平面内到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹叫做椭

1、椭圆1、 定义平面内到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距注意：当时，动点的轨迹是椭圆； 当时，动点的轨迹是线段；当时，动点的轨迹不存在2、 方程与图形1. 标准方程标准方程图形xy0B1B2F1F2A1A2abcx0B1B2F1F2A2abcyA1范围顶点两轴长轴，长为，a为长半轴长；短轴，长为，b为短半轴长焦点焦距，c称为半焦距2. 参数方程标准方程为的椭圆的参数方程为：（为参数）3、 点与椭圆的位置关系点与椭圆的位置关系：位置关系代数关系点P在椭圆外点P在椭圆上点P在椭圆内4、 几何性质1对称性：椭圆关于x轴、y轴和原点都是对称的其

2、中坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心2椭圆上任意一点到中心的距离d的最值：（长半轴长），（短半轴长）3椭圆上任意一点到（左或右）焦点的距离d的最值：，4P为椭圆上任意一点，取到最大值时P的位置在短轴的顶点证明：，当且仅当时取等，即P为短轴顶点时，最小，此时最大5焦点三角形面积公式：，其中证明：，6若PQ是椭圆不平行于对称轴的弦，M是PQ的中点，O是椭圆中心，则证明：设，则，两式相减得：，而， 7椭圆在点处的切线方程为五、典型例题例1、在平面直角坐标系中中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则_解答：可知正好是椭圆的左、右焦点，所以，又，故 例2、（04上海春考10

3、）若平移椭圆，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与轴、轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是        解答：椭圆平移后它的中心在第一象限，且椭圆与轴、轴分别只有一个交点，那么平移后椭圆的中心为，故平移后的椭圆方程是答案：例3、（09上海理科9/文科12）已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则        解答：设，例4、F是椭圆的右焦点，为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点则 的最小值为   

4、0;    解答：设另一焦点为，则，连，当P是的延长线与椭圆的交点时，取得最小值为例5、椭圆与双曲线有公共焦点，是两曲线的交点，则的面积为（ ）.A. B. 1 C.4 D. 解答: 不妨设点在第一象限，解得 ，+=，=.又,，=1.答案：B例6、（2005重庆）若动点在曲线上变化，则的最大值为（ ）A BC D解答：方法1 三角换元法设，则，当时，即，的最大值为；当时，当时最大，即为的最大值为方法2直接法由于动点在椭圆上，所以，当时，即时，时，取最大值；当时，即时，时，取最大值，即，的最大值为例7、椭圆上有个不同的点，椭圆的右焦点为.数列是公差大于的等差数列，则

5、的最大值为 解析：由题意知，这个等差数列的最小值为右顶点到焦点的距离1，最大值为左顶点到右焦点的距离3，所以3=1+(n-1)d，所以最大值为200.例8、设点P是椭圆上的动点，是椭圆的两个焦点，求的最大值解答：解：，设为左、右焦点，则，设则得，则当时，取值得最大值1，即的最大值为1例9、常数，向量，其中分别是直角坐标平面内轴正方向上的单位向量，动点，若，求动点的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线解答：设，由已知得，即，其中当时，平面内没有任何点符合要求；当时，点的轨迹是线段,方程为；当，点的轨迹是椭圆，方程为例10、已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线. （1）求的值； （2）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值.解答：（1）设椭圆方程为则直线AB的方程为，化简得.令则 共线，得又即，故（2）证明：由（1）知，所以椭圆可化为.设，由已知得在椭圆上，即 由（1）知又，代入得 故为定值，定值为1例11、点在椭圆上，直线与直线：垂直，为坐标原点，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为（1）证明：点是椭圆与直线的唯一交点；（2）证明：构成等比数列（I）（方法一）由得代入椭圆,得.将代入上式,得从而，因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点(方法二)显然是椭圆与的交点，若，是椭圆与的交点，代入的方程，得，即，故