余能原理确立的最小化过程可以保证1收敛到正确解上。第 24 卷 第 20 期 杨 强等. 岩体变形加固理论及非平衡态弹塑性力学 3709 在式(20中，关于 1 的变分中， 被视为常量； 关于 的变分中， 1 被视为常量。这和弹塑性数值 方法的分析策略是一致的：(1 对给定的一个满足 平衡条件的应力场 1 ，寻求一个满足屈服条件的应 力场 ；(2 在给定应力场

28、 的基础上，求取新的 应力场 1 。弹塑性计算是将不平衡力 Q 施加到结 构上，求得应力增量 ，以 + 作为新的 1 。 如前所述，非平衡态弹塑性力学可以看作是经 典弹塑性力学在非稳定弹塑性区的一阶近似。故在 此意义上最小塑性原理亦为一阶近似理论。但非平 衡态弹塑性本构关系和最小塑性余能原理是完全一 致的。 最小塑性余能原理适用于由关联的理想弹塑性 材料组成的结构。 岩土材料一般为非关联流动材料， 由 Radenkovic 第一定理 可知，在相同屈服条件下， 考虑非关联效应使结构极限承载力降低，换句话 说，考虑非关联效应将使加固力提高。 在本文的理论框架下，结构极限状态对应于 Emin = 0

29、 ，此时的外荷载即为结构的极限承载力， 7 化为潘家铮最大原理。 潘家铮最大最小原理为最小塑性余能原理在结 构极限状态上的特例和推论，反映的是结构在非稳 定塑性区自承力最大化以及加固力最小化的趋势和 要求。由此可知潘家铮最大最小原理适用条件同最 小塑性余能原理。文8，9的基于能量二阶变分的 工程稳定性判据，其重要前提也是关联流动。 最小塑性余能原理和极限分析的着眼点有所不 同。极限分析通过比例加载来搜索结构的极限承载 力；最小塑性余能原理则着眼于在给定荷载下，结 构是否稳定，如果不稳，需要施加多少加固力，显 然后者更适合岩体工程。在极限分析的下限分析中 通过不断调整静力容许应力场来搜索结构极限

30、承载 力，静力容许应力场要求同时满足平衡及屈服条件。 最小塑性余能原理将平衡及屈服条件分散到两个应 力场 1 ， 来分别实现，并调整这两个应力场使两 场距离 E 最小化来实现平衡及屈服条件的相交。 当然如果仅仅追求 Emin = 0 ，那么最小塑性余能原 理只是一个经典弹塑性理论的计算策略。最小塑性 余能原理首要理论创新是承认了 Emin 0 的可能 性并发掘出其物理意义，即 Emin 为结构偏离稳定 状态的距离，同时也是为维持稳定所需最小加固力 的测度。 远离平衡态的非平衡态热力学的重要学说包括 Prigogine 的耗散结构理论、协同论等。从热力学的 角度来说，最小塑性余能原理属非平衡态热

31、力学的 范畴，对应于近平衡态的最小熵增原理，在此意义 上本文将非稳定弹塑性区的弹塑性力学称之为非平 衡态弹塑性力学。在加固力作用下结构维持稳定相 当于热力学的恒定态(steday state，和在恒定水头 差、电压作用下的恒定渗流、电流属同一类热力学 现象，详见文1013。结构在弹性区服从最小弹 性余能原理。最小弹性余能原理和最小塑性余能原 理实质上都可归于最小扰动原则：在外荷载作用下， 真实应力场偏离参考态最小。对最小弹性余能原理， 参考态为恒定的 0 应力场；对最小塑性余能原理， 参考态为屈服条件。 而加固力为 0。工程界对结构在极限状态下的结构 行为有浓厚的兴趣，如潘家铮最大最小原理1：

32、(1 滑坡如能沿许多滑面滑动，则失稳时，它将沿抵抗 力最小的一个滑面破坏(最小值原理； 当滑坡体 (2 的滑面确定时，滑面上的反力(以及滑坡体内的内力 能自行调整，以发挥最大的抗滑能力(最大值原理。 结构极限状态即为稳定弹塑性区和非稳定弹塑性区 的交界面，其力学行为可以在稳定弹塑性区也可以 在非稳定弹塑性区开展研究。下面本文将在非稳定 弹塑性区对潘家铮原理给出说明。 对于一超过极限承载力的外荷载 F 来说，可以 构造无数多和其平衡的应力场，显然所有应力场都 无法全面满足屈服条件，故每个应力场都是一种破 坏模式，其塑性区构成了可行的破坏结构，并且需 要加固力才能维持稳定。对于每个和外荷载平衡的

33、应力场，加固力方案都不是唯一的，此处假设加固 力方案都是相对该应力场的最优方案。根据最小塑 性余能原理，在各种破坏机构中，真实的破坏机构 加固力最小。注意加固力就是破坏或失稳滑动的抵 抗力，所以可以说，真实的破坏机构抵抗力最小。 显然当外荷载 F 趋近极限承载力时，上述提法就退 化为潘家铮最小原理。如节 2 所述，结构自承力 + 加固力 = 外荷载， 最小塑性余能原理要求在外荷载 给定时，真实破坏机构的加固力最小而自承能力最 大。当外荷载 F 趋近极限承载力时，上述提法就退 6 基于 D-P 准则的转移应力解析解 笔者在文14，15中针对基于 D-P 准则的三维 理想弹塑性模型，提出了一种新的

34、有限元增量分析 方法，直接导出了符合正交流动法则的转移应力的 解析解，不用形成弹塑性增量矩阵。在三维有限元 3710 岩石力学与工程学报 2005 年 弹塑性增量分析里，D-P 准则由于简单实用，且和 当前地质方面所能提供参数相适应，一直是目前应 用很广的岩土材料屈服准则，其形式为 f = I1 + J 2 k 0 其材料参数为：E = 21 GPa， = 0.25， = 0.35，k = 2 MPa，由这些参数可知其单轴抗压强度为8.797 MPa。考虑一单轴应力状态 1 = 0，0，12，0，0， 0 ，单位为 MPa 。 = 11， 22， 33， 12， 23， T (24 其中， I

35、1 = 1 + 2 + 3 (25 1 2 2 2 J 2 = ( 1 2 + ( 2 3 + ( 3 1 6 31T ，由于该单轴应力超过了单轴强度，需要调整。 最直观的调整方案是将超出单轴抗压强度的单轴应 力转移掉，即： p = 0，0，4.203，0，0，0 ， T 其余能密度为：E = 4.206×10 p 4 MPa。而根据式(29 T 6 可得： = 0.597，0.597，0.152，0，0，0 ， 其余能密度只有 E = 4.852×10 MPa，两者相差 86.7 倍。该例子也说明，只要施加 0.6 MPa 的侧向 式中： 1 ， 2 ， 3 为主应力；

36、和 k 可通过拟合 莫尔库仑准则，由材料的内摩擦角 和粘聚力 c 确定。 如图 1 所示，设某一高斯点在某一迭代步初始 应力为 0 且满足 f ( 0 0。对该迭代步，由位移 法求得该点应变增量为 ，它对应于弹性试应力 1 1 = ij = 0 + D： ；若 f ( 1 0 ，则需调整应 压力，就可换取 4 MPa 单轴抗压强度的提高，最优 加固力的效率由此可见一斑。 文16研究说明，上述基于 D-P 准则的转移应 力解析解，从应力调整过程来说相当于线性预测 径向校正方法；从本构关系积分策略来说相当于最 近点投射法。最近点投射法具有一阶精度而且是无 条件稳定的，作为广义中点法的一个特例，最近

37、点 投射法能适应大的应变增量17。上述方法适合于极 限分析，在采用较大的荷载增量步时仍能保持较高 的数值稳定性和精度。同时文16建议了基于 D-P 准则的子增量法，其中确定子增量步数的公式兼 力到屈服面上。 若此迭代步中塑性应变增量为 p ， ( 则 调 整 后 的 应 力 为 = 0 + D： p = 1 D： p 。采用正交流动法则式 (12 并以 1 确定 f / 的代表值。则由下列条件 f = 1 D： = 1 f ( = 0 (26 容了 Schreyer 等人的子增量数表达式 14。文18 给出了上述基于 D-P 准则的转移应力解析解在三维 退化夹层元中的应用。文14，15研究说明

38、，当采 用精细的步长划分时，上述算法即为严格意义上的 理想弹塑性增量计算；在大步长情况下，收敛域内 最大载荷低于结构真实的极限承载力，对应的应 力场为静力容许应力场，同时由于正交流动法则在 平均意义下得到满足，收敛域内最大载荷接近结 构真实的极限承载力，所得结果接近真解且偏于安 即可确定调整后应力： 1 = ij = (1 q ij + p ij (27 其中， J2 1 p = mw + nI1 3 m = (3 + 2 f w= 3m + q= w (28 全。 在岩土工程弹塑性有限元计算过程中，经常出 现局部不收敛甚至发散现象，其原因是多方面的： 岩土结构地质缺陷或加固措施往往导致相邻单

39、元材 料性质差异过大，三维网格划分时经常产生畸形单 元，结构几何形态复杂，屈服准则不规则，荷载步 长也较大。改变计算方法，如采用有限元极限分析 方法也不能根本消除这一问题，经常在荷载水平较 低时优化搜索即陷入停顿19。引入加固力的概念就 是承认局部发散这一事实，为解决收敛性问题提供 了一个新的思路。 式(24(28中： J 2，I1，f 均由 1 确定；， 为拉 梅常数，由材料的杨氏模量 E 和波松比 确定。故 每个迭代步应力转移值为 1 p = 1 = q ij p ij (29 下面举例说明式(29的应力调整方案确实为变 动最小的应力调整方案。考虑一立方体材料试件， 第 24 卷 第 20

40、 期 杨 强等. 岩体变形加固理论及非平衡态弹塑性力学 3711 达到 11.9×105 kN。 由加固力上限原则可知， 不平衡 7 计算实例 金沙江的溪洛渡巨型水电站装机容量 1 260× 力的反方向力即为加固力的上限，可以用来指导加 固设计。对于溪洛渡工程，建议以超载 2 倍荷载工 况来指导加固设计，可以保证拱坝在超载 2 倍情 况下不破坏。 如表 1 所示，在两倍水荷载下，底部不平衡力 大，且左坝肩比右坝肩大，这和溪洛渡的地形、地 质条件是完全吻合的。 如果要求安全系数为 3.0， 那 么 3 倍水荷载下的不平衡力即为所需的锚固力。 从表中可以看出，各个高程段的坝肩不

41、平衡力均指 向河床、下游，且向上压，故加固力应指向山里、 上游，且向下压。 10 kW，混凝土拱坝坝高 278 m 4 20 。拱坝是一个高 次超静定结构，在高拱坝设计中，建基面(拱坝和坝 基的接触面 的优化设计和加固设计为一难点。本 文首次采用建基面不平衡力指导建基面设计。 建基面不平衡力由式(4确定，其中 为残余 p 塑性应力，求和仅对大坝基础单元进行。求得 Q 后，将建基面按高程分成若干高程段，通过对建基 面上不平衡结点力 Q 求和即可求得各高程段总的 x 向(横河向，指向左岸为正不平衡力 Fx，总的 y 向(顺河向，指向下游为正不平衡力 Fy，以及总的 z 向(垂直向，向下为正不平衡力

42、 Fz，如表 1 所示。 8 结 论 对于给定的外荷载，结构的工作区域包括弹性 表1 Table 1 溪洛渡拱坝 2 倍水荷载下建基面不平衡力 Unbalanecd forces of Xiluodu Arch Dam under twice water loading 高程/m Fx 610600 600590 590575 575560 560540 540520 520500 500480 480460 460440 440420 420400 400380 380360 360346 346332 方向合力 总合力 0.00 0.00 0.01 0.05 0.15 0.34 0.58

43、0.83 0.97 1.54 2.78 5.77 12.32 23.39 19.32 13.53 81.60 区、稳定弹塑性区和非稳定弹塑性区，结构在非稳 定弹塑性区需要加固力维持稳定。经典弹塑性理论 只适用于弹性区和稳定弹塑性区。变形加固理论的 理论基础为非平衡态弹塑性力学，它是经典弹塑性 Fz 0.00 0.00 0.00 MN 右岸 左岸 Fy 0.00 0.00 0.01 Fz 0.00 0.00 0.01 0.01 0.01 0.02 0.03 0.05 0.18 0.52 1.24 4.97 14.46 35.49 33.37 35.93 126.3 Fx 0.00 0.00 0.

44、00 0.03 0.11 0.24 0.37 0.53 0.75 1.02 1.45 2.48 3.85 6.93 7.37 10.80 35.90 Fy 0.00 0.00 0.00 0.01 0.07 0.18 0.28 0.36 0.48 0.68 1.08 2.14 4.13 12.02 17.04 40.24 78.70 101.10 理论的增量延拓，适用于非稳定弹塑性区。非平衡 态弹塑性力学的理论核心为最小塑性余能密度原 理，其理论基础为增量正交流动法则。 结构在非稳定弹塑性区服从最小塑性余能原 理，该原理要求在给定外荷载的情况下，结构自承 力最大而加固力最小，该理论为新奥法施工技

45、术提 供了严格的理论依据。本文指出潘家铮最大最小原 理即为最小塑性余能原理在结构极限状态时的特例 和推论。最后本文给出了变形加固理论在溪洛渡高 拱坝建基面优化设计上的应用。 本文建议的理论是非常基本的，如何去指导实 际的加固设计尚有很大的发挥空间，但需要强调以 下 2 点：(1 加固力是自平衡的荷载向量，这和一 般加固措施如锚固、混凝土格栅、抗滑键对周围岩 土介质的加固力性质是一样的；(2 对某一结构而 言，网格剖分不是唯一的，所以一套加固力系可以 依据实际的加固措施，按虚功原理等效成多套等价 的加固力系。 参考文献(References： 1 张有天，周维垣. 岩石高边坡的变形与稳定M. 北

46、京：中国水利 水电出版社，1999.(Zhang Youtian，Zhou Weiyuan. Deformation and Stabilization of High Rock SlopeM. Beijing：China Water Power Press，1999.(in Chinese 0.01 0.08 0.22 0.41 0.62 0.60 0.91 2.05 4.54 9.94 24.18 28.40 43.92 115.90 189.80 0.01 0.02 0.03 0.03 0.06 0.14 0.26 0.51 1.31 2.82 8.13 9.74 29.20 52.30

47、 分析表明，在正常荷载工况下各高程段不平衡 力很小，均不超过 1 000 kN，所以可不用加固。在 超载 1 倍(2 倍水载的情况下，左、右岸建基面的不 平衡力均在 1×105 kN 之内，如表 1 所示。当超载 2 倍时，不平衡力明显增加，左右岸的不平衡力最大 3712 2 岩石力学与工程学报 creep crack growth and creep deformationJ. 2005 年 Journal of 杨 强，周维垣，陈 新. 岩土工程加固分析中的最小余能原理和 上限定理A. 见： 世纪的岩土力学与岩土工程C. 武汉： n. ， 21 s. 2003. 158166.(

48、Yang Qiang， Zhou Weiyuan， Chen Xin. The principle of minimum complementary energy and upper bound theorem in geotechnical reinforcement analysisA. In：The Geomechanics and Geotechnical Engineering in 21st CenturyC. Wuhan：s. n. ， 2003. 158166.(in Chinese Non-Equilibrium Thermodynamics，2005，30(1：8194.

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52、ineering， 2002， (11： 6065.(in Chinese 16 杨 强，杨晓君，陈 新. 基于 D-P 准则的理想弹塑性本构关系积 分研究J. 工程力学，2005，22(4：1519，47.(Yang Qiang，Yang Xiaojun，Chen Xin. On integration algorithms for perfect plasticity based on Drucker-Prager criterionJ. Engineering Mechanics， 2005，22(4：1519，47.(in Chinese 17 Ortiz M，Popov E P. A

53、ccuracy and stability of integration algorithms for elastoplastic constitutive relationsJ. International Journal for Numerical Methods in Engineering，1985，21(9：1 5611 576. 18 杨 强，张建立，周维垣. 三维退化夹层元的弹塑性分析及其在拱 坝稳定分析中的应用J. 水力发电学报， 2004， 23(1： 1520.(Yang Qiang，Zhang Jianli，Zhou Weiyuan. Three-dimensional degenerated joint elements and their application to stability analysis of arch damsJ. Journal of Hydroelectric Engineering，2004，23(1：15 20.(in Chinese 19 杨 强，程勇刚，赵亚楠，等. 混凝土拱坝的极限分析J