概率论与数理统计练习题附答案详解

1、WORD格式第一章"随机事件及概率"练习题一、单项选择题1、设事件 A 与 B 互不相容，且P(A)0， P(B)0，那么一定有AP(A)1P(B) ；BP(A|B)P(A) ；CP(A| B)1；DP(A|B)1。2、设事件 A 与 B 相互独立，且P(A)0， P(B)0，那么一定成立专业资料整理WORD格式AP(A|B)1 P(A)； BCP( A) 1P(B) ； DP(A|B)0；P(A|B)P(B)。专业资料整理WORD格式3、设事件 A 与 B 满足 P(A) 0， P( B) 0，下面条件成立时，事件A 与 B一定独立专业资料整理WORD格式（ A（ CP(

2、 AB) P( A)P(B) ；BP( A B)P( A)P(B) ；P(A|B) P(B) ；DP(A|B)P(A)。专业资料整理WORD格式4、设事件 A 和 B 有关系BA，那么以下等式中正确的选项是专业资料整理WORD格式（ A （ CP( AB) P( A) ；B P(B|A) P(B)；DP(AB)P(A)；P(BA)P(B)P( A) 。专业资料整理WORD格式5、设 A 与 B 是两个概率不为0 的互不相容的事件，那么以下结论中肯定正确的选项是AA与B互不相容；BA与 B 相容；CP(AB)P(A)P(B)；DP(AB)P(A)。6、设 A、B 为两个对立事件，且P(A)0，

3、P(B)0，那么下面关系成立的是AP( AB)P( A)P( B)；BP( AB)P(A)P(B)；CP( AB )P( A) P( B) ；DP(AB)P(A)P(B)。7、对于任意两个事件A 与 B，P( AB) 等于AP( A)P( B)BP( A)P(B)P( AB) ；CP( A)P( AB) ；DP(A)P(B)P(AB) 。二、填空题1、假设AB ，AC ，P(A)=0.9，P(B C)0.8，那么P( ABC ) =_。2、设 P(A)=0.3，P( B)=0.4，P(A|B)=0.5，那么 P(B|A)=_，P( B | AB ) =_。、P( A) 0.7，P(A B) 0

4、.3，那么 P(AB)。34、事件A、B满足P( AB) P( AB) ，且 P( A)p ，那么 P( B) =。5、一批产品，其中 10 件正品， 2 件次品，任意抽取2 次，每次抽 1 件，抽出后不再放回，那么第2 次抽出专业资料整理WORD格式第1页共18页专业资料整理WORD格式的是次品的概率为_。6、设在 4 次独立的试验中，事件A 每次出现的概率相等，假设事件A 至少出现 1 次的概率是65 81，那么 A 在 1 次试验中出现的概率为_。7、设事件 A，B 的概率分别为P(A)1 3, P( B)1 6 ，假设A 与 B 相互独立，那么P( AB)_；假设A与B互不相容，那么P

5、( A B)_。8、有 10 个球，其中有3 个红球和 7 个绿球，随机地分给10 个小朋友，每人1 个，那么最后 3 个分到球的小朋友中恰有 1 个得到红球的概率为_。9、两射手彼此独立地向同一目标射击，设甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，那么目标被击中的概率为 _ 。三、计算题1、某工厂生产的一批产品共100 个，其中有5 个次品；从这批产品中任取一半来检查，求取到的次品不多于 1 个的概率。2、某城市的为六位数，且第一位为6 或 8；求(1)随机抽取的一个由完全不一样的数字组成的概率；(2) 随机抽取的末位数是8 的概率。3、P( A) P(B)P(C ) 1 4，P(AB)=

6、0， P( AC )P(BC)1 16 ，求A，B，C至少有一个发生的概率。4、设 10 件产品中有 4件不合格品，从中任取2 件，所取2 件中有一件是不合格品，求另外一件也是不合格品的概率。5、一个工厂有一，二，三3 个车间生产同一个产品，每个车间的产量占总产量的45% ， 35% ，20% ，如果每个车间成品中的次品率分别为5% ，4%，2% ，从全厂产品中任意抽取1 个产品，求取出是次品的概率；从全厂产品如果抽出的1 个恰好是次品，求这个产品由一车间生产的概率。6、有两箱同类零件，第一箱装50 只(其中一等品10 只)，第二箱装30 只(其中一等品18 只)；今从两箱中任挑一箱，然后从该

7、箱中依次不放回地取零件两次，每次一只；第一次取到的是一等品，求第二次取到的也是一等品的概率。7、右边是一个串并联电路示意图，A 、 B、C 都B是电路中的元件，它们下方的数是它们各自独立0.70AC0.90正常工作的概率 ( 可靠性 ) ，求电路的可靠性。0.70四、证明： 假设 P( B | A)P(B | A) ，那么事件A与B相互独立。第二、三章"随机变量及其分布"练习题专业资料整理WORD格式第2页共18页专业资料整理WORD格式一、单项选择题1、设离散型随机变量X 的分布列为X012P0.30.30.4F ( x) 为X的分布函数， 那么 F (1.5) =A0；

8、B0.3； C0.6；D1。2. 如下四个函数中，哪一个不能作为随机变量X 的分布函数0,x0,专业资料整理WORD格式（ A （ C1/ 3,0x10,x0,F ( x)1/ 2,1x；B F ( x)ln(1x) ,x；201,x21x0,x0,F ( x)1x2 ,0x2 ；D F (x)0,x0,；1 ex, x041,x2专业资料整理WORD格式b3、当常数 b=时， pkk (k(k 1,2,) 为某一离散型随机变量的概率分布1)A2；B1；C1/2；D3。4、设随机变量X的分布函数为FX (x)，那么随机变量的分布函数FY ( y)是Y2X1A F (y1) ；B F (y1)

9、；C2F ( y)1 ； D 1F ( y)1 。222225、设随机变量X N (a ,a 2 ) ，且 YaXb N (0,1) ，那么 a , b 应取 Aa2, b2 ； B a2, b1 ； Ca1, b1 ； Da1,b1 。6、设某一连续型随机变量X 的概率密度f ( x) 在区间 a, b上等于 sin x ，而在此区间外等于0，那么区间 a, b为A 0,/2；B0, ；C/ 2,0； D0,3/2。7、设随机变量X N (,2) ，那么随的增大，那么 P| X| A单调增加； B单调减少； C保持不变； D 增减不定。专业资料整理WORD格式第3页共18页专业资料整理WOR

10、D格式8、设两个随机变量X 与 Y 相互独立且同分布，P X1PY11/ 2，P X1PY1 1/ 2，那么以下式子成立的是APXY 1/ 2；BP XY 1；CP XY01/4；DP XY11/ 4。9、设随机变量 X 与 Y 相互独立，它们的分布函数分别为F X ( x), FY ( y) ，那么 Zmin( X ,Y ) 的分布函数为A FZ( z)F X ( z) BFZ( z)FY ( z) ；CFZ(z)min FX ( z), FY (z) ； DFZ( z)11F X ( z)1FY ( z) 。二、填空题0, x1,a,1x1,1、设离散型随机变量X 的分布函数F ( x)2

11、a ,1x且PX21/2 ，32,ab, x2,那么 a_，b_ _ _，X的分布列为 _。abx2 , x 1,2、设随机变量 X 的分布函数F ( x)0,x1,那么 a_，b_ _，P 1 X2_，X的概率密度 f (x) =_ 。3、将一颗均匀骰子重复独立地掷10 次，设 X 表示3点朝上的次数，那么 X _ _，X的概率分布为_ _。4、设随机变量X 的概率密度为f ( x)4 x 3 , 0x1,那么使 PXaP Xa 成立的常0,其它,数 a _ 。5、某一时期在纽约股票交易所登记的全部公司股东所持有的股票利润率服从正态分布，期望值为10.2，且具有 3.2 的标准差，这些公司股

12、东所持有的股票利润率在1517.5之间的概率为。6、设X N ( ,2)，其概率密度f ( x)1exp( x 3)2 ，那么_, _ 。24专业资料整理WORD格式第4页共18页专业资料整理WORD格式7、 (X, Y) 的分布律为YX12311/61/91/1821/3ab那么 X 的分布律为，Y 的分布律为；专业资料整理WORD格式PXY；当 a =_ ,专业资料整理WORD格式b =_ 时，X 与 Y 相互独立。8、设随机变量X 与 Y 相互独立，且 X、 Y 的分布律分别为X3 21Y123P1/41/41/2P2/51/52/5那么 X 与 Y 的联合分布律为_ ；Z=X+Y 的分

13、布律为_ 。9、设 D 由 y = 1/x , y = 0, x = 1, x = e 2围成，(X, Y) 在 D 上服从均匀分布，则 (X, Y) 的概率密度为 _。10、假设 X 与Y独立，而X N(1, 12),Y N( 2,22 ),那么X+Y_。Y e (1)即fY( y)e y,y0,11、 X 与 Y 相互独立，且X U (-1, 1),0,y,0,那么 X 与 Y 的联合概率密度f ( x , y)_ _ ,专业资料整理WORD格式1,XY,Z0,XY,的分布为 _ 。专业资料整理WORD格式三、计算题1、 3 个不同的球，随机地投入编号为1，2，3， 4 的四个盒子中，X

14、表示有球盒子的最小，求X 的分布律。2、某产品外表的疵点数服从泊松分布，规定没有疵点为特等品，1 个为一等品，2 至 4 个为二等品， 4个以上为废品，经检测特等品的概率为0.4493，那么试求产品的废品率。A1, x |3、设随机变量X 的概率密度为f ( x )1x 20,其它 .试求 (1) A;(2)P X| 1/2X的分布函数F(x)。(3)专业资料整理WORD格式第5页共18页专业资料整理WORD格式4、设某人造卫星偏离预定轨道的距离米服从0,4 的正态分布，观测者把偏离值超过10 米时称作“失败 ，使求 5 次独立观测中至少有 2 次“失败的概率。5、设X的分布列为：X21/ 2

15、024P1111184863求： 1X 2；2 X 1； 3 X 2的分布列。6、设随机变量X1与X 2独立同分布，且P( Xik), ( k1, 2, 3;i1,2)1，记随机变量3Y1 max X1 , X 2 ， Y2min X1, X 2 。求1 (Y1, Y2 ) 的联合分布列；2判断Y1与Y2是否互相独立；3 求P(Y1Y2 3) ， P(Y1Y2) 。7、设 (X, Y) 的概率密度为f ( x, y)x2a x y , 0 x 1, 0 y 2,0,其它,试求 (1) a ； 2P XY1 ；(3)X 与 Y 是否相互独立"8、( X ,Y )的联合概率密度为f (

16、x, y)4 x , 0 x 1, 0 y x 2 ,0,其它 ,1求关于X和Y的边缘概率密度f X (x),fY ( y) ；2判断X与Y是否相互独立；3求P X1/ 2 ； PX1/ 2,Y1/2。9、设随机变量X 的概率密度为1,0x1f ( x)0,其它求函数 Y3X+1 的概率密度。第四、五章"随机变量的数字特征与中心极限定理"练习题一、单项选择题1、设 X B(n, p)， 且 E( X ) = 2.4,D( X ) = 1.44,那么A n4, p0.6 ；B n6, p0.4 ；C n8, p0.3 ；D n24, p0.1 。专业资料整理WORD格式第6页

17、共18页专业资料整理WORD格式2、设随机变量X 与 Y 满足E(XY )E(X)E(Y) ，那么AD(XY )D(X )D(Y) ；BD(XY)D(X )D(Y)；CX与Y独立；DX 与 Y 不独立。3、随机变量X服从区间( a, b)上均匀分布，E( X )1, D ( X )1/ 3 ，那么区间 (a,b) 为 A(0,1)；B(1,3) ；C(0, 2) ；D(0.5,1.5) 。4、设X1与X2为两个随机变量，且D ( X1)5, D ( X 2 )8, D ( X1X 2 )10 ，那么 cov( X1, X 2 ) =A3/ 2；B3/ 2 ；C3；D3。5、设随机变量X 与 Y

18、 独立同分布，记UXY,VXY ，那么U与V必A 独立；B不独立；C不相关；D相关系数不为零。5、设 X 的概率密度f ( x)1exp( x1)2，那么 E(2X 21) 228A1；B6； C4；D9。二、填空题1、设随机变量X 1, X 2, X 3相互独立，且都服从 N (,2)，而Y (X1X2X3) 3，那么Y _，1 2Y _ 。2、设随机变量 X 服从参数为的泊松分布，且 E(X-1)(X- 2) = 1，那么_ 。3、设 X 与 Y 相互独立，且XU (0,2), YU (2,4)，那么 E(XY )_ _,D(XY )。4、设X服从均值为1/2 的指数分布，那么P XD(X

19、 )_ 。5、假设随机变量X服从区间(,) 上的均匀分布，那么E(sin X )=。446、一枚硬币连抛1000 次， 那么正面向上的次数大于等于550 的概率为。7、D(X)25, D(Y )36, ( X ,Y)0.4 ，那么 D( XY ) =。8、设 X 与 Y 的相关系数XY0.9 ，假设 ZX0.4，那么 Y 与 Z 的相关系数为。9、设E(X ) E(Y) 0,E(X2) E(Y2)2 ，XY0.5，那么 E( X Y )2 。专业资料整理WORD格式第7页共18页专业资料整理WORD格式1, X0,10、设随机变量XU ( 1,2)， Y0, X0,那么D(Y)_。1, X0,

20、11、 (X, Y) 的分布律为YX01211/101/207/2023/101/101/10那么E(X)， E(Y)， E(XY )。三、计算及证明题1、某保险公司规定：如一年中顾客的投保事件A 发生，那么赔 a 元；经统计一年中A 发生的概率为p，假设公司期望得到收益的为a 10 ，那么要求顾客交多少保险费"a x ,0x2,2、设 X 的概率密度为f ( x )bxc, 2x4,0, 其它.且 E(X)=2, P1< X < 3= 3/4, 求1 a、b、 c 2E (eX)。3、设( X ,Y )在以(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分

21、布，试求 D ( XY ) 。4、设 (X, Y)f ( x, y)xy , 0x1, 0y 1,的概率密度为0, 其它,试求 XY。5、飞机在第一次飞行后必须进展检修的概率是0.4，在以后的两次飞行中，每一次飞行后其被检修的概率各增加 0.1 ，求三次飞行后修理次数的数学期望。"数理统计"练习题一、单项选择题1、设总体X N(,2 ) ，未知，而2， ( X1 , X2 , , Xn ) 为一样本，_1nX i， S 21n_) 2，那么以下样本的函数为统计量的是X( X iXn i 1n1 i 11n21n2XX( X i)( X iX )A 2； B2； C； D。i

22、 1i12 nS2 n专业资料整理WORD格式第8页共18页专业资料整理WORD格式2、XN(0,2 ) ，( X1, X2, X3, X4)为样本，那么统计量X1X 2服从的分布为X 32X 42 AN (0,1)； B 2(2)； Ct(2)；DF (2,2)。3、设随机变量X N (0,1)，而 u满足 PXu，假设PXx，那么 x Au2； B u2； C u1 2； D u。1(1) 2_1n4、设总体X的二阶矩存在， (X1,X2, X n ) 为 一 样 本 ， XX i，n i 1S021 n( X iX )2，那么E(X2)的矩估计为n i 1AX；BS02；CnS02；D

23、1 nX i2。n1n i 1二、填空题1、设总体X N(,2 )，(X1, X2, , Xn)为一样本，那么1 nX i ，n i1XX1n21n_2 ，( X i)，( X iX )。2S222nni1i12、设总体XN (1,4)， ( X1, X 2 , X 3) 为样本， X 是样本均值， S2为样本方差，那么E(X)，D(X)， E(S2)。专业资料整理WORD格式3、设总体X N (,2 )，( X1, X2, Xn)为一样本，的分布为。4、设XN (0,4) ， ( X1 , X 2 , X3 ) 为样本，假设要求 aX12， b =。5、设总体X 在( ,1) 上服从均匀分布

24、，(X1, X 2,_。三、计算题1、设总体XN(1,4)，X1,X2, X3是 X 的样本，试求X 是样本均值。那么 Un( X)2服从b( X 2X 3 )2 2 (2)，那么a=, X n ) 为一样本，那么的矩估计为_E(X12X22X 32),D(X1X2X3)。专业资料整理WORD格式第9页共18页专业资料整理WORD格式2、设总体 X 服从方差为4 的正态分布，( X 1 , X 2 , X n ) 是一样本，求n使样本均值与总体均值之差的绝对值不超过0.1 的概率不小于0.95。_1n3、设总体X N (4,4)，(X 1,X 2, X 10 ) 为X的简单随机样本， XX i

25、为样本均值，n i 11n_S2( X iX ) 2为样本方差，n1 i 11求PS2.908 ；2假设 S2.5，求P X6.569 。f ( x , )x 1 , 0x 1, xn ) 为一样本， 试求4、设总体 X 的概率密度( x1 , x 2 ,的0,其它.矩估计。一章练习题参考解答一、单项选择题1、D。2、A。3、B。4、B。5、D。 6、A。7、C。二、填空题1、_0.7_2、 2/3 ,0.83、0.64、1-p5、1/66、1/37、 13/18； 1/2。8、C31C72C1032140 。9、0.94 。三、计算题1、解：PC9550C51C95491739C10050。

26、96032、解： 令 A=抽取的由完全不一样的数字组成 ，B=抽取的末位数是8，那么P( A)2A952104。21052105， P(B)3、解：P( ABC )P(A)P(B)P(C )P( AB)P(BC )P(AC) P(ABC) 5/ 84、解： 令 A= 2件中有1 件为次品 ，B= 另一件也为次品，欲求P(B| A)，而 P( AB)C42，P(A)1P(A) 1C62P( AB) 1C102C102，故 P(B|A)。P(A)55、解： 设 A=任取一件产品为次品 ，Bi = 任取一件产品是第i 个车间生产的， i =1,2,3，那么A B1AB2AB3 A ，且 B1 A,

27、B2 A, B3 A 两两互不相容； P(B1)0.45, P( B2 )0.35, P(B3 )0.20 ，专业资料整理WORD格式第10页共18页专业资料整理WORD格式P(A|B1)0.05, P( A | B2 )0.04, P( A | B3)0.02 ； P( A) P(B1 )P( A | B1)P(B2 )P( A | B2 )P(B3 )P( A | B3 )0.0405 ； P(B1 |A)P(B1A) P(B1)P(A|B1) 5P( A)P(A)。96、解： 设 Ai= 第 i 次取到一等品， Bi= 取到第i号箱 ，i =1, 2,A1B1 A1B2 A1, 且B1A

28、1, B2A1两两互不相容，从而P( A1) P( B1)P(A1 | B1) P( B2 )P( A1 | B2)1101182250230；5A1 A2B1A1A2B2 A1A2, 且 B1A1A2 ,B2 A1A2两两互不相容，从而P( A1A2 ) P(B1 )P( A1 A2 | B1) P( B2)P(A1 A2 | B2)1A1021A1822762A5022A302；1421所求为 P(A2 |A1)P(A1 A2 )6900.4856P( A1)14217、解： 以 A、B、C 分别表示元件A 、B、C 正常工作之事,由于各元件独立工作，故A、B、C 相互独立，且 P( A)

29、0.90, P(B) 0.70, P(C)0.70 ，所求为P( ABAC ) P( AB)P(AC)P( ABC )P(A)P(B)P(A)P(C)P( A)P(B)P(C )0.819。四、证： P( B | A)P(BA )P(B)P(AB)， P(B |A)P(AB)，P( A)1P( A)P(A)代入 P(B | A)P(B | A) 得 P( AB)P( A)P(B) ，故A与B相互独立。随机变量及其分布练习题参考答案一、单项选择题1、 C 2、 B 3、B4、A 5、C 6、A 7、C 8、A 9、D。二、填空题1、a_1/6_，b_5/6_ ， X 的分布为X112P1/62/

30、61/2专业资料整理WORD格式第11页共18页专业资料整理WORD格式21,2、a_1_，b_1_，P1 X2 _3/4，X的概率密度f (x) =x3 , x0,x1.3、 X B(10, 1/6)， X 的概率分布为P XkC10k (1) k (5)10 k , k0,1,10.664、a1 4 2。5、(2.28)(1.5)0.0555 。6、 3，2 。7、 X的分布律为X123P1/2a+1/9b+1/18Y 的分布律为Y12P1/3a+b+1/3P XY a1当 a =_2/9_ , b =1/9时， X与 Y；相互独立。68、 X 与 Y 的联合分布律为YX 32 111/101/101/521/201/201/1031/101/101/5Z=X+Y 的分布律为Z 2 1012P1/103/207/201/51/59、f ( x, y)1 , 1 xe2 , 0 y1,10、 N( 12 ,22) 。2x120,其它.11、f ( x , y)1e y , 1x 1, y0 ,2Z 的分布为0, 其它.Z01P11/2e1/2e专业资料整理WORD格式第12页共18页专业资料整理WORD格式三、计算题1、解 : X 的分布律为X1234P(4333(3333(231) 431 433 ) 42 ) 4k2、解 : 令疵点数为 X ,X () ,分布律为 P