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文档简介

1、复变函数期末复习提要中央电大数理教研室第7章：残数及其应用理解残数的定义；熟练掌握计算残数的方法； 理解残数基本定理，熟练掌握用残数理论计算积分。定义7.1 设为函数的孤立奇点，为圆周：，若在上解析，则称为在点的残数（或留数），记作或，即 （7.1）例1 设，求解法1 由（7.1）式得 注意：这里的积分路径的半径并非只能取，只须使半径小于1即可满足定义7.1的条件解法2 因点 为的孤立奇点，所以，在内有 由此得，依（7.2）式得解法3 因点为的一级极点，所以，依（7.3）式得 解法4 因点为的一级极点，所以，由（7.4）式得 定义7.2设为函数的孤立奇点，为圆周：，若在内解析，则称为

2、函数在点的残数（或留数），记作或，即 （7.6）例2 设，求解 取圆周，由（7.6）式得定理7.1 设区域是由围线的内部构成（如图），若函数在内除含有限个奇点外解析，且在上除点外连续，则 （7.8） a1c1 a2c2 a3c3 ancnGc例3计算积分解 首先，弄清被积函数在积分路径内部有无奇点由求出被积函数的奇点有 与 因，所以，又因，故，即在积分路径内部只有被积函数的一个奇点其次，经检验，由（7.8）式得 残数在计算某些实积分上的应用 （7.10） 例4 计算积分解 经验证，此积分可用（7.10）式计算首先，求出在上半平面的全部奇点令即 于是，在上半平面的全部奇点只有两个： 与 且知道，与均为的一级极点其次，算残数，有 最后，将所得残数代入（7.10）式得 (7.11)例5 计算积分解 经验证，该积分可用（7.11）式计算首先，求出辅助函数在上半平面的全部奇点由解得与为的奇点，而，所以，在上半平面只有一个奇点 ， 且为的一级极点其次，计算残数有 最后，

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