《数值计算方法》试题集和答案(1_6)2

1、WORD格式."计算方法"期中复习试题一、填空题：1 、已 知f (1)1.0, f ( 2)1.2,f (3)1.3，那么用辛普生辛卜生公式计算求得3f ( x)dx _(1)。1, 用三点式求得f答案： 2.367 ，0.252、 f (1)1,f (2)2, f (3)1，那么过这三点的二次插值多项式中x2的系数为，拉格朗日插值多项式为。答案： -1 ，L2 ( x)1 ( x2)( x3)2(x1)( x3)1 ( x 1)( x2)22、近似值 x*0.231关于真值 x0.229 有( 2)位有效数字；34、设f ( x)可微 , 求方程xf ( x)的牛顿迭代

2、格式是 ()；xn1xnxnf ( xn )1f( xn )答案5、对 f ( x)x3x1,差商 f 0,1,2,3 (1),f 0,1,2,3,4(0)；6、计算方法主要研究 (截断 )误差和 (舍入 ) 误差；、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间a b 内的根时，二分n 次后的误差限为7( ,)ba(2n 1)；、f(1)f(2) ， f(4)5.9，那么二次Newton插值多项式中x2系数为8 2，3( 0.15)；专业资料整理WORD格式111、 两点式高斯型求积公式0113131f ( x)dxf (x)dx2 f (3) f ()( 022 3) ，代数精专业资料整理WORD

3、格式度为(5)；y346101)2( x 1) 312、为了使计算x 1( x的乘除法次数尽量地少， 应将该表y 10 (3 (4 6t)t)t , t1x1，为了减少舍入误差，应将表达式达式改写为专业资料整理WORD格式.专业资料整理WORD格式.220011999 改写为20011999。13、 用二分法求方程f ( x) x3x10在区间 0,1内的根 , 进展一步后根的所在区间为 0.5，1,进展两步后根的所在区间为0.5，0.75。1xdx , 取 4 位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为14、 计算积分0.50.4268，用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309，梯形公式的代

4、数精度为1 ，辛卜生公式的代数精度为3。15、 设 f ( 0) 0, f (1)16, f (2)46 ,那么l1( x)l 1( x)x(x2)， f ( x) 的二次牛顿插值多项式为N 2 ( x)16x 7 x( x1) 。bnAk f ( xk )f ( x)dx高斯型 ) 求积公式为最高，具16、 求积公式ak 0的代数精度以 (有(2n1)次代数精度。5f ( x)dx (17、 f(1)=1, f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求积公式求112 )。18、设 f(1)=1 ， f (2)=2 ， f(3)=0 ，用三点式求f(1)(2.5)。19、如果用二分法求方程x 3x

5、40 在区间1,2内的根准确到三位小数，需对分 10次。S( x)x30x11 (x1) 3a( x1) 2b( x1) c1x320、2是三次样条函数，那么a =( 3) ， b = 3，c = 1。21、 l 0 (x), l1 ( x),l n ( x) 是以整数点 x0 , x1 , xn 为节点的Lagrange插值基函数，那么nnl k (x)(1)，xk l j ( xk )(x j)， 当n 2时k 0k 0n( x 4x23)lk( x)kk(x 4x 23)。k 022、区间a, b上的三次样条插值函数S( x)在a,b上具有直到 _2_阶的连续导数。23 、 改 变 函

6、数f ( x)x 1x(x 1 )的 形 式 ， 使 计 算 结 果 较 精 确f x1x1x。24、假设用二分法求方程f x0在区间 1,2内的根，要求准确到第3 位小数，那么需要对专业资料整理WORD格式.专业资料整理WORD格式.分 10次。S x2 x3 ,0x1x 3ax2bxc, 1 x 2是 3 次样条函数，那么25、设a= 3 , b= -3, c=1。1ex dx0626、假设用复化梯形公式计算，要求误差不超过 10，利用余项公式估计，至少用477 个求积节点。27、假设f ( x)3x42 x1 ，那么差商f 2, 4, 8,16,323。12 1 (f8)0 f ( )

7、1 f( ) f ( x ) d x28、数值积分公式19的代数精度为2。选择题1、三点的高斯求积公式的代数精度为 ( B )。A 2B5C 3D 42、舍入误差是 ( A )产生的误差。A.只取有限位数B模型准确值与用数值方法求得的准确值C观察与测量D数学模型准确值与实际值3、 3.141580 是的有 ( B )位有效数字的近似值。A 6B 5C 4D 74、用 1+ x 近似表示 ex所产生的误差是 (C)误差。A模型B 观测C截断D 舍入x35 、用 1+ 3近似表示1 x所产生的误差是 (D )误差。A舍入B 观测C 模型D截断6 、-324 7500 是舍入得到的近似值，它有 (C

8、 )位有效数字。A 5B 6C 7D 8、设 f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4,那么抛物插值多项式中 x2 的系数为(A )。7A 05B 05 C 2D -28 、三点的高斯型求积公式的代数精度为( C)。A 3B 4C 5D 29、(D)的 3 位有效数字是 0.236 ×102。(A) 0.0023549× 103 (B) 2354.82×102(C) 235.418(D) 235.54 × 10110、用简单迭代法求方程 f(x)=0的实根，把方程 f(x)=0表示成 x=(x) ，那么 f(x)=0的专业资料整理WORD格式.专业资料

9、整理WORD格式.根是(B) 。(A) y=(x) 与 x 轴交点的横坐标(B) y=x与 y=(x) 交点的横坐标(C) y=x与 x 轴的交点的横坐标(D) y=x与 y= (x) 的交点11、拉格朗日插值多项式的余项是( B ), 牛顿插值多项式的余项是 ( C)。(A) f(x,x0,x1,x2,xn)(x x1)(xx2) (x xn1)(x xn) ，Rn (x)f ( x)f( n1) ()(B)Pn (x)( n1)!(C)f(x,x0,x1,x2,xn)(x x0)(xx1)(x x2) (x xn1)(x xn) ，Rn ( x)f (n 1)()(D)f ( x) Pn

10、( x)n 1 ( x)(n1)!12、用牛顿 切线法解 方程 f(x)=0 ，选 初始值 x0满足( A),那么它的 解数列xnn=0,1,2,一定收敛到方程 f(x)=0的根。(A ) f (x0 ) f( x)0(B) f ( x0 ) f ( x)0(C) f ( x0 ) f ( x)0(D) f (x0 ) f( x)013、为求方程x3 x21=0 在区间 1.3,1.6内的一个根，把方程改写成以下形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A)。x 2x1,迭代公式 : xk 11(A)1xk1x11,迭代公式 : xk 111x22(B)xk(C) x31x2,迭代公式:

11、 xk 1(12)1/ 3xkx312,迭代公式 : xk 11xk2xxk2xk 1(D)专业资料整理WORD格式bf (x)dx(ba14、在牛顿 - 柯特斯求积公式：公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当使用。1 n 8 ， 2 n 7 ， 3 n 10，23、有以下数表na)i 0Ci(n )f ( xi)中，当系数 Ci(n )是负值时，时的牛顿 - 柯特斯求积公式不4 n6 ，专业资料整理WORD格式x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是。1二次；2三次；3四次； 4五次15、取3 1.732 计算x ( 31)4，以下方

12、法中哪种最好？专业资料整理WORD格式.专业资料整理WORD格式.1616(A) 28 163； (B)(4 23)2； (C)(423)2； (D)(31)4。x30x2S( x)a( x 2) b 2 x 4是 三 次 样 条 函数 ， 那么 a, b 的 值 为26、2( x 1)3()( A)6 ，6；(B)6， 8；(C)8，6；(D)8，8。16、由以下数表进展Newton 插值，所确定的插值多项式的最高次数是xi1.52.53.5f ( xi )-10.52.55.08.011.5(A) 5；(B)4 ；(C)3；(D)2 。b专业资料整理WORD格式17、形如度为(A) 9；1

13、8、计算xk 1(A)f ( x)dx A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 ) A3f ( x3 )a的高斯 Gauss型求积公式的代数精(B)7；(C)5；(D)3。3 的 Newton 迭代格式为 ( )xk3xk 1xk3xk 1xk2xk 1xk32xk ；( B)22xk ；(C)2xk ；(D)3xk 。专业资料整理WORD格式19、用二分法求方程x34x20 在区间1,2内的实根，要求误差限为110 3102，那么对分次数至少为 ( )( A)10 ；(B)12；(C)8；(D)9。920、设li ( x)是以xkk(k0,1,kli (k )(),9)为节点的 Lagr

14、ange 插值基函数，那么k0(A) x；Bk；Ci；D1。33、5 个节点的牛顿 - 柯特斯求积公式，至少具有( )次代数精度(A)5；(B)4；(C)6；(D)3。S( x)x30x 22( x 1)3a( x2) b2x4是三次样条函数，那么a, b的值为 (21、)( A)6 ，6；(B)6， 8；(C)8，6；(D)8，8。35、方程x32x 5 0 在x2 附近有根，以下迭代格式中在x02 不收敛的是( )xk 125x2xk35xk 13 2 xk5xk1 xk3xk5k 13x22(A)； (B)xk；(C)； (D)。k22、由以下数据x01234f ( x)1243-5确定

15、的唯一插值多项式的次数为 ()(A)4 ；(B)2；(C)1；(D)3。23、5 个节点的 Gauss 型求积公式的最高代数精度为 ()(A)8 ；(B)9 ；(C)10；(D)11。专业资料整理WORD格式.专业资料整理WORD格式.三、是非题认为正确的在后面的括弧中打，否那么打 、观察值( xi，yi ) (i， ，m)n 次拟合多项式Pn( x)0 1 2, 用最小二乘法求时，1P n ( x)的次数n可以任意取。( )、用x2x 产生舍入误差。2 近似表示cos()21-( xx0 )( xx2 )3、( x1x0 )( x1x2 )表示在节点x1的二次(拉格朗日)插值基函数。()4、

16、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。()311253、矩阵 A125具有严格对角占优。( )5=四、计算题：f (x)dxA f ( 1)f (1)B f (1 )f ( 1)11、求 A、 B 使求积公式122的代数精度尽量21高, 并求其代数精度；利用此公式求Idx1x (保存四位小数)。答案： f ( x)1, x, x 2是准确成立，即2 A2B22 A1 B2A1 , B823得99f (x)dx1 f ( 1)f (1)8 f (1 )f ( 1 )1求积公式为19922当 f ( x)x3f ( x)x421时，公式显然准确成立；当时，左 =

17、 5，右=3。所以代数精度为 3。专业资料整理WORD格式.专业资料整理WORD格式.2 1t 2 x 3 11dt111811dx1 t 31 x9131391/23123970.692861402、xi1345f (xi )2654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f (x) 的三次插值多项式P3(x)，并求 f ( 2)的近似值保存四位小数 。L3 ( x) 2( x3)( x4)( x5)( x 1)( x4)( x5)(13)(14)(161)(34)(35)答案：5)(3(x1)( x 3)( x 5)( x1)( x3)( x4)541)(53)(54)(4 1)(4 3)(4

18、5)(5差商表为xiyi一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-101 4P3 (x) N 3 ( x) 2 2(x 1) ( x 1)( x 3)1 ( x 1)( x 3)( x 4)4f ( 2) P3 (2)5.55 、xi-2-1012f (xi )42135求 f (x) 的二次拟合曲线p2( x)，并求 f (0) 的近似值。答案：解：ixiyixi2xi3xi4xi yixi2 yi0-244-816-816专业资料整理WORD格式.专业资料整理WORD格式.1-121-11-22201000003131113342548161020015100343415a010

19、a21510a13正规方程组为10a034a241a010 , a13 , a21171014p2 ( x)10 3 x11 x2p2 (x)3 11 x71014107f(0)p2 (0)3106、 sin x 区间 0.4， 0.8的函数表0.40.50.60.7xi0.80.389420.479430.564640.64422yi0.71736如用二次插值求 sin 0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解：应选三个节点，使误差| R ( x) | M3|3( x) |23!尽量小，即应使|3 ( x) |尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取

20、节点 0.5,0.6,0.7 最好，实际计算结果sin0.638910.596274，且sin 0.638910.5962741 ( 0.638910.5)(0.63891 9 0.6)(0.63891 0.7)3!0.55032104专业资料整理WORD格式.专业资料整理WORD格式.7、构造求解方程ex10x20 的根的迭代格式xn 1( xn ), n0,1,2,，讨论其收敛性，并将根求出来，| xn1xn |10 4。答案：解：令f ( x)ex10x2,f ( 0)2 0, f (1)10 e0 .且 f ( x)ex100对 x(，) ，故 f ( x ) 0在 (0,1)内有唯一

21、实根 . 将方程f (x)0 变形为x 1 ( 2 ex )10那么当 x(0,1) 时1exe( x)ex)| ( x) |1(2101010，故迭代格式xn 11( 2 ex n )10收敛。取x00.5，计算结果列表如下：n0123xn0.50.035127 8720.096 424 7850.089 877 325n4567xn0.090595 9930.090517 3400.090 525 9500.090 525 008且满足| x7x6 |0.000 000 95 10 6.所以 x* 0.090 525 008 .10 、以下实验数据xi1.361.952.16f ( xi

22、)16.84417.37818.435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。解：当x时， f (x)x ，那么f (x)1e，且 0ex dx 有一位整数.0< <1e要求近似值有 5 位有效数字，只须误差R1( n) ( f )110 42.专业资料整理WORD格式.专业资料整理WORD格式.R(n )( f )( b a)3f ( )112n 2，只要由R(n)(ex )ee1 104112n 212n 22即可，解得n e 102 67.30877 6所以 n68 ，因此至少需将 0,1 68等份。12、取节点x00, x10.5, x21,求函数f (x) e x在区间

23、0,1上的二次插值多项式P2 ( x) ,并估计误差。P2 ( x)e 0( x0.5)( x1)e 0.5( x0)( x1)解：(00.5)(01)(0.50)(0.51)e 1( x0)( x0.5)(10)(10.5)2( x0.5)( x 1)4e 0.5 x( x1)2e 1 x( x 0.5)f ( x) ex , f( x)ex , M 3max | f( x) |1又x 0,1| R( x) | e xP (x) |1 | x( x0.5)( x1) |故截断误差223!。14、给定方程f ( x)( x1) ex101) 分析该方程存在几个根；2) 用迭代法求出这些根，准确

24、到 5 位有效数字；3) 说明所用的迭代格式是收敛的。解： 1将方程( x 1)ex1 01改写为x1e x2作函数f1 ( x)x 1，f2( x)ex的图形略知 2有唯一根x*(1,2) 。2) 将方程 2改写为x1 e x专业资料整理WORD格式.专业资料整理WORD格式.xk 11ex k构造迭代格式x01.5(k0,1,2, )计算结果列表如下：k1234567891.22311.29431.27401.27961.27811.27851.27841.27841.2784xk3199264763)( x) 1 e x，( x)e x当 x1,2 时， ( x) (2),(1)1,2

25、，且|( x) | e11所以迭代格式xk 1( xk )(k0,1,2, ) 对任意 x01,2 均收敛。15、用牛顿 ( 切线 ) 法求3 的近似值。取x0=1.7,计算三次，保存五位小数。解：3 是 f (x) x 23 0 的正根， f ( x)2 x ，牛顿迭代公式为xn 1xn23xn3xnxn 1(n 0,1,2, )2xn，即22xn取 x0=1.7, 列表如下：n123xn1.732351.732051.73205、 f(-1)=2，f(1)=3，f(2)=-4，求拉格朗日插值多项式L2( x)及f(1，5)的16近似值，取五位小数。L2 ( x)2( x1)( x2)3(

26、x1)( x2)4 ( x1)( x1)解：( 11)( 12)(11)(12)(21)(21)2 ( x 1)( x 2)3 ( x 1)( x 2)4 ( x 1)( x 1)323f (1.5)L2 (1.5)10.04167241x17、n=3, 用复合梯形公式求0 edx 的近似值取四位小数,并求误差估计。110 e02(e1 3e2 3 ) e1 1.7342exdx T3解： 023专业资料整理WORD格式.专业资料整理WORD格式.f ( x) ex , f ( x) ex，0x 1时，| f ( x) | e| R | |exT |ee0.0250.0533210812至少有两位有效数字。20、8 分用最小二乘法求形如yabx 2的经历公式拟合以下数据：xi19253038yi19.032.349.073.3解：span 1, x2 AT1111yT19.032.349.073.319 2252312382解方程组AT ACAT yATA43391AT y173.6其中33913529603179980.7C0.92555770.0501025所