数值分析题库与答案

1、WORD格式模拟试卷一一、填空题每题3 分，共30 分1有 3 个不同节点的高斯求积公式的代数精度是次的 .15232设A210， x4，那么A=.，x1 = _.14223 y=f(x)的均差差商f x0, x1, x2 14, x2 , x3 15913， f x1， f x2 , x3 , x4 ，8315f x0 , x2 , x3 ,那么均差 f x4 , x2 , x3 =.34 n=4 时 Newton Cotes 求积公式的系数分别是：C0(4)7,C1(4 )16,C2(4)245, 那么9015C3(4).5解初始值问题yf ( x, y)的改进的 Euler 方法是阶方法

2、；y(x0 )y05x13x20.1x336求解线性代数方程组2 x16x20.7 x32 的高斯塞德尔迭代公式为，x12x23.5x31假设取 x(0)(1,1,1),那么x(1).7求方程xf ( x) 根的牛顿迭代格式是.80( x),1 (x),n ( x) 是以整数点 x0 ,x1 , xn , 为节点的Lagrange插值基函数，那么nxk j ( xk ) =.k 09解方程组Axb 的简单迭代格式x( k 1)Bx ( k)g 收敛的充要条件是.10 设f ( - 1 )1f ,( 0 ) f 0 ,( 1f )1 ,， 那么 f (x) 的 三 次 牛 顿 插 值 多 项 式

3、为，其误差估计式为.二、综合题 每题10 分，共 60 分1求一次数不超过4 次的多项式p( x)满足：p(1)15 ， p (1)20 ， p (1)30p(2) 57， p (2)72 .1A0 f ( 1 )2构造代数精度最高的形式为xf ( x)dxA1 f (1) 的求积公式，并求出02专业资料整理WORD格式专业资料整理WORD格式其代数精度 .3用 Newton 法求方程xln x2 在区间(2,xkxk 1108 .)内的根,要求xk4用最小二乘法求形如ya bx 2的经历公式拟合以下数据：xi19253038yi19.032.349.073.35用矩阵的直接三角分解法解方程组

4、1020x150101x231243x3.170103x47yf ( x, y)6 试用数值积分法建立求解初值问题的如下数值求解公式y(0)y0hyn 1 yn 1( f n 1 4 f n fn 1) ，3其中 fif ( xi , yi ),i n 1, n, n 1.三、证明题 10 分设 对 任 意 的 x ， 函 数 f (x) 的 导 数 f ( x) 都 存 在 且 0 mf ( x) M ,对 于 满 足02的任意，迭代格式 xk 1 xkf ( xk ) 均收敛于 f ( x)0 的根 x*.M参考答案一、填空题15； 2.8,9;3.91；4.16；5.二；1545专业资料

5、整理WORD格式x1( k 1)6. x2(k 1)x3(k 1)(3 3x2(k )0.1x3(k) ) / 5(22x1( k 1)0.7x3(k) ) / 6 ,(0.02，0.22，0.1543)(1x1( k 1)2 x2(k 1) )*2 / 7专业资料整理WORD格式7. xk 1xkxkf (xk ) ; 8.x j; 9.(B) 1;1 f( xk )10.1 x3x21 x,f (4) ( )( x1)x( x1)(x 2) / 24( 1,2)66二、综合题1差商表：专业资料整理WORD格式专业资料整理WORD格式11512015157120221512423085727

6、257p(x)1520( x1)15(x1)27( x 1)3( x1)3 ( x2)54 x 3x22x3x4其他方法：设 p( x)1520( x1)15( x1)27( x1)3(x1)3( axb)令 p(2)57 ， p(2)72，求出a和b.2取f ( x)1, x ，令公式准确成立，得：A0A11,1A0A11,A01,A11 .2 2336f ( x)x2时，公式左右1； f(x)x3时，公式左1,公式右52 .4524 公式的代数精度此方程在区间(2,)内只有一个根 s ，而且在区间， 内。设f (x)xln x232 4那么 f ' (x)11f ''

7、;(x)1， Newton 法迭代公式为，x 2xxk 1xkln xk 2xk (1 ln xk )0,1,2,xk11/ xkxk1， k取 x3 ，得 sx43.146193221 。04span1, x2 ，AT1111， yT19.032.349.073.3 .192252302382解方程组TATT43330，A ACy，其中A A33303416082解得： C1.416650.0504305所以a，b.0.92555770.05010255解设1020110200101l 211u22u23u2412 43l 31l 321u33u340103l 41l 42l 43 1u44

8、由矩阵乘法可求出uij和 l ij专业资料整理WORD格式专业资料整理WORD格式11l 21101l 31l 321121l 41l 42l 43 1010110201020u22u23u24101u33u3421u4421y15解下三角方程组01y23121y3170101y47有 y5 ， y23 ， y36 ， y44 .11020x15再解上三角方程组101x2321x362x44得原方程组的解为x1， x21 ， x32 ， x42 .1x专业资料整理WORD格式6 解 初值问题等价于如下形式取 xxn 1，有y(xn 1)y( xn 1)利用辛卜森求积公式可得yn 1yn三、证明

9、题y( x) y( xn 1 )f (x, y( x)dx ，xn 1xn 1f (x, y( x)dx ，xn 11h ( f n 1 4 f nf n 1 ) .3专业资料整理WORD格式证明将 f ( x)0 写成 xxf (x)(x) ，由于( x) xf ( x)1f ( x) ，所以 |( x) | |1f ( x) | 1所以迭代格式 xk1xkf (xk ) 均收敛于 f (x)0 的根 x*.专业资料整理WORD格式专业资料整理WORD格式模拟试卷二一、填空题每题3 分，共 30 分1分别用 2.718281 和 2.718282作数 e 的近似值，那么其有效位数分别有位和位

10、 ；10212设A110， x3，那么A1 = _ ，x2 =.38213对于方程组2 x15x21Jacobi 迭代法的迭代矩阵是GJ=_.4x2,10x134设f ( x) x3x1，那么差商f 0, 1, 2, 3 =_，f0, 1, 2, 3,4=_.125A, 那么条件数Cond (A) _.011f ( x1 ) 具有最高的代数准确度，那么其求积6为使两点的数值求积公式f ( x)dx f ( x0 )1基点应为 x0=_， x1=_7解初始值问题yf ( x, y)yk 1近似解的梯形公式是y(x0 ) y08求方程f (x)0 根的弦截法迭代公式是1xdx ，取4位有效数字，

11、用梯形公式计算求得的近似值是， 用辛卜9. 计算积分0.5生公式计算的结果是10任一非奇异矩阵A 的条件数Cond (A)，其 Cond ( A) 一定大于等于二、综合题 每题 10 分，共 60 分1证明方程 1xsin x 在区间0,1有且只有一个根，假设利用二分法求其误差不超过1 10 4近似解，问要迭代多少次？22 常微分方程的初值问题：dyx ,1x1.2dxy,y(1)2试用改进的Euler 方法计算y(1.2) 的近似值，取步长h0.2.专业资料整理WORD格式专业资料整理WORD格式335x1103 用矩阵的LDLT分解法解方程组359x216 .5917x3304 用最小二乘

12、法求一个形如1的经历公式，使它与以下数据拟合.ybxax1.01.41.82.22.6y0.9310.4730.2970.2240.168x0.4 y0.4z15 设方程组 0.4 x y 0.8z 2 ，试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯赛德尔迭代0.4 x 0.8 yz3法的收敛性。4116 按幂法求矩阵A1 32 的按模最大特征值的近似值，取初始向量123x(0)(1,0,0) T，迭代两步求得近似值(2) 即可.三、证明题 10 分求a (a0) 的迭代公式为：xk 11 ( xka )x00k0,1,22xk证明：对一切 k1,2,xka ， 且序列xk是单调递减的，从而迭代过程收

13、敛.参考答案一、填空题1 6，7； 2.9,11 ;3 .02.5;4. 1,0;5.9; 6.112.50,;337. ykh f ( xk , yk )f (xk 1, yk 1 ) ;28. xk 1xkf ( xk )( xx)； 9. 0.4268, 0.4309;10.A1A, 1f ( xk 1)kk 1f ( xk )二、综合题1 解 令f ( x)1 xsin x ，那么 f 0)(10，f (1)sin10 ，且 f (x)1 cos0x专业资料整理WORD格式专业资料整理WORD格式故 1x sin x 在区间0,1内仅有一个根 x*.利用二分法求它的误差不超过110 4

14、的近似解，那么| xk 1 x* |1110 44ln1022k 12解此不等式可得13.2877kln 2所以迭代14 次即可 .2、解：k1f ( x , y )0. 5 , kf (x ,yh k )0. 571429,002101y1y0h ( k1k)22 0. 1 ( 0. 5 0. 571429) 2. 107142923 3 51d11 l21l313解设359l211d2d31l325917l31l3211利用矩阵乘法可求得d13 ， d22 ， d32， l 211， l31523， l 3231y1104解方程组11y216得 y110,y26, y3，5y3303321

15、5d11113x1110再解方程组12x2d2d316得 x11, x21, x3 2 .1x3434解 令 Y1，那么 Y abx 容易得出正规方程组y59a16.971，解得a2.0535, b3.0265 .917.8b35.3902故所求经历公式为y1.2.05353.0265 x5解专业资料整理WORD格式专业资料整理WORD格式0.40.4 1由于 f J ()0.40.830.960.2560.40.8f J (1)10.980.2560 ， f J (2)8 1.96 0.2560所以 fJ()0在 (2, 1) 内有根i且 |i| 1，故利用雅可比迭代法不收敛 .0.40.4

16、 2由于 f G ()0.40.8(20.8320.128)0.40.8所以(G )0.832 ，故利用高斯赛德尔迭代法收敛.6 解因为 x(0)1,0,0 T，故x(0)1，且y(1)Ax(0)4,T(1)max( y(1) )4 .1,1，从而得x(1)y(1) /y(1)1,1 , 1 T，y(2)Ax(1) 9 ,9,9T，(2)max( y(2) )9.442442三、证明题证明 :由于xk11 (xka )a,k0,1, 2,2xk故对一切 k ， xka ，又xk11 (1a)1 (11) 1xk2xk22所以 xk1xk，即序列 xk 是单调递减有下界，从而迭代过程收敛.专业资

17、料整理WORD格式专业资料整理WORD格式模拟试卷三一、填空题每题3 分，共 30 分1a2.40315是真值x2.40194的近似值，那么a 有位有效位数，相对误差限设为；2假设用二分法求方程f (x)0 在区间1,2内的根，要求准确到第3 位小数，那么需要对分次。3有 n 个节点的高斯求积公式的代数精度为次 .4设( x) x a(x25) ，要使迭代格式 xk 1( xk ) 局部收敛到 x*5 ，那么 a 的取值X围是5设线性方程组Ax = b 有唯一解，在不考虑系数矩阵扰动的情况下，假设方程组右端项的bx；扰动相对误差，就一定能保证解的相对误差bx9x1x28Jacobi 迭 代 公

18、 式6给定线性方程组，那么解此线性方程组的x1 5x24是， Gauss-Seidel 迭代公式是nbAk f ( xk )7插值型求积公式f (x)dx 的求积系数之和是k0a8数值求解初值问题的龙格-库塔公式的局部截断误差是9. 函数f (0.4)，用此函数表作牛顿插值多0.411, f (0.5) 0.578 , f (0.6) 0.697项式，那么插值多项式x2的系数是21010设A12a ，为使A可分解为A = LLT，其中L是对角线元素为正的下三角0a2矩阵，那么 a 的取值X围是。二、综合题 每题 10 分，共 60 分1用 Newton 法求方程x ln x2 在区间(2,)内

19、的根,xk xk 110 8.要求xk1011 21 22设有方程组x b，其中A221 ，b1 3，它有解 x1 3 ，如0222 30专业资料整理WORD格式专业资料整理WORD格式果右端有小扰动b110 6，试估计由此引起的解的相对误差。23试用 Simpson 公式计算积分2e1/ x dx 的近似值,并估计截断误差.14设函数f ( x)在区间 0,3上具有四阶连续导数, 试用埃尔米特插值法求一个次数不高于3的多项式 P3 ( x) ，使其满足P (0)0, P (1)1,P (1)3,P (2) 1，并写出误差估计式。33332105A121 ，给出用古典Jacobi 方法求A的特

20、征值的第一次迭代运算。012专业资料整理WORD格式y ' y0证明其近似解为6用梯形方法解初值问题，y(0)1时，它收敛于原初值问题的准确解y e x。三、证明题 10 分nnkxj假设 f (x)aixi有 n 个不同的实根，证明i 1i 1f ( xj )参考答案2hnh 0ynh，并证明当20,0kn21.,kn1an专业资料整理WORD格式一、填空题1. 3,0.510-3;2.10;3.2n -1 ;4.15a0 ;5. cond ( A) ;x( k 1)(8 x2(k) ) / 9x(k 1)(8 x2(k) ) / 96.1,k 0,1, ,1,k0,1,x( k 1

21、)(4x(4(k) )/ 5x(k 1)x( k 1) ) /521217. ba ;8.O (h5 ) ;9. 2.4;10 .3a3二、综合题1此方程在区间( 2,) 内只有一个根 s ，而且在区间2， 4内。设f ( x) x ln x 2那么f' (x)111， f '' ( x)， Newton 法迭代公式为xx2xk1xkxkln xk 2xk(1 ln xk )0,1,2,11/ xkxk， k1取 x0 3 ，得 sx43.146193221 。专业资料整理WORD格式专业资料整理WORD格式111xb2解A 1211. 5， Cond ( A)22.5

22、，由公式xCond ( A)，有211bx110 622.521.6875105x2 3321/ xdx211/1.51/ 2)2.0263, f(4)11236241/ x1e6(e4ee(8x7x65) e，xxmax f ( 4) ( x)f (4) (1)198.43 ，1x2截断误差为 R2( 21) 50.06890max f ( 4) (x)2880 1x 25 x37 x4由所给条件可用插值法确定多项式P3 (x) ，P (x)7 x2322( 由题意可设R( x)f ( x)P3 (x)k( x)x(x1)2 ( x2)为确定待定函数k( x) ，作辅助函数：2g( t)f

23、( t)P ( t) k( x)t (t1) (t2)那么g(t )在0,3上存在四阶导数且在3,0,3 上至少有5个零点 tx, t0,1,2t0 为二重零点，反复应用罗尔定理，知至少有一个零点(0,3) ，使g( 4)()0，从而得 k( x)1f (4)() 。故误差估计式为1 f(4)(4!R( x) x( x1)2 ( x2) ，(0,3) 。4!5 首 先 取i 1, j2， 因 co t 20，故有， 于 是 c o ss i n14，211022V (0)V12()110，22001A(1)V (0) A(0)V (0) T110110101222222101111101210032222201200100111222专业资料整理WORD格式专业资料整理WORD格式6. 梯 形 公 式 为yn 1ynhf ( xn 1 , yn 1) ， 由f ( x, y)，y f ( xn , yn )得h2yn 1yn( yn yn 1) ，2所以 yn 1( 2h ) y( 2h)2 y( 2h)n1 y0( 2h )n 1，用上述梯形公式以步2hn2hn 12h2h长 h 经n步计算得到yn，所以有hnx ，所以l